Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 341

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

соответствующее быстрым колебаниям с малой амплитудой (пропор­ циональной 1/со2). Такие слагаемые при исследовании движения частиц мы раньше отбрасывали, теперь же посмотрим, что они дают. По­ скольку

1 = о, ! 2 ^ о ,

где чертой обозначено усреднение по t (в пределах периода 2я/со), оказывается, что влияние быстрого движения на медленное пропор­ ционально квадрату амплитуды быстрых колебаний.

Действительно, вернемся к исходному уравнению (10.51). Считая величину \ достаточно малой, можно переписать его в виде

X + £ = f(XJ)+Z^-(X,t)

+ ...+F(X,t)

+ t^(X,t)+...,

(10.56)

 

ОЛ.

 

ОЛ.

 

 

где

многоточием обозначены

члены порядка g2 и

выше.

Поскольку

X

есть, по исходному предположению,

медленно

меняющаяся функ­

ция, быстро осциллирующая

функция

\ должна

удовлетворять урав­

нению

 

 

 

 

 

 

..F{X,f)+\jL

(X, t) + l

~ (X, t)~l

f-(X,

t), (10.57)

а функция

X—уравнению

 

 

 

 

 

* = = f ( X , 0 + g - g - <*,/),

 

(10.58)

причем членами порядка £2 и выше мы пренебрегли. Если в уравнении (10.57) пренебречь и членами порядка \ (что естественно в силу мало­ сти | ) , то оно превратится в уравнение (10.54) и будет иметь решение (10.55). Усредненное движение в этом случае будет подчиняться урав­ нению

 

Х = / ( Х , 0 — | *

(10.59)

где потенциальная

функция

 

Ф = Ф

(х, t) = ^ Щх7її= ~ I л (х, о|2

(Ю.60)

определяет квадратичную силу, действующую на электрон в быстро осциллирующем (несинхронном) поле.

Этот простой результат получен П. Л . Капицей в 1951 г. и приме­ нен к расчету маятника с вибрирующим подвесом. Как мы видим, при действии быстро осциллирующих сил также применим метод усредне­ ния, который приводит к квадратичной силе, в то время как в теории магнетрона (см. 4-ю лекцию) мы квадратичных сил вообще не учиты-/ вали.

В дальнейшем соотношения (10.59) и (10.60) были обобщены на случай трехмерного движения в переменных электромагнитных полях, причем было предложено использовать движение электронов в слабо

8 Зак. 1)23

225

t

неоднородных переменных полях для отбора кинетической энергии от них и построения генератора на этом принципе. Однако экспери­ ментального развития это предложение не получило, и движение электронов в таких полях было применено лишь для абсолютного измерения напряженности сверхвысокочастотного поля.

Если перейти к системе координат, движущейся с синхронной волной в магнетроне, то все несинхронные пространственные гармони­ ки сверхвысокочастотного и электростатического поля будут давать быстро осциллирующие силы, возмущающие движение электронов (пространственные гармоники статического поля возникают из-за периодичности пространства взаимодействия). В лампе с бегущей волной такие же силы возникают при наличии отраженной волны или других распространяющихся на той же частоте волн, не удовлетворяю­ щих условию синхронизма. Действие всех таких полей можно в прин­ ципе учесть с помощью квадратичной силы, полученной выше.

Поскольку синхронная сила пропорциональна амплитуде поля, ясно, что в слабых полях квадратичные силы пренебрежимо малы по сравнению с синхронными. Однако при этом надо сравнить квадрати­ чную силу с синхронной и выяснить, какие поля следует считать сла­ быми, а какие — сильными.

Рассмотрим следующий пример: пусть в плоском магнетроне рас­ пространяется медленная волна, которая имеет потенциальную функ­

цию (4.15), а именно

 

 

 

%=

-Ё sm h{x~ut)shhy,

h= — .

(10.61)

 

m

и

 

Если эта волна синхронна с электронами, то она определяет составляю­ щие ускорения

dU

р(!)

dU

/ 1 П й 9 \

F ' = ^ Г '

р '

— •

( 1 0 - 6 2 )

Если же она несинхронна, то составляющие квадратичного ускорения

по

предыдущему

(см.

также

задачу

3)

равны

 

 

 

 

 

 

^ >

=

_

i

*

, yf> =

,

(10.63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

ду

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

-

-

^2

£

)

'

+

( ? г Л - ( ї £ Г * 2 * » -

00.64)

 

 

 

 

2со

 

дх

j

 

V ду

*

 

 

 

Мы

видим,

что

при г/->0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l ^

h

^

'

L

x .

е с л и £ = £ с ,

(10.65)

Ес

— критическая

 

напряженность

сверхвысокочастотного

электри­

ческого

поля — определяется формулой

 

 

 

 

 

 

Ес

= к-^=2л-И-^-,

с

\e\V

(10.66)

 

 

 

 

 

 

 

 

\е\

 

К

где А, = 2яс/со есть длина волны в свободном пространстве, соответ­ ствующая частоте генерации. Иначе можно написать

 

 

 

 

 

 

3 L

) =

^ J

L ,

(10.67)

 

 

 

 

 

 

см

,

"к(см)

с

 

 

так

что, например,

при X = 10 см и и/с = 0,1 мы получаем

Ес =

=

30 кв/см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(^

Если

сравнивать Fy2)

с

амплитудными значениями F{J') или

при

некотором

г/ ( г / > 0 ) ,

то в правых частях (10.66) и (10.67)

появятся

множители

l/ch/гг/ или l/shhy,

которые при

1 не изме­

няют порядка

величины

Ес.

 

 

 

 

 

 

При

напряженности Ес квадратичные силы сравниваются с синх­

ронными, так что квадратичными силами можно пренебрегать

лишь

при Е < Ес.

Это

условие

показывает,

что синхронное

взаимодейст­

вие эффективнее

несинхронного

лишь в сравнительно слабых

полях,

а в наиболее мощных приборах несинхронные взаимодействия весьма существенны.

Надо иметь в виду, что в переменном поле с амплитудой Ес амп­ литуда а осциллирующего движения согласно формуле (10.55) полу­

чается равной

 

а= | е | £ с ,

(10.68)

т с о 2

 

и согласно формуле (10.66) мы имеем

 

ha=l,

(10.69)

т. е. амплитуда колебаний сравнима с теми расстояниями, на которых поле меняется существенно. При выводе уравнений (10.59) и (10.60)

мы неявно

предполагали

(см. задачу

1), что

ha<^\.

Таким

образом,

при

Е^ЕС

разбиение

поля на синхронное и

несинхронное вообще

теряет смысл

и нельзя

пользоваться методом

усреднения ни в какой форме; в частности, полученная выше квадра­ тичная сила может давать лишь грубые оценки. Единственный путь, который остается при Е^>ЕС, — это путь точного решения уравнений движения в полном поле. При и ~ с эти уравнения должны быть реля­ тивистскими, поскольку по формуле (10.69) получаем соа = и.

Несинхронные взаимодействия могут быть причиной многих явлений, которые с традиционной точки зрения, не учитывающей влия­ ния несинхронных полей, непонятны. Например, выше мы рассмат­

ривали магнетрон, у которого согласно формулам

(10.63) и (10.64)

F < 2 ) < 0 ,

(10.70)

т. е. квадратичная сила препятствует вступлению электронов из катода в пространство взаимодействия; у ниготрона же (см. задачу 4) вблизи катода эта сила имеет противоположный знак, т. е. как бы выталкивает электрон в пространство взаимодействия. Точно так же действуют (в движущейся системе координат) пространственные гар-

8*

227

моники электростатического поля. Таким образом, в ниготроне не­ синхронные поля помогают синхронной волне формировать язычки.

Взаимодействие электронов с волновыми полями несинхронных колебаний может быть причиной побочного излучения генератора.

Мы надеемся, что задачи, приложенные к данной лекции, помогут читателю освоиться с несинхронными взаимодействиями и дать оценку их влияния в тех случаях, которые его заинтересуют.

З А Д А Ч И К 10-й ЛЕКЦИИ

1. Вывести условие применимости уравнения (10.59) при / = 0. Р е ш е н и е . Будем считать, что

дА 1_ дх L

где L — характерная длина, на которой заметно изменяется осциллирующее по­ ле. Тогда в разложении (10.56) можно ограничиться выписанными членами, если

 

 

5 max < L

ИЛИ — — С L .

 

 

 

 

 

СО*

 

2. Считая (см. предыдущую задачу), что

 

 

 

 

df_ _

J _

 

 

 

 

дх

 

L

 

показать, что учет члена

£

 

в уравнении (10.56) приводит к уравнению

(10.59) с поправочным членом, которым можно пренебречь»

Р е ш е н и е .

Этот

поправочный

член

равен

1

» d2fl_

\A(X,t)\*

 

d*f

I A I2

2 5

№

 

4co"

 

UX2 (

4co4 L2

и согласно предыдущей задаче

он мал по сравнению с первым членом правой

части (10.59).

 

 

 

 

 

 

3. Обобщить уравнение (10.60) на случай трехмерного движения в перемен­

ном электрическом

поле, исходя

из уравнения

движения

 

 

г==

Re{E(co,

г)е~ш}.

 

 

т

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Полагая

r = R + P,

мы подчиняем р уравнению

р = — R e { E ( c o ,

R)(Tiat}

т

 

 

и находим р в виде

 

 

е

Re{E(co,

R) е ~ ш \ .

 

mco2

К этому выражению для р можно было бы приписать линейную функцию t, но это — медленно меняющаяся функция, которую естественно включить в R. Для R получается уравнение

R = — grad0 , Ф={——

) | E ( c o , R ) | 2 .

\ 2mco

/

4. Рассмотреть

квадратичную

силу,

возникающую в

поле несинхронной

волны с потенциалом

(3.73), и сравнить ее с силой, соответствующей волне с по­

тенциалом (10.61).

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Квадратичная

сила

определяется формулами (10.63), где

 

, еЕ

\ 2

ch2h

/

D

 

 

Ф=

I

\ а

у——

 

 

2та

 

2

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

i f > > 0 при У<~у,

 

F<2> < 0 п р и ( / >

- у

в то время как для волны, рассмотренной в лекции, выполняется условие (10.70).

5. Вычислить

потенциал квадратичных

сил Ф, обусловленный простран­

ственными гармониками

электростатического

поля

с потенциалом

 

 

~

 

 

2т

Ф

=

2j

Ф п s i n h n (x + ut) sh hnу,

h n =

или

 

 

 

/

D

Ф =

0 0

 

2

Фп sin й„ (* + "*) ch/i„

ty——

в системе координат, движущейся со скоростью и относительно периодической структуры.

Р е ш е н и е . Поскольку каждая пространственная гармоника имеет свою частоту hnu, при усреднении произведения разных гармоник исчезают и мы полу­ чаем в первом случае

Г/ дФ \ 2 ( дФ \Ц

( е \ 2 ~ 2 „

2 V тсо

 

а во втором

 

 

Ф=(^-У

У A S o i c h 2 A f „ _ A

 

 

\2rnw)

л= і

V

2

 

Характер

квадратичных сил такой же, как от несинхронных пространственных

гармоник

сверхвысокочастотных

полей.

 

 

 

6. В тексте лекции не учитывалось влияние постоянного магнитного

поля

на движение частиц. Применить уравнение

движения в комплексном

виде

(см. 4-ю лекцию)

 

 

 

 

 

г > І Й г = / ( г , г*, t) + F(z,

г*, г)

(Q>0),

 

где / — медленно меняющаяся функция, а

 

 

 

 

F (г, г*, t) = S {Ft

(г, г*)

' + FJ (г, г*) е ' и / }

 

 

і

 

 

 

 

— быстро меняющаяся вследствие того, что частоты a>j велики и среди комбина­

ционных частот со^ ±

cofe нет малых, а функции

— медленно меняющиеся.

Исследовать влияние

быстро осциллирующих

сил на усредненное движение.

Считать разности

| со;-1 — Q также большими

(циклотронный резонанс отсут­

ствует). Дать качественный анализ медленного движения.

Р е ш е н и е .

Положим

 

 

z = Z + £

и подчиним £ уравнению

't+iai=F(Z,

z*, о ,

(а)

Смотрите также файлы