Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Рассмотрим теперь электромагнитное поле в сечении z = z0, проведенном через отрезок волновода, заполненный токами (рис. 5.1). Если мысленно удалить токи в бесконечно малой окрестности этого сечения (в слое z 0 — 8 < z < ; z 0 + S, считая б 0), то задача сво­ дится к предыдущей: токи слева от сечения z0 возбуждают волны, бегущие направо и имеющие комплексные амплитуды Cs (z0 ), а токи справа от сечения z0 возбуждают волны, имеющие комплексные ам­ плитуды C_s (z0 ); функции Cs (z) и C_s (г) определяются формулами

же возбуждение разыгрывается в пространстве в зависимости от ко­

мени, когда со = cos. При h « hs и to»cos также наблюдаются аналогич­ ные резонансные явления, а формулы (2.17), (2.53), (2.59) и (2.60) переносятся в теорию возбуждения волноводов (см. задачи 5 и 10).

Выведенные выше соотношения легко обобщаются на случай периодических волноводов, для которых вместо выражений (5.04) имеем (L-период структуры)

є (со; х, у, z + L ) = є (со; х, у, z), ц(со; Х, у, z + L) = n (со; х, у, z). (5.15)

100

где Е", Н° — периодические функции z с периодом L , hs — волновое число, для прямой волны удовлетворяющее (при учете потерь) со­ отношению l m / i s > 0 и определяемое неоднозначно, поскольку всегда вместо hs можно взять

распространяющихся в отрицательном направлении оси г. При этом по-прежнему выполняется соотношение h_s = —hs, которое яв­ ляется следствием теоремы взаимности, вытекающей из изотропности проницаемостей (5.04) и (5.15).

Хотя структура собственных волн при переходе от однородных волноводов к периодическим усложняется, соотношение ортогональ­ ности (5.05) остается в силе; нужно только учесть, что условие гф — s для однородных волноводов эквивалентно условию \хтФ — h s , а для периодических — условию Ь,ТФ — hs + InnIL ( n = 0, ± 1, ± 2,...,), как видно из формулы (5.17). Поскольку вывод формул (5.07), (5.10), (5.12), (5.13) и (5.14) основывался на соотношении ортогональности, эти формулы остаются справедливыми и для периодических волно­ водов.

Смысл соотношения (5.17) в следующем: если разложить функ­ ции Е° и Н° в ряды Фурье по z, то (см. задачу 9) поле волны предста­ вится в виде суперпозиции пространственных гармоник, причем гар­ моника с индексом п будет иметь волновое число h\n) = hs +

Неопределенность возникает потому, что волновым числом данной волны можно назвать волновое число любой ее пространственной гармоники.

Мы изложили теорию возбуждения волноводов и убедились, что она приводит к простым соотношениям, допускающим наглядную интерпретацию. Простота полученных соотношений, равно как и простота соответствующих соотношений для объемных резонаторов, полностью соответствует простоте задач о вынужденных колебаниях линейных систем, для которых собственные колебания известны.

Недостатком выведенных формул является то, что квазистати­ ческое поле переменных зарядов в них не выделено явным образом,

как в теории возбуждения резонаторов: слагаемое 4^-}' в правой части (5.10) вовсе не является (полным) квазистатическим полем заря-

101

дов, аналогичным слагаемому—grad Ф в первой формуле (2.15). Квазистатическое поле зарядов содержится также в рядах, стоящих в правых частях (5.07) и (5.10), из-за чего эти ряды сходятся медленно. Ниже этот недостаток будет устранен.

б. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

Как известно, квазистатические поля подчиняются более простым законам и рассчитываются легче, чем поля волновые. Проис­ ходит это потому, что квазистатическое электрическое поле опреде­ ляется переменными зарядами, квазистатическое магнитное поле — переменными токами, и тесная взаимосвязь между электрическим и магнитным полями, характерная для «полноценных» волновых про­ цессов, в квазистатических полях отсутствует.

Чтобы в полученных выше выражениях для поля выделить его квазистатическую часть, введем формально переменную частоту со и устремим ее к нулю, считая, что комплексная амплитуда плотности

где k = со/с.

В силу уравнения непрерывности плотность пространственного

в которых учтена формула (5.54) и то обстоятельство, что квазистати­ ческое электрическое поле определяется зарядами, а квазистати-

102

Совершая такой же предельный переход (5.55) в формулах воз­ буждения (5.07) и (5.10), получим разложение квазистатического поля

(5.10), найдем электрическое и магнитное поля, возбуждаемые задан­

ные ряды, имеющие более сложный вид, чем исходные, сходятся быстрее. Чтобы показать это, рассмотрим поведение собственных волн высших номеров на частоте возбуждения со и частоте со - > 0, для простоты ограничиваясь однородными волноводами. Критические частоты cos волн в волноводе образуют возрастающую последователь­ ность, так что для волны большого номера s можно ввести малый пара­

ЮЗ-