Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 308

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где

векторные

коэффициенты E s n

) и Hs от частоты

не зависят. Ис­

пользуя эти разложения,

при больших значениях s получим

 

 

C A

= ^ - ( F i 0

) +

F<2 ) 8*+...)

(5.63)

и аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cs Es

=

^ ( F < 0 )

+

F<2) 8S2 +

...),

(5.64)

где

Fs0) и Fs2>

также не зависят

от

частоты.

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

C s E s - l i m

CS ES

= F<2) б,

+ ( 5 . 6 5 )

т. е. члены ряда (5.59), соответствующие волнам типа Е, по порядку величины равны членам исходного ряда (5.10), умноженным на 8 Д т. е. убывают с ростом номера s значительно быстрее. Аналогичный результат можно получить для слагаемых, соответствующих волнам типа Н, и для магнитного поля (5.60). Исследование периодических волноводов показывает, что для них ряды (5.59) и (5.60) сходятся также быстрее исходных рядов (5.07) и (5.10), только в качестве малого параметра нужно брать величину

где h° — волновое

число

s-й волны при частоте со =

0.

Таким образом,

при

расчете возбуждаемых полей

по формулам

(5.59) и (5.60) в них с большой степенью точности можно ограничиться

конечным

числом членов, учитывая все распространяющиеся

волны

( б 8 > 1 ) ,

те нераспространяющиеся волны, критические

частоты

которых недалеки от частоты сигнала (6„^1), и квазистатическое поле.

Постараемся объяснить, почему новые ряды, стоящие в правых частях (5.59) и (5.60), сходятся быстрее исходных. Для этого возьмем элементарный диполь, т. е. ток, сосредоточенный в бесконечно малом объеме. Поля Е и Н в этом случае имеют особенности, и ряды в правых частях (5.07) и (5.10) вблизи диполя сходятся плохо. Поскольку раз­ ности Е — Е и Н — Н имеют особенности, менее сильные (это утвер ж- дение нетрудно проверить на примере диполя в свободном пространст­ ве, см. задачу 11), они могут быть представлены рядами, сходящимися лучше.

Рассмотрим подробнее смысл квазистатических полей Е и Н. Прежде всего, мы получили не совсем то, что в резонаторах, где было только квазистатическое электрическое поле — grad Ф, определяемое зарядами, а теперь мы имеем также магнитное поле Н, которое опре­ деляется плотностью электронного тока j и, кроме того, электриче­ ским полем Ё, т. е. током проводимости и током смещения. Чтобы понять, почему так получилось, нужно иметь в виду, что из общих

104

уравнении электромагнитного поля можно вывести две различные системы уравнений квазистатического поля. Обычно пренебрегают токами смещения, но учитывают закон электромагнитной индукции

£ _ 0 ,

-

(5.67,

и таким образом приходят к уравнениям низкочастотных электри­ ческих цепей, в которых токами смещения пренебрегают всюду, за исключением небольшой части пространства внутри конденсаторов. В задачах, которые нас интересуют, пространство внутри волноводной системы на низких частотах можно рассматривать как конденсатор (или как электронную лампу) и токами смещения пренебрегать нельзя. Поэтому мы пришли к другим уравнениям квазистатики, которые вытекают из уравнений поля, если пренебречь в них электромагнит­ ной индукцией, но сохранить токи смещения

- 5 - = 0,

^-4=0.

(5.68)

at

dt

 

Для решения уравнений (5.56) можно применять обычные методы

электро-и магнитостатики. Мы полагаем

 

Ё = — gradO)

(5.69)

и получаем для скалярного потенциала Ф обобщенное уравнение

Пуассона (2.12). Для вычисления

магнитного поля надо

положить

Н = —

rot А,

(5.70)

тогда для векторного потенциала А получается обобщенное (вектор­ ное) уравнение Пуассона

rot^ - 1 - rotAJ = itegradO + - y - j .

(5.71)

Таким образом, квазистатическое электрическое поле определяется переменной плотностью заряда по тем же законам, что и в резонаторах. Квазистатическое магнитное поле, которое можно назвать «магнит­ ным полем пространственного заряда», как правило, не имеет значе­

ния, поскольку магнитное взаимодействие электронов,

движущихся

со скоростью

v, по порядку величины равно их электрическому взаи­

модействию,

умноженному на v2/c2, т. е. при обычных

нерелятивист­

ских скоростях пренебрежимо мало (по крайней мере в свободном пространстве, см. задачу 12).

Оказывается, что в лампе с бегущей волной типа О все сложное электрическое поле (5.59) практически сводится к двум слагаемым: полю синхронной волны (предполагается, что такая волна одна) и ква­ зистатическому полю (5.69). Физически этот результат легко понять (мы встретились с ним в теории магнетрона): электронные сгустки движутся вместе с синхронной волной, и создаваемое ими поле про­ странственного заряда также движется со скоростью, существенно

105

меньшей скорости света. В системе координат, связанной со сгустками, это поле чисто статическое, если сгустки движутся без деформации. Медленная деформация сгустков и переход к лабораторной системе координат превращают статическое поле в квазистатическое без какихлибо иных последствий (ср. задачи 13 и 14).

Заметим в заключение, что с помощью теории возбуждения волно­ водов можно рассчитывать и немонохроматические поля, например поля движущихся зарядов, диполей, последовательностей сгустков и т. д. Для этого достаточно применить разложения в ряды или интег­ ралы Фурье по времени (см. 1-ю лекцию).

 

З А Д А Ч И К 5-й ЛЕКЦИИ

 

 

 

1.

Вывести из уравнений

(5.06) лемму Лоренца

 

 

 

ф { [ E i l H j l - l E . H i ] } n d S = - y -

f ( h E . - J . E O d V ,

(a)

 

 

с

 

 

 

где поля

E i , ^'соответствуют

плотности тока

ji, а

поля Е 2 , Н 2 —

плотности

тока j 2 , используя соотношения, примененные в задаче 5 ко 2-й лекции. Применяя лемму Лоренца к двум собственным волнам в волноводе, вывести

соотношение ортогональности (5.05). Считать (см. начало лекции), что поля об­ ращаются в нуль на некоторой цилиндрической поверхности S0, охватывающей волновод (эту поверхность можно провести внутри металлических стенок на до­ статочной глубине).

В формуле (а) объем V произволен,

S — его поверхность, п — внешняя

нормаль к ней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

е ш е н и е.

Из

уравнений

 

 

 

 

 

 

rot

E 1

=

t'ftu,H1,

rot Hj =

— ikeEi-fr

4 л

- j i ,

 

с

 

rot Е 2

=

ik[iH2,

r o t H 2 =—i'AeEs -)r

4тс

j 2

 

 

с

 

легко

получаются тождества

 

 

 

 

 

 

Н2 rot Е х

— Е х rot H2 =

ik (єЕхЕг+цНхНз) —

4 л

ІгІ^і.

 

с

 

НІ rot Е 2

— E 2 r o t Hj. =

t'fe (єЕхЕг + иНіНг)—

4 я

itE2,

 

с

4 л

divfEiH,]—div . [ E , H 1 ] = — (НЕ, — ] , Е Х ) .

с

Интегрируя по произвольному объему V, ограниченному поверхностью 5, и при­

меняя теорему Гаусса — Остроградского, получаем соотношение (а). Оно выве­ дено для случая, когда є и |я суть непрерывные функции координат, но остается справедливым и при наличии скачков (см. задачу 5 ко 2-й лекции).

Применим теперь лемму Лоренца к двум собственным волнам в волноводе; поскольку для них возбуждающие токи отсутствуют, правая часть соотношения

(а) равна нулю и мы имеем

§ {[EsHr]-[ErHs]}

ndS = 0.

s

Возьмем в качестве S два сечения г = z1 и z = г2 и отрезок цилиндрической поверхности S 0 между ними; на последней поля обращаются в нуль, а на сече­ ниях n = ± 1. Поэтому из леммы Лоренца следует, что

У 5 , г ( г 1 ) = - / 8 , г ( г 2 ) '

где

 

 

 

 

- V -( *)=

J ( [ E J H r ] - [ E r H s ] } IdS.

 

Таким образом, величина Js,r

о т 2 зависеть не должна,

т. е. должна быть по­

стоянной.

 

 

 

С другой

стороны, E s и H s пропорциональны e'hsz,

а Е г и Н г пропорцио­

нальны e'f t rz

(см. начало лекции),поэтому

 

и экспонента является константой только при hs + hT = 0. При отсутствии вырождения последнее условие означает, что г = — s, т. е. что мы взяли две одинаковые волны — одну прямую, а другую встречную; во всех других случаях должно быть

Л,г(0) = 0,

Js,T(z) =

Q (при г ф — s).

 

Если есть вырождение,

то

условие

hs +

hr = 0-может

выполняться и

при г ф — s; однако

в этом

случае поля

E s , H s

и Е Г , Н г определены неоднр-,

значно и их всегда

можно

переопределить или доопределить

так, чтобы соот­

ношение (5.05) выполнялось без каких-либо ограничений. Заметим, что

2. Вывести выражения (5.12), исходя из соотношений (5.09) и (5.11). Вос­ пользоваться тождеством

rot (/А) = [grad / , А] + / rot А .

Р е ш е.,н и е. Умножим соотношение (5.1 і) скалярно на H _ s , соотношение (5.09) на E _ s , сложим и проинтегрируем по поперечному сечению z = const. Пользуясь соотношением ортогональности (5.05) и выражением (5.13), получим

 

dC,

-=iI(-iH -s r o t

^+ E -s i '

dS.

 

 

dz

 

Беря вместо полей

H _ s , E _ s поля прямой

волны

H s ,

E s и

учитывая, что

 

получаем

 

 

 

 

 

 

dz

 

— H s rot^ - +

E , j '

dS.

 

 

 

ik

в

 

 

 

Мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot

• = r o t ^ l ) = [ g r a d ^ ,

1

 

 

Н_ t rot — =

H . g r a d ^ - 7 l j =

- l grad^ - ,

H_S J

=

 

 

є

 

 

 

 

 

= — 1 rot

E

 

•ф — 1 rot H

V є

•ik]lE.

 

 

є

 

 

причем в силу теоремы Стокса

 

 

I rot ^

H _ s

j dS = j)-^-H_sds

= 0,

 

 

 

 

 

где С — контур, охватывающий

поперечное сечение S(,

ds — элемент его дуги;

на контуре С поле равно нулю. Таким образом, мы получаем

 

 

 

 

 

 

 

dCs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично выводится второе выражение (5.12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Пользуясь леммой Лоренца (см. задачу

1), вывести выражение для коэф­

фициентов Cs и C _ s соответственно справа

и слева

от области, занятой

токами.

 

Р е ш е н и е .

В лемму Лоренца мы вместо Е ь

Нх и j x подставляем искомые

поля Е, Н, возбуждаемые токами j , а вместо полей Е 2 , Н 2

—

поля собственной

волны E _ s , H _ s . Лемму

применяем

к объему, заключенному между двумя по­

перечными сечениями z =

z( 1 > < гх

и z =

z< 2 > >

z2 , вблизи которых

коэффи­

циенты Cs (при г ж

г( 2 >)

и C _ s

(при z ж г( 1 >) уже постоянны. Мы получаем

 

[ E H _ S ] - [ E _ S | H ] }

IdS —

f

{ [ E H _ S ] - [ E _ S H ] }

ldS =

l2L

f j E _ s d V ,

 

,(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поскольку интеграл

по цилиндрической

поверхности обращается в нуль. Легко

видеть, что в силу соотношений ортогональности (5.05)

отличен

от нуля

только

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 я

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл по сечению г =

z< 2 >, причем он равен — CSNS,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

C s

= - M j E _ s d l / .

 

 

 

 

 

 

 

 

Если вместо полей E _ s , H _ s взять поля

E s

, H s , соответствующие прямой волне,

 

 

 

 

 

 

An

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то будет отличен от нуля

и равен — —C^.SMS

интеграл

по сечению z

=

z ( l >,

откуда и получаем искомое выражение для C _ s .

 

 

 

 

токами

с

плот­

 

4. Показать, что поля Е, Н, создаваемые

электрическими

ностью j , текущими в слое z„ — б <

z <

z0

-4- б,

в самом слое определяются при

б

0 формулами

 

 

 

4 я

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е =

\1,

Н =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Поскольку токи с конечной плотностью j текут в бесконеч­

но малом объеме z0 — б

< г < z0

+

б (8 -»• 0),

ясно,

что

вне этого

объема

возбуждаемое ими поле равно нулю (точнее, стремится к нулю при

б

-»- 0).

Так

как магнитное

поле

Н непрерывно на границах z =

z„

±

б

(как танген­

циальные, так и нормальная

составляющие непрерывны), то Н =

0. При z =

=z0 ± б тангенциальные составляющие Е непрерывны, поперечное электри­

ческое поле Е1 = 0. Нормальная составляющая

Е 2 , однако,

может быть

от­

личной от нуля, так как на сечениях z = z0 ±

б обрывается

продольная

со­

ставляющая плотности тока и, следовательно, имеется поверхностная плотность

заряда а

(при z = z0 — б) и —а (при z =

z0

-+- б), где а

и / г связаны законом

сохранения заряда

 

 

 

 

 

da

 

 

 

 

 

~ d F =

/ "

 

 

 

который

для монохроматических колебаний

с временной

зависимостью

е~ші

принимает вид

 

 

 

 

 

ш о = ; г , а =— 1

/г.

 

 

 

 

ш

 

 

 

Смотрите также файлы