Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 283

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тогда выражения

для гармоник тока (VI 1.03)

принимаютТвид

(см. 7-ю задачу к 7-й

лекции)

 

 

I n = 2Jn(nB)ein&-v±n).

(VI 1.07)

Величина •О' представляет среднее возмущение фазы электронов, а ве­ личина В есть амплитуда переменной части возмущения; она является параметром группировки электронного пучка, поскольку в рассмат­ риваемом приближении определяет абсолютные значения гармоник тока. В дальнейшем удобно считать, что В может принимать как поло­ жительные, так и отрицательные значения; при этом следует иметь в виду, что фаза ип гармоники тока /„ будет определяться при раз­ личных знаках Jn (пВ) по-разному, а именно

ип = п($—

р +

л) при

Jn(nB)>0,

ип = п{&—

р +

я.)4-л

при Jп(пВ) < 0 .

Согласно формуле (VI1.06), мы характеризуем все процессы в элект­ ронном потоке тремя функциями Ь, В и р. Уравнения для этих функ­ ций можно вывести из уравнения движения (VII.01), интегрируя его по гл0 от 0 до 2 я и интегрируя также после предварительного умноже­ ния на sin и0 и cos uQ. Проще, однако, воспользоваться тремя законами сохранения, выведенными в приложении V I : они сразу приводят к трем уравнениям для функций if, В и р. Запишем законы сохранения, определяемые соотношениями (VI.14), (VI.27) и (VI.31), при отсут­ ствии синхронных волн (Fn = 0) и при малой модуляции электрон­ ного пучка по скорости, пренебрегая слагаемыми порядка е по срав­ нению со слагаемыми порядка единицы и, в частности, потоком по­ тенциальной энергии Рс (поскольку мы считаем а2пАп^. 1, последний член правой части (VI. 14) порядка є2 , в то время как остальные—• порядка е). Учитывая, что начальные условия (VII.04) отличаются от начальных условий (VI .07), получаем соотношения

^ - = 0,

(VII. 09)

3£

(VII . 10)

4

и

— - - = . 0 .

(VII . 11)

ди0 дГ,

Используем теперь приближенное выражение (VII.06) для функ­ ции учитывая, что и -•= и0 + f>. Из соотношения (VI 1.09) прежде всего получаем

- ^ - = 0,

(VII . 12)

dt,

 

12*

355

т. е. средняя скорость пучка не изменяется в процессе группировки (поскольку мы не учитываем потока потенциальной энергии). Поэтому (Г==0 в соответствии с начальными условиями (VI 1.04).

Соотношение (VIІ.П) при подстановке (VI 1.06) принимает вид

 

A

+

^

l

i P

= 0

)

(VII . 13)

 

dt,

 

 

2

dt,

 

 

v

'

т. е. ^ | =

0 (так как & = 0), и в силу

начальных услозий (VII.04)

имеем Р = 0 . Далее, подставляя

в соотношение (VI 1.10)

величину

 

 

"]КГ\2 _ 2_ / dB \ 2

 

 

 

Ы )

~

2

\ d l )

'

 

 

получаем для В уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-£!Ly

+ 2q(B) = x*,

( V I I .

14)

в котором

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q(B)--=2Vc = —

2 о ^ | / п | 2

=

2 2 ^ Л ( п В )

( V I I . 15)

 

2

п

 

 

 

 

/г

 

 

имеет смысл потенциала кулоновских сил, зависящего от переменной

В,

характеризующей

группировку пучка; по поводу обозначения

Vc

см. формулу (7.56)

и задачу 9 к 7-й лекции. Дифференцируя урав­

нение (VII . 14) по £, получаем уравнение колебаний для переменной В

 

 

 

d 2

B

+ Q(B) = 0,

 

( V I I . 16)

где

 

 

dt;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q (Я) = - g - = 2 2 шх» Jn

(пВ)

(пЯ) -

Jn+1 {пВ)\

(VII . 17)

 

 

dB

п

 

 

 

 

 

 

имеет смысл нелинейной силы, взятой

с обратным знаком. Характер

решений полученных уравнений зависит от вида функций

q (В) и

Q(B). Чтобы вычислить эти функции, примем экспоненциальный

закон

кулоновского

взаимодействия

сечений

электронного

пучка

(см. задачу

11 к 7-й лекции),

который

приводит

к следующему

выра­

жению

для

коэффициентов

депрессии:

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 +

fe2'

 

( V I I . 18)

 

 

 

 

п

 

 

 

где безразмерный параметр k = 1/г обратно пропорционален радиусу электронного пучка. Тогда для функций q и Q получаем ряды

 

<7=22-і±£/*(лД)

(VII. 19)

И

п га2 + &2

 

 

 

Q = 2 2 и ^

y n (nfl) [Уп _г (лЯ) - / п + 1 (пВ)1,

(VI 1.20)

п

Я2 + Я2

оторые при В < 1 можно преобразовать в степенные ряды

 

в 2

г.

 

.

1-з

 

 

, 1-3-5

 

 

 

 

k*в*

 

,

і (VII.21)

 

 

2

L

 

 

4

22

+ й-

 

4-6

 

(22

+ /г2 )(32

+

/г2)

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-3 /г2 В 2

, Ь З - 5

£ 4 В 4

 

 

 

+

....1

(VII . 22)

 

1 + ^

2

2

+

2

^

2-4

2

2

)(3

2

£

2

)

 

 

2

 

ft

( 2

+ *

+

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие В <

1

соответствует

отсутствию

обгона

одних

электронов

другими; если

при этом

рассматривать

 

также бесконечно широкий

электронный

поток,

 

то,

полагая

k ----- 0,

получим линейную силу

 

 

 

 

 

 

 

Q

/>\ q

/>'"

2

 

 

 

 

 

 

(VII.23)

и уравнение

(VII . 16)

имеет

элементарное

 

решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В = х sin £,

 

 

 

 

 

 

 

 

(VII.24)

которое уже было получено в задаче 10 к 7-й лекции.

В общем случае сила Q нелинейно зависит от параметра груп­ пировки В. На рис. VI 1.1 приведена зависимость q и Q от В при раз­ личных k. Потенциал q имеет максимум, а сила Q обращается в нуль при некотором значении В — Вк, зависящем от параметра k.

Такое поведение потенциала и силы можно объяснить следую­ щим образом. При В < 1 сила Q непрерывно возрастает с увеличением группировки, так как электроны собираются в сгусток, не обгоняя друг друга; при этом расталкивающие силы растут. Для более тонких пучков силы расталкивания меньше; однако величина Q оказывается больше, поскольку согласно формуле (VI 1.20) в выражении для Q имеет­

ся множитель

1 + k2,

благодаря которому слагаемое п = 1 опреде­

ляет силу, зависящую

только от В, но не от k. Это видно также из

выражения для о2 „,

в которое входит отношение коэффициентов

Г„/Гь с

ростом параметра k это отношение возрастает.

При

В >

1 часть

электронов перегоняет друг друга; поскольку

сила взаимодействия между этими электронами меняет знак, то ве­ личина Q начинает убывать, так как согласно формулам (VI 1.15) и (VII.17) она пропорциональна усредненной по электронам силе пространственного заряда. Когда В продолжает увеличиваться, все больше электронов обгоняют друг друга, и Q при В > Вк меняет знак, т. е. силы отталкивания стремятся увеличить В. Это объясняется

тем, что при В <С 1 имеется один сгусток

(там, где производная

ми-

нимальна, см. левый

рис. VII.2), а при В >

1 образуются два сгустка

(правый рис. VII.2),

которые при В >

Bk

обособляются настолько,

что силы отталкивания, стремясь увеличить расстояние между ними, тем самым способствуют увеличению В.

Характер нелинейных колебаний существенно зависит от того, достигается ли значение В — Ви в процессе группировки. Нарис . VII.3 показаны фазовые траектории, определяемые соотношением (VII.14),

Рис. VII.?. Зависимость и от щ

по формуле (VII.06) при

0 < В < 1

(до обгона, один сгусток) и при

В > 1 (после обгона, два

сгустка).

dB

на плоскости переменных В, Если начальная модуляция электрон­

ного пучка по скорости не слишком велика,

так что

x<V2q(Bh),

(VII.25)

то В < Вк и фазовые траектории замкнуты. В этом случае мы имеем дело с нелинейными плазменными колебаниями и соответственно с не­ линейными волнами пространственного заряда. Если же

%>Y2q(Bh),

то фазовые траектории уходят в бесконечность и колебаний по суще­ ству нет. В этом случае процессы группирования, грубо говоря, про-

ав/аі

Эе-yfZqTBkJ

 

dB

Рис. VII.3. Фазовая плоскость В, щ- для электронов в про-

ж

странстве дрейфа.

dB

исходят так же, как и в кинематическом приближении (когда -^==и).

Таким образом, силы пространственного заряда

играют

двоякую

роль: при В < Вк

они

препятствуют

образованию

сгустков, а при

В > Bh

приводят

к их ускоренному

распаду.

 

 

Максимальное значение амплитуды первой гармоники тока сог­

ласно формуле (VI 1.07)

определяется

соотношением

 

 

 

 

^t~J1

 

(B) = J-[ (В)

dB

0.

 

 

 

 

 

dl,

1 К

'

'

dt

 

 

 

При

условии

В <L Bh<i

1,84

максимум

первой

гармоники тока

получается, когда В = Втах,

при этом согласно уравнению

(VII.14)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2q(Bmax)=tf

 

 

 

(VII.26)

 

 

 

 

 

:

2<Л.

(Втах).

 

 

(VII.27)

Если же В >

Bh,

то dB

ф0

и максимуму первой гармоники тока со­

ответствует

значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J'i(Bmax)

= 0

(Втах=1М),

 

 

(VI 1.28)

359

Смотрите также файлы