Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 338

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

М. А. М и л л е р . Движение заряженных частиц в высокочастотных электро­ магнитных полях. «Известия вузов», сер. Радиофизика, 1958, т. I, № 3, стр. ПО—123. О некоторых возможностях, связанных с отбором заряженных частиц, взаимодействующих со слабо неоднородным высокочастотным элек­

тромагнитным полем. ЖЭТФ, 1958, т.

35,

№ 3,

стр. 809 — 810.

Об

одном

принципе

генерации

высокочастотных

колебаний.

«Известия

вузов», сер. Ра­

диофизика,

1958, т.

I , № 4, стр. 166—167.

 

 

 

 

 

 

 

Б.

Г.

Е р е м и н ,

С.

Б. М о ч е

н о в.

Измерение

мощности

на

СВЧ при

помощи зондирующего электронного

пучка. ПТЭ, 1963, № 3,

стр.

108—112.

С.

П.

К а п и ц а .

Естественная

система

единиц

в

классической

электроди­

намике

и

электронике.

«Успехи

физических

наук»,

1966, т.

88,

№

1, стр.

191 — 194.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и л о ж е н и е I

ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ МАГНЕТРОНЕ И РОДСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

В 3-й лекции было рассмотрено движение электронов в пло­ ском магнетроне, относительно цилиндрического магнетрона было сде­ лано лишь беглое замечание, связанное с формулами (3.71) и (3.72). Действительно, движение электронов в цилиндрическом магнетроне оказывается более сложным, чем в плоском, в частности усложняется

механизм

фазировки.

 

Выведем сначала уравнения движения в полярной системе ко­

ординат г,

ф; для этого проще всего обратиться к комплексному

урав­

нению (4.03), положив в нем

 

 

г = г&*. f = (fr + ifv)e'*,

(1.01)

причем последнее соотношение эквивалентно двум вещественным соотношениям

/ ж = /г С05ф— /фЭтф,

/ у = /фС05ф+/г 5ІПф,

(1.02)

показывающим, что / г

и / ф — действительно составляющие

ускорения

в полярной системе

координат.

 

 

Учитывая, что

 

 

 

 

г = (г + /гф)ег < р , z = ( г — г ф 2 + /гф + 2/>ф)еі ( р ,

(1.03)

получаем искомые

уравнения

 

 

г— гф2

— Q/4J> = f B

гф + 2гф + Й> = / ф ,

(1.04)

которые, разумеется, можно получить и сразу из уравнений (3.04).

Рассмотрим сначала

простейший

случай, когда

/ ф = 0; тогда

второе уравнение (1.04)

можно

записать

в виде

 

1ГГ2{У +

1Г)=0>

' 2 ^

+

-f-)=const,

(1.05)

т. е. мы получим интеграл движения, соответствующий сохранению обобщенного импульса по координате Ф, Т. е. момента количества движения.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением электронов, начи­ нающих свое движение с катода, где они имеют нулевую скорость. Полагая ф = 0 при г = а (где а — радиус катода), получаем соот­ ношение

» - т ( т - ' ) '

с - 0 6 »

235

которое в электронной оптике называется теоремой Буша. Благодаря нему первое уравнение (1.04) принимает вид

' + - т ( г - $ И -

( L 0 7 )

Уравнение (1.07) будет использовано в приложении I I для анализа симметричного состояния в цилиндрическом магнетроне при учете пространственного заряда. Здесь мы ограничимся исследованием дви­ жения в цилиндрическом магнетроне без пространственного заряда — при наличии радиального электростатического поля

£г =_-£-,

С = -У—,

(1.08)

In —

а

где Ъ — радиус анода, а

ь

.

 

{7 = — [ETdr=C\n

—

(1.09)

о

а

 

а

 

 

— анодное напряжение.

Если

ввести

обозначение

 

 

 

П(г) = ^ С 1 п ^ + - ^ ( Г - - ^ ) 2 ,

П » = 0 ,

(1.10)

то уравнение

(1.07) можно переписать

в более

простом виде

 

 

 

 

г

=

~ .

 

 

( І . П )

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ^ = _ n ( r ) + c o n s t ,

 

(1.12)

и если г = 0

при г — а, то

 

 

 

 

 

 

 

 

_£ =

_ П(г),

> = ± / - 2 П ( г ) .

(1.13)

Гаким путем

мы находим радиальное движение в виде квадратуры

 

 

 

х={

J

t d r

,

 

(1.14)

 

 

 

 

У - 2 П

(А) '

 

V

7

 

 

 

 

 

 

 

 

где т =

^ — г0 . tо — момент

вылета

электрона из катода

(г =

а).

Формула

(1.14) дает не г

как функцию т, а т как функцию г,

и приме­

нима лишь на участке движения от катода к аноду; если же электрон,

достигнув при т = хтах

максимального

значения

г = гтах,

движется

обратно к катоду, то для этого участка движения

во второй

формуле

(1.13) надо брать знак

минус и вместо

формулы

(1.14) будем иметь

* - * - - \ т £ т - -

( 1 Л 5 )

Таким образом, при / ф = 0 и /у = fr (г) радиальное движение электрона определяется уравнением (1.11), которое формально сов­ падает с одномерным уравнением движения частицы единичной массы в потенциальном поле, характеризуемом потенциальной энергией П (г). Применительно к нашей задаче функция П (г) определяется по­ тенциалом электростатического поля, пропорциональным In (г/а), действием магнитного поля, дающим слагаемое QV2 /8 в правой части (1.10), и так называемой центробежной энергией, соответствующей слагаемому Q2 a4 /8 г2.

Формулы

(1.14) и (1.15) позволяют вычислить

г — г (г),

после

чего из соотношения (1.06) с помощью еще одной квадратуры

можно

вычислить ф =

ф (т). Мы получили точное решение

уравнений дви­

жения, которое, однако, является довольно громоздким и не может быть обобщено на случай, когда имеется сверхвысокочастотное поле, у которого / г и / ф зависят от г, ф и t. Поэтому целесообразно обратить­ ся также к приближенному методу решения уравнений движения.

Рассмотрим функцию

П (г);

она

изображена

на рис. 1.1. Для

удобства обозначим

 

 

 

 

е

„

Q 2

a 2

, т

— С = — У-1Г-'

( 1 Л 6 )

г д е у — положительный

 

параметр,

 

пропорциональный напряжен­

ности электростатического

поля (1.08). Тогда

 

 

 

П (г) = Q

 

у

2 1

г

.

 

1

I

а 2

\2

(1.17)

'-аг In

 

 

 

 

г

 

г

 

dn

 

 

2

 

а

 

 

8

I

 

 

Q2

у

а*

 

 

 

 

г

 

 

(1.18)

dr

2

г

 

і

4

 

 

d2U

=

Й 2

„2

 

 

 

 

 

 

(1.19)

dr2

Г2

'

4'

1

{

 

"

 

 

 

2

г

 

 

 

 

и значение г = г, при котором

 

=

0, находится

из биквадратного

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г 4 — 2ya 2 r 2 — д4

= 0

 

 

 

(1.20)

237

в виде

~r =

aVy + YfT~\,

(1.21)

причем

 

 

_ L * И (7) =

Q> T f r + W + D + l . Q . ,

(1.22)

2 dr*

2 { y + V t + \ )

 

где й есть круговая частота малых радиальных колебаний электрона около окружности г = г; значение г соответствует устойчивому поло­ жению равновесия—дну потенциальной ямы (рис, 1.1), т. е. фак­ тически круговому движению электронов.

Нас интересуют в общем случае не малые колебания около окруж­ ности г = г, а большие колебания, когда электрон движется от катода (г = а) к окружности г = гтах, достаточно далеко отстоящей от ка­ тода, и обратно. Такое движение мы рассчитываем с помощью метода усреднения, изложенного в 4-й лекции и применимого также при наличии сверхвысокочастотного поля (см. ниже).

В данном случае комплексное ускорение /, стоящее в правой части (4.03), в соответствии с формулами (1.08) и (1.16) равно

/ =

- ^

^ е

г ч , =

- ^ - - ^ -

= у - ^ .

(1.23)

 

 

т

г

 

т

г*

 

2г*

 

 

Полагая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = a + pe - ' Q \

 

 

(1.24)

получаем для а и р

усредненные

уравнения

 

 

 

 

 

а = — ^ - , , Р = - ^ - / е ^ \

 

(1.25)

аналогичные уравнениям (4.11). Правые

части

этих уравнений легко

вычислить: при условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| a | > I P |

 

 

(1.26)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= - ' ' v f ^ >

Р =

0,

 

(1-27)

откуда

 

 

 

а0

— const, р = const,

 

 

 

a = a 0

е _ ' С т ,

(1-28)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 М 2

 

2|a«|«

 

V

'

Постоянные

а 0

и Р мы определяем из начальных условий

 

z = a0

+ j3 = a, z = — / ( S a 0

+ fiP) = 0 при т = 0,

(1.30)

которые дают вещественные а 0

и р,

в

силу

соотношений

(1.26)

и

(1.29) равные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а ^ 2 ± П ± К а ,

р в ' - ^ д < 0 ,

( 1 . з і )

Смотрите также файлы