Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 345

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Р е ш е н и е . Выберем декартову систему координат х, у, z, чтобы ось г

была направлена вдоль магнитного поля Н0 . Тогда векторное соотношение (9.61) можно записать в виде двух скалярных

 

 

Dn

{DnXn-^Yn)=-

s, ті, ж-

 

 

 

 

 

 

 

 

Dn(®oXn

+ DnYn)

= —

FSt

n ,y .

где Xn

и Yn

— составляющие вектора

R n

по осям x и у соответственно. Отсюда

j£

g Dn Fs, n, x + Я 0 Fs, n , у

^

 

e — Q 0 Fs, n, ж-f Dn Fs, n, у

П ~

m

Dn(D% + Ql)

'

П

~

m

Dn (Dn + &o)

т. e, имеется простой резонанс, а не квадратичный, как в формуле (9.62), которую можно переписать в виде

7

6

Fs, 71, Z

 

т

Dl

Можно заметить, что

+

Я* = ( £ „ +

/&„) (Dn-iQ0)

= Dn+i

Dn-i

 

Xn±iYn

Є

Fs, 71, X І

І-Fs, П , j

 

 

=

D Dn± 1

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, вместо

D 2

здесь

стоит произведение

DnDn_t

или D n D n + 1

резонанс становится слабее, но реализуется.не только при малом Dn, но и при

малом

и £ > п +

1 .

 

4.

Установить связь между величинами

 

 

 

F s ( т ) - Е , (го (т)) + V0(T)

Hs (r« (г))

 

 

v°(x)

H _ s (r» (T))

 

F _ S ( T ) = E _ s ( r » (т))-

для незатухающих

волн в волноводе. Воспользоваться условием задачи 7 к 5-й

лекции. Установить также связь между величинами F _ s ,п и F s ,п , фигурирую­ щими в формулах (9.17) и (9.23).

Р е ш е н и е . В силу соотношения (а) указанной задачи мы имеем

F _ S ( T ) = ± F S * ( T ) ,

причем

tfs = T 4 P s ,

где P s — мощность, переносимая волной в положительном направлении оси г, Сравнивая разложения (9.17) и (9.23), получаем

F — s ,

± Fs , п .

Поэтому, например,

 

( F s , п О ( F - s . п 1)

F s , п ' I2

 

4PS

5. Исследовать невозмущенное движение электрона согласно уравнению (9.52) в однородных полях (9.54), а именно винтовое движение в продольном магнитном поле и «трохоидальное» в скрещенных полях. Рассмотреть как про-

изволыше, так и малые значения v°/c. Исследовать влияние разброса начальных скоростей на движение в статических полях. При исследовании трохоидального движения воспользоваться преобразованиями Лоренца

х =х.

у' = у,

z' =

 

.

 

t' = -

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

V

E'y =

E y + — Hx

]

H'x =

 

Hx + — Ey

 

 

. с

 

V

- \ с

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

для координат

и полей.

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Если

Ец = 0 и магнитное

поле Н 0

имеет единственную со­

ставляющую Нйг =

# 0

=

const,

направленную

по оси волновода, то невозму­

щенное движение происходит по винтовым линиям (см. 3-ю лекцию)

x° = x0 + r 0 cos( — Й 0 т ф ф о ) ,

'/0 = J/o + ''osin( — QoT + Cpo).

 

 

 

z<>=vex,

v ° - = K u !

+

Qorl,

 

причем мы считаем г° =

0 при т =

0. Здесь Q0

— угловая скорость с учетом ре­

лятивистской

поправки:

 

 

 

 

 

 

 

(CM. 8-Ю лекцию). Легко проверить, что выражения для Xй, у0 и z° точно удов­ летворяют уравнению (9.52).

В скрещенных статических полях, имеющих только составляющие

Еоу=—Е0, Ндх = Н1),

абсолютная величина невозмущенной скорости v° зависит от т, и непосредствен­ ное интегрирование уравнения (9.52) затрудняется. Если перейти к системе коор­

динат, движущейся

со скоростью

 

 

 

 

=с

£0

 

то в ней

 

 

 

 

 

Еоу=0.

Нох

= Я 0

| / Л 1 - ^ у -

я движение происходит согласно формулам

 

x' = x0t y' = y0

+ r0cos

( — Q'q т'. + фо),

z' = z0 + ru sin(—Qo т' - f ф0 ),

где

 

 

 

 

еН,

причем v0' — начальная скорость кругового движения в этой системе.

212

 

Производя обратное преобразование

Лоренца

 

 

 

У = У , 2

z' +

vp%'

 

^

с 2

 

 

 

 

 

 

получаем искомое движение в неявном виде.

 

 

 

Поскольку г' есть периодическая функция %', при vjc

< 1 релятивист­

ские

эффекты в первую

очередь влияют

на угловую

скорость. В движущейся

системе координат угловая скорость равна Я,,', в лабораторной

системе коорди­

нат

угловая скорость

 

 

 

 

 

 

• л Г

I v e \ 2

(

2ve + v 2

n \

 

Кроме того, орбита слегка эллиптична, а движение по ней — не вполне равно­ мерное.

Разброс начальных скоростей влияет только на и0 и £20 , в то время как для винтового пучка он влияет не только на Q0, но и на ve. Для азимутальной фа­ зировки существенно, что зависимость угловой скорости Q0 от энергии орбиталь­ ного движения в обоих случаях определяется одним и тем же выражением

г д е

 

 

 

 

 

 

 

£~~2~'

v<> ~ Qe r° ~

Qro-

и лишь величины й е различаются: для винтового

 

пучка

 

Й„ = Й (1

 

v2

 

 

 

 

2с2

 

 

а для трохоидального

 

 

 

 

„2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qe

— Q\ 1

 

 

 

 

 

6. Для винтового пучка

уравнение

 

(9.55) при v°/c <С 1 можно переписать

в виде

 

 

 

 

 

 

 

dt {

'

с 2

 

+ Q 0 [ l v 4 = — F ,

'

J '

U l

J

m

где Q0 берется с релятивистской поправкой и определяется формулой (а) преды­ дущей задачи, а 1 — единичный вектор вдоль оси волновода. Решить это урав­ нение, используя следующий прием. Сначала найти решение уравнения

v 1 ' + Q 0 [ l v 1 ] = — F .

т

отличающегося от уравнения (9.56) тем, что угловая скорость й 0 взята с реля­ тивистской поправкой. Затем найти поправку бу 1 к v1 , решая уравнение

d с ,

с ,

d v"(v»v 1 )

в котором известная правая часть играет роль дополнительного поля, возмуща­ ющего движение. Воспользоваться тем, что последнее уравнение можно преоб­ разовать в уравнение

d

\

( v j i i v ^ v ' v 1 )

 

dt

• ± /Оо ) (б* 1 ± Йуі) =

У{

(а)

и, представляя бж1 ±

іеу1 в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьх1

±

/ б / =

5 ±

е± ^",

с р О = _ й о т

+ Фо.

 

 

 

найти

S ± <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Мы полагаем,

как в формулах

(9.09)—(9.11),

 

б г і ( т ,

0 = Re{6r X (T ,

c o ) e - ' w } ,

 

6 V 1 ( T ,

/) =

Re{Sv 1 (T ,

 

 

а,)е~іш},

 

 

 

 

 

 

 

 

8vJ (т,

co) =

D6r1

(т, со)

 

 

 

 

 

 

и переходим

к комплексным

 

амплитудам, для которых в уравнении (а) вместо

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оператора ^

надо взять оператор D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно предыдущей

задаче

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ x ± i v l = T i v t

^ ^ \

 

vt =

Q0r0.

 

 

 

 

Вместе

с тем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

0 1

0 1 ,

 

 

0 1 ,

 

0 1

v

x~ b I v y і X

. 1\ і

 

 

 

 

 

V =

Vx V* -f-

Wy Wy +

v 2

v 2

=

 

 

(vx—

IVyjJ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V ° - I

V

0

/ 1 , • 1\ .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I '

 

 

*

#

 

 

 

 

 

и согласно

задаче З

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V J ± i v i

 

- І -C s

y F s <

n-

x ±

i F s ' n- y

e!' PQo+h*

VJX

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

n

 

Dn

± i'Q0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что знаменатель n-го члена равен D n

± i

(см. задачу

3), легко вы­

делим резонансное выражение для v* ±

i'v1,, а именно

получим

 

 

 

1 , . 1

Є п

 

F s , п Т 1 • х ± t F s , п Т 1 , у і Un =F 1) й +Л о 1 т

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\0

V І :

 

 

 

 

IVf

(F,,n+i,x-iFs,n+i,y)

 

 

е ї ф

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

Dn

L

2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

І?'

(Fs, п-х,

x±iFs.

 

 

п-і.

у) є "

 

 

F s . п. ,1 е' < я Ч » + Л «

Т

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы имеем

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(D ± jQ0 ) (6x1 ± % i ) = (DS±) е*'*0 ,

 

 

 

 

поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D ( S ±

е± '"<Р°)=

( D S ± =F »Q0 5 ±

) е± / < р 0

,

 

 

 

и для искомых

величин S ±

получаем

простое

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

S

± =

±

1

7

^

А

 

 

 

 

 

 

решение

которого имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ±

=

± t'S,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

Dl

 

 

2с2

(Л),

П+1, *

' ^ S!,,

П+1, эЭ).еГ' Ф °

^

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е г

 

(nQ„+;hs ^ •

+

 

 

(F..

п- 1.

х

+iFs>

 

 

_ и у

)

е - " -

-

V

Л . п,

 

2с

2

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. В задачах 3 и 6 были получены выражения для х1 и у1. Представить те

ж е величины в полярной системе координат,

полагая

*+<"# = лг0 +

г(/0 +

ле г < р

и представляя г и ф в виде

 

 

Г = г°~{-Г1,

ф = фО + ф 1 .

Ограничиться линейным приближением и воспользоваться формулами, получен­ ными в задаче 5.

Р е ш е н и е .

Согласно задаче 5 мы имеем

 

 

 

 

г° = г0 >

ф " = — Q 0 T + c p 0

хх + іу1 =

{г1+ігІ>чх)^\

 

 

 

 

х ^ - і у ^ ^ - і г о ^ е - 1 ^ .

Поэтому решение задачи 3 можно представить в виде

г1 ± Щ ф і = —

С

V

F s

' п , х

± i

F

s '

v

е

[ < " Т 1 ) Q ' + h s ve) т ±1ч>о

°

tn

s

^

 

D

D„

,

,

 

>

решение задачи

6 в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бх1

±

i&y* =

(бг1

±

іг0

бфі) е± г'**,°,

где

 

 

 

 

8л1 = 0,

 

г 0 бфі =

5

 

 

 

 

 

 

(комплексная величина S определена в задаче 6). Таким образом, релятивист» ские поправки приводят к квадратичному резонансу в движении по азимуту.

8. В выражении для S, найденном в задаче 6, величина

2я

Fs,

* = ^

J FS, х (т) е~1 ( ' 1 Й о + hs

d { Q o t ) f

0

где Fs, ж (т) —составляющая векторной функции (9.15) по оси х. Определить ве­ личины Fs, n, г и Fs< П ) ф такой же формулой, в которой F g > г (т) и Fs, ф (т) суть составляющие вектора F s (т) в радиальном и азимутальном направлениях (для частицы, совершающей невозмущенное движение), удовлетворяющие соотноше­ ниям

Fs,

х СО ± iFs,

vW = [F,.r

М ± i F s , Ф W ] е ± г ' ф ° < т ) ,

 

 

ф0 ( т ; ) = — Q 0 t + q>0

(см. формулу (1.01) приложения I). Выразить S через эти величины.

Р е ш е н и е .

Мы имеем

 

 

Fs, п, х ± IFs, п, у = (Fs _ п ±

j _г

± iFs _ п ± ! t ф ) е * < ф о ,

поэтому

 

 

 

 

т D \ \ с 2

' » . » . Ф + с 2

^ " ^ j

СП И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К 9-й ЛЕКЦИИ

1.А. В. Г а п о н о в. Возбуждение линии передачи непрямолинейным элект­ ронным пучком. «Известия вузов», сер. Радиофизика, 1959, т. 2, № 3, стр. стр. 443—449.

2. А. В. Г а п о н о в. Взаимодействие непрямолинейных электронных потоков с электромагнитными волнами в линиях передачи. «Известия вузов», сер» Радиофизика, 1959, т. 2, № 3, стр. 450—462. Письмо в редакцию. Ibid, стр. 836—837.

3.А. В. Г а п о н о в. Релятивистское дисперсионное уравнение для волноводных систем с винтовыми и трохоидальными электронными потоками. «Из­ вестия вузов», сер. Радиофизика, 1961., т. 4, № 3, стр. 547—559.

Смотрите также файлы