Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 349

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

дается лишь одна волна с индексом s. Тогда электромагнитное поле, возмущающее пучок, можно представить в виде

E =

E(* t r) =

Re{C.E,°(x>

f / ) e ' ( V - » ' ) } f

 

Н =

Н(/, r) =

Re{Cs H»(A:,

y)el<h.*-"%

( Л 8 )

где Сs — медленно меняющаяся функция z (или т). В теории приборов типа О полагают

 

 

Cs

= C°sei{h~hs)z,

(9.19)

причем

С' — постоянная,

ah

—• неизвестное волновое число

элект­

ронной

волны, близкое к

hs.

Однако мы не будем пользоваться этим

соотношением, поскольку для криволинейных пучков оно принимает другую форму (см. ниже).

Если бы пучок был прямолинейным и электроны двигались по

оси z со скоростью ve,

то эффективная частота, с которой поле (9.18)

действует на электрон,

была бы равна сое = to — hsve (см. 6-ю лек­

цию). Так как в данном случае на прямолинейное движение наклады­ вается периодическое, то эффективные частоты поля (9.18) образуют

целый

спектр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сое п = с о е - п 0 0 (л =

0, + 1 , ±2, ... ) .

 

(9.20)

Функция

 

г1

(т, со),

обусловленная

этим

полем,

пропорциональна

С , и имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г Ч т , с о ) = С 8

2

R n e l ( n 0

o + W \

 

(9.21)

 

 

 

 

 

 

 

П = —

00

 

 

 

 

поскольку

множитель е~ш в выражении

(9.09) для г1 (т, t)

уже вы­

делен;

R„ —

постоянные

векторы,

которые

надо определить

из урав­

нения

движения.

 

 

 

 

 

 

 

 

К тому же результату можно прийти чисто аналитическим путем,

образуя

векторную

функцию

 

 

 

 

 

F ( T ,

0

=

Е(*. г«(х))

+

V°(T)

Н(/,

г»(т)) =

Re { C S F 8

(т)е-<«<}, (9.22)

которую можно назвать полем, действующим со стороны волны (9.18) на электрон, совершающий невозмущенное движение в прямом на­ правлении, и разлагая F S (т) в ряд

F . ( x ) =

5 F . , n e ' ( n Q « + f c . V ' f

(9.23)

П=

—оо

 

аналогичный ряду (9.17). Функция гг (т, со), определяющая возмущен­ ное движение под действием поля (9.18), представляется аналогичным рядом (9.21).

202

Образуя произведение г1 (т, ю) F _ s (т), мы видим, что в двойном ряду в силу условия hwhs надо оставить только произведения членов с одинаковыми индексами п. Тогда

Поскольку все величины, кроме СS ) здесь постоянны, это уравнение допускает решение

 

Ct = c№lh~ha)v<x,

C° = const,

(9.25)

переходящее в выражение (9.19) в случае прямолинейного

пучка.

Разность h — hs

оказывается

равной

 

 

 

h-ha=—?-±

2

R„F_S | „.

(9.26)

 

Ve N s n = -

co

 

Выражения

(9.24) и (9.26)

сравнительно просты, если

учесть

сложность исходных и промежуточных соотношений; они решают вопрос о резонансном поле, создаваемом возмущенным движением электронов в криволинейном пучке. Обратимся теперь ко второй

части

задачи — к исследованию резонансного движения

электронов

под действием

поля

(9.18), т. е. к

вычислению векторов R„.

В

рядах

(9.21),

(9.24) и (9.26)

надо учитывать лишь

небольшое

число резонансных слагаемых. Если для какого-то я выполняется условие

 

 

 

 

1 « е п | « Ц , .

 

( 9 - 2 7 )

то

резонансными

слагаемыми

 

могут быть слагаемые

с индексами

п — 1, п и п +

1 (см. задачи

3 и 6).

 

 

 

б. РЕЗОНАНСНОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

 

 

Мы считаем, что электроны движутся в статических полях

Е 0

= Е 0 (г) и Н 0 = Н 0

(г), на которые накладываются

переменные

(сверхвысокочастотные)

поля

Е = Е (t,

г) и Н = Н (t, г). Как пока­

зано в предыдущей лекции,

в

общем

случае следует

пользоваться

релятивистским

уравнением

движения

 

 

 

d

 

V

 

6

[ E . + E + f i . H . + H

(9.51)

 

dt V

 

 

m

 

 

При достаточно малых полях Е и Н это уравнение можно решать ме­ тодом возмущений, пользуясь формулами (9.08); тогда движение в статических полях определяется уравнением

_d_

v»

Е0

(г°) + [^Н 0

(г°)]},

(9.52)

dx /

 

 

і „о \2 т

 

 

 

авозмущение — уравнением

 

 

d_

V° (V» V і )

 

 

dt

 

iff

 

 

 

 

в

- н „ и

+ (r1

grad") E0 (r°) + ^ ,

(rigrad°)H 0 (r°)j +F}( (9.53)

m

 

 

 

 

где F =

F (r, t)

есть

поле, действующее на электрон при его невоз­

мущенном движении. В дальнейшем векторную функцию F мы будем

определять формулой

(9.22), т. е. считать,

что на электрон действует

поле одной волноводной волны, которая распространяется с медленно

меняющейся амплитудой

Сs

вследствие возмущений, вносимых

элект­

ронным пучком.

 

функции г° (т) и v° (т)

 

 

 

В уравнении

(9.53)

заданы,

оно является

неоднородным линейным уравнением второго

порядка

относительно

г1 с переменными коэффициентами. Это уравнение охватывает

целый

ряд электронных

приборов

и

при однородных статических

полях

 

Е0 = const, Н0 = const

 

 

(9.54)

сильно упрощается, а именно принимает вид

 

 

 

d

 

 

 

V" (v° V і )

н„

+ F ,

(9.55)

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ' - ( f ) '

 

- [ ' - ( f ) 2

 

 

 

и вместе с тем

упрощается

уравнение (9.52). В нерелятивистском

приближении уравнение (9.55) становится вообще линейным уравне­ нием

А — . Н„ (9.56)

и если представить г1 и v 1 в виде (9.09), a F в виде (9.22), то для ком­

плексной

амплитуды

г1 (т, со) получится

уравнение

 

 

 

D 2

гг =

[Dr\

H 0 l + C,Fe (T) ,

(9.57)

где

D есть оператор

(9.11), a F 8

(т) представляется в виде ряда

(9.23).

Обозначая через Dn

оператор

 

 

 

 

 

 

 

Dn = D + i (nQ0

+ hsVe)=

— ~ і Ч п ,

(9.58)

для

векторов R„ получаем соотношение

 

 

 

 

 

D 2 C S R N = ^ - { i

D n C , [R„H0 1

+ С . F ] ,

(9.59)

 

 

 

m { с

 

 

 

І

 

Если Cs

имеет вид (9.25), то Dn

есть просто

число

 

 

 

 

Dn = i(hve—co

+

nQ,,),

 

(9.60)

а соотношение (9.59) принимает

вид

 

 

 

 

D\Rn

= Dn Q0

[RJ ]

+ ±- F , , n ,

Q„ =

,

(9.61)

 

 

 

 

/к

mc

 

где

1—единичный

вектор,

направленный

вдоль

магнитного

поля

(Н 0

= Н01). Определяя из соотношения (9.61) составляющую R n в на­

правлении магнитного поля, получаем выражение

 

 

 

 

R J = i - E g f ,

 

 

(9.62)

свидетельствующее о квадратичном резонансе, характерном для приборов типа О [см., например, формулу (6.13)]: в знаменателе стоит квадрат малой величины Dn. Составляющие Rn в направлении, пер­ пендикулярном магнитному полю, также испытывают резонанс, но более слабый, а именно в знаменатель входит малая величина Dn, а не ее квадрат (см. задачу 3).

Заметим,

что при

последовательном

нерелятивистском подходе

£2 о согласно

формуле

(9.61) есть

просто

циклотронная частота £1.

Если

учитывать только составляющую Rr t вдоль магнитного

поля, то

подстановка

выражения

(9.62)

в соотношение (9.26) дает,

если ограничиться только резонансным членом, характеристическое уравнение

(h-hs) (h-hef

=

{ F s ' n 1 ) / - s - " l } ,

(9.63)

 

т v e

Ns

 

в котором

h

to-nQo

( 9 6 4 )

играет роль электронного волнового числа. Если структура поля волны с волновым числом hs такая же, как у волны в волноводе без потерь, то уравнение (9.63) принимает вид (см. задачу 4)

 

(h~hs)\{h—hef

 

=

^

— LT^nli!

\Ue

= —

vl

(9.65)

 

4

s / t V

е'

 

8Ue

ve

Ps

L

6

2e

v

'

и при Ps

>

0 формально совпадает с характеристическим

уравнением

лампы с бегущей

волной

без учета пространственного заряда.

Если

же взять

Рs

<С 0

(в этом

случае естественно заменить всюду индекс

s на — s), то получится

характеристическое

уравнение лампы

с об­

ратной волной, на котором

мы останавливаться

не будем.

 

При

условии

hs«

he

уравнение

 

(9.65) имеет

комплексные

корни

и, следовательно, данная система способна работать как усилитель.

Уравнение (9.65) применимо и

к волноводу с медленной

волной:

при условии

 

 

h,ta^-

(я = 0)

(9.66)

оно принимает

вид

(9.67)

 

 

где

 

 

 

 

(9.68)

Если считать

пучок прямолинейным, то уравнение

(9.67) буквально

совпадает с уравнением (6.58) без слагаемого Г (h) h2p,

обусловленного

пространственным зарядом, а формула (9.68), как можно показать, дает правильное выражение для коэффициента усиления є (см. задачу 3 к 6-й лекции; при сравнении надо учесть, что здесь мы рассматри­ ваем тонкий пучок).

Представление о том, что в приборах типа О при отсутствии сверх­ высокочастотных полей электроны движутся прямолинейно, явно не соответствует действительности и вводится для упрощения теорети­ ческого рассмотрения (см. начало 6-й лекции). В лучшем случае электроны движутся по винтовым линиям, причем сплошной цилинд­ рический пучок состоит из элементарных винтовых пучков (см. 8-ю лекцию); такие пучки возможны в однородном магнитном поле, до­ статочно сильном, чтобы преодолеть расталкивание. Формула (9.68) позволяет ввести поправки на непрямолинейность пучка, а тради­ ционная теория приборов типа О оказывается применимой, если вы­ полняется условие (9.66), характеризующее простой продольный резонанс, и не реализуются сложные резонансные условия, о которых

будем говорить

ниже.

 

 

 

Если вместо

условия (9.66)

выполняется другое

условие

 

 

К

(я = ± 1, ± 2 , ±3,

...),

(9.69)

то уравнение (9.67) оказывается также применимым, но с несколько

иным значением

коэффициента усиления є. При небольших

п (п =

= + 1, ± 2 ) є получается того

же

порядка,

что и в

Л Б В

типа О.

Условие (9.69) может выполняться как для медленных,

так и для

быстрых

волн:

для последних

| hs

| < со/с,

и

так

 

как

ve

<С с, то

п должно

быть

положительным

и, кроме того,

должно выполняться

условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со да nQ0

(п = 1, 2, ...),

 

 

 

 

(9.70)

которое было в 8-й лекции.

 

 

 

 

 

 

 

 

В однородных статических полях (9.54) возможны

периодические

криволинейные пучки двух типов: винтовые

(Е0 =

О, Н0

направлено

по оси волновода) и трохоидальные (как Е0 , так и Н0

перпендикулярны

оси

волновода, скорость дрейфа

ve

направлена

по оси). Как в винто­

вом,

так и в трохоидальном пучке

движение

 

электронов

(в

нереля­

тивистском приближении) складывается из кругового движения с цик­ лотронной частотой и равномерного движения вдоль оси волновода. Для винтовых пучков скорость этого движения определяется началь-

Смотрите также файлы