Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 276

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При наличии решетки с периодом L по оси z возбуждается бесконечное число обобщенных плоских волн, волновые векторы которых имеют составляющие

 

а—

(о

2ля

kx = 0, ky,n=

I k2—kz,n,

kz,n=

+ ——

 

 

v

L

(n = 0.

± 1 , ± 2 , . . . ) ,

 

которые можно либо трактовать

как пространственные гармоники плоской вол­

ны согласно формуле (а), либо, определяя угол "&п соотношением

ky.n = k S i n # n ,

k2,n — k COS#„,

выводить из основной формулы теории

решеток

k (COS

— cos do) = - — •

Это соотношение можно получить таким путем: поле, возбуждающее ре­ шетку, по оси z имеет фазовую зависимость, определяемую множителем e l k z c o s *°. Токи, возбуждаемые на решетке и являющиеся источниками поля, создаваемого решеткой, имеют более сложную зависимость от z, поскольку в пределах одного периода решетка имеет произвольную сколь угодно сложную форму. Вместе с тем, эта форма повторяется в каждом периоде, так что в точках, сдвинутых на

целое число периодов (Аг =

mL,

т =

± 1 , ± 2 , ... ), токи

отличаются

фазовым

множителем e ' * A z C 0 S * ° =

e.lkmL

c o s *о.

Поэтому любая

декартова

состав­

ляющая поля решетки при i/=const есть произведение периодической функции Z (с периодом L) на фазовый множитель e t f t 2 C 0 s * ° . Разлагая периодическую функ­ цию в ряд Фурье и учитывая, что каждая декартова составляющая поля решетки, например Нх, удовлетворяет волновому уравнению

 

 

д2Нх

 

д2Нх

 

 

 

получаем для нее представление

 

 

 

 

 

 

Нх =

со

 

 

 

 

 

 

2

Cn e'(W+**.n*),

 

 

 

п = —оо

 

 

 

 

где Сп

— постоянные,

a k y > n

и кг>

п определяются формулами, выписанными

выше,

причем корень

для kyt п

вычисляется так, чтобы было

либо ky3 п ;> О

{волна, уходящая от решетки), либо

ky^ п

= i \ k y

< n \ (волна,

затухающая при

удалении от решетки). В первом случае

мы получаем обычные плоские волны,

которые и создают излучение Смита — Парселла.

 

Правда, источник этого излучения — заряженную нить — нельзя реализо­

вать физически. Если над той же диффракционной

решеткой пролетает не нить,

а точечная частица, то согласно решению задачи

4 в плоскости у, z она при

К | У I 3> 1 создает поле

 

 

 

 

 

 

мало отличающееся от поля неоднородной плоской волны, создаваемой нитью. Поэтому в плоскости у, z диффракционные поля в обоих случаях будут подчи­ няться одинаковым закономерностям.

6. Найти статическое распределение потенциала в плоском диоде (рис. 1.1),

пренебрегая

распределением скоростей и

совмещая

потенциальный

минимум

 

 

 

дФ

 

с катодом,

т. е. ставя граничные условия

Ф = 0 и

=г— = 0 при г =

О, Ф =

= U = const при

z =

D. Считать, что электроны покидают катод (потенциаль­

ный минимум) со скоростью*

 

 

 

 

 

f

v*f0(v)dv

 

 

 

о

 

 

 

 

 

f

и/о (v)

dv

 

 

 

о

 

 

Вычислить /О(У)

и

w для максвелловского

распределения скоростей у катода,

приведенного в задаче

1.

 

 

Показать,

что при

w = 0 зависимость

плотности анодного тока / от анод­

ного напряжения

U определяется законом трех вторых. Найти поправки к этому

закону, обусловленные скоростью ш, а также фактическим несовпадением по­ тенциального минимума с катодом (см. задачу 2). Показать, что поправки к анод­ ному току, связанные с током эмиссии / е , существенно меньше, чем поправки, связанные со скоростью w.

Последнее важно по следующей причине. При отсутствии пространствен­ ного заряда флюктуации анодного тока ( дробовой эффект) повторяют флюктуа­ ции тока эмиссии, а при ограничении анодного тока пространственным зарядом флюктуации тока эмиссии практически не сказываются на анодном токе: флюк­

туации анодного

тока вызываются, в основном, флюктуацией

средней

скоро­

сти W.

 

 

 

Р е ш е н и е .

Обозначим плотность анодного тока через

/ (/ < 0);

тогда

плотность заряда в точке с потенциалом Ф равна

 

 

Р = — ,

/

< 0 -

ш2

2е

Ф

— —

V

т

 

 

 

где радикал определяет согласно закону сохранения энергии скорость электронов в данной точке. Уравнение Пуассона имеет вид

d2Ф

=

— 4яр =

4л/

 

1е

 

 

 

 

 

/

w* — — Ф

dO

 

т

 

 

 

Умножая его на и интегрируя, получаем

 

J

1 /

w2 — — Ф

 

о

у

т

 

где мы воспользовались граничными условиями на катоде. Переписывая последгіФ

нее соотношение в виде (считаем д^~> 0, см. рис. 1.1)

ЙФ

-V-

- dz

і /

8 я т / ,

2е

_ ш

 

— ф

 

т

 

 

* Определенная таким образом скорость w есть средняя скорость электро­ нов, идущих к аноду. Можно показать, что, вводя такую скорость, мы в первом приближении учитываем влияние распределения скоростей f0(v) на анодный ток и распределение потенциала.

и интегрируя, приходим к соотношению

ф

_ і / 8 я ш / г,

(a)

2е Ф — w

дающему зависимость Ф от г, т. е. распределение потенциала в диоде, а при Ф

=U и г = D — зависимость / от U.

Положим сначала w — 0. Тогда соотношение (а) примет вид

Y_J!L

± ф г / і = і /

8птіг

и л и Ф = і / _ 8 1 " ' m / * г 4 / 3 .

Полагая Ф = {/ и z = D , получаем формулу трех вторых

 

1

і /

2 Т І / 3 / 2

;

9я

V

т

Вычисление интеграла (а) при w > 0 довольно громоздко, но выполняется в эле­ ментарных функциях. При этом вместо формулы трех вторых получаем более сложную формулу

 

 

 

 

т

\ з / 2

 

 

2е

\

U — — - w

 

 

 

2е

 

'

9л '

rn

 

D 2

 

X / 1 - — -

w

\

/

1 +

2а>

 

- \

 

 

Считая, что начальная скорость w мала по сравнению с конечной:

можно упростить эту формулу следующим образом:

 

^--V

 

— ^-l^'-—-—\

 

 

 

(Ь)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где сохранены только

члены порядка є =

—.

а

члены

порядка є

отброшены.

 

 

Г

т

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим теперь

для

максвелловского

распределения.

Если

через

Ф т <

0 обозначить значение Ф

в потенциальном минимуме при z

= z m >

то со­

гласно

закону'сохранения энергии скорость электрона vm

в

минимуме связана

с его скоростью v у катода

соотношением

 

 

 

 

 

mvli

еФт

> 0.

 

Если распределение скоростей у катода — максвелловское (см. функцию f(t, О, v) в условиях задачи 1), то распределение у потенциального минимума — такое же, и

"т

Вычисляя интегралы для w, получаем

 

 

 

 

 

У

п

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

m

 

 

 

 

 

 

Если

взять

сравнительно

низкое

напряжение

t/ = 10 в,

то

получим

є ~

0,

1, є 2

~ 0,01

(см. задачу 2); при более высоких

напряжениях

є

снижается

до значений

порядка 0,01.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулу (Ь) можно было бы уточнить, заменяя

U на U — Фт

и D на D —

—

гт

(величина г т зависит от тока эмиссии, см. задачи

1 и 2), но такие замены

дают гораздо меньший вклад, чем поправочный

член в формуле (6); это следует

из

чисел, полученных в задаче

2.

Впрочем,

уже

из

предыдущего

ясно, что

1Ф™1 о2

и~є •

СП И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К 1-й ЛЕКЦИИ

1.Л. А. В а й н ш т е й н . Электромагнитные волны. Изд-во «Советское радио», М, 1957 (гл. 1).

2.Дж . Д ж е л л и. Черенковское излучение. Изд-во иностранной литературы,

1960 (гл. 1, гл. 2, § 1—3; гл. 3, § 4 и 7; гл. 4, § 4 и 5; гл. 11, § 9).

3.

Дж .

Д ж е к с о н .

Классическая электродинамика. Изд-во

«Мир», 1965

 

(гл.

17).

 

 

4.

В. М. Ч е р н е н к о .

Возбуждение колебаний в открытых

резонаторах

 

ультрарелятивистскими электронными сгустками. В сб. «Электроника боль­

 

ших мощностей», вып. 6. Изд-во «Наука», 1969, стр. 135—146.

 

5.Л. А. В а й н ш т е й н . Теория дробового эффекта при наличии простран­ ственного заряда. Сборник научных трудов, вып. X I . Изд-во «Советское ра­ дио», 1948.

6.Л. А. В а й н ш т е й н . Депрессия дробового эффекта в цилиндрических диодах. К теории дробового эффекта. ЖТФ, 1947, т. 37, № 9, стр. 1035—1044, 1045—1050.

7. Л. Б о л ь ц м а н. Лекции по теории газов, Гостехиздат, 1956.

8.А. А. В л а с о в. Теория вибрационных свойств электронного газа и ее при­ ложения. Ученые записки МГУ, вып. 75. «Физика», кн. 2, ч. 1, 1945.

2 Зак. 112 3

Л е к ц и я 2

ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ

Как было сказано в 1-й лекции, система уравнений электроники включает в себя уравнения поля и уравнения движения, которые нужно решать совместно. В связи со сложностью задач сверхвысо­ кочастотной электроники возникает необходимость в дальнейших аппроксимациях. Наиболее часто производится разбиение поля на резонансную и нерезонансную части; последняя связана с дейст­ вием пространственного заряда и аппроксимируется тем или иным образом.

Это разбиение наиболее четко и просто проводится для полей в объ­ емных резонаторах. Ниже будет рассмотрено возбуждение колеба­ ний в объемных резонаторах заданными токами фиксированной частоты; в силу линейности этой задачи ее решение позволяет ана­ лизировать сложные периодические процессы в объемных резона­ торах, а также процессы, близкие к периодическим.

Полученные соотношения можно применять к резонансным элект­ ронным автогенераторам, в которых генерируемое поле распреде­ лено в пространстве так же, как добротное собственное колебание резонатора. По существу, роль электронов в таких генераторах сво­ дится к тому, чтобы поддерживать это колебание, компенсируя по­ тери, и мы рассмотрим это взаимодействие электронов с резонан­ сным полем с общей точки зрения.

а. РАЗЛОЖЕНИЕ П О СОБСТВЕННЫМ К О Л Е Б А Н И Я М

Возбуждение объемного резонатора рассматривается в сле­ дующей идеализации: поле резонатора занимает конечный объем V и не проникает за пределы некоторой замкнутой поверхности S, огра­ ничивающей этот объем V. Задан возбуждающий ток

j(0 =

R e { j ( c o ) e - ^ } ,

(2.01)

и надо найти возбуждаемое

им

поле

 

Е (t) = Re {Е (со) е~ш

}, Н (0 = Re {Н (со) е - ' » ' },

(2.02)

комплексные амплитуды которого удовлетворяют уравнениям

rotE = ifc|iH,

r o t H = —

ifo$E + — j ,

(2.03)

где (см. 1-ю лекцию)

 

с

 

 

 

 

k = —,

є = є(со),

Li = fx(co).

(2.04)

с

В дальнейшем зависимость Е, Н, є и. ц от со будет лишь подразуме­ ваться.

34

Смотрите также файлы