Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 285

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Смысл соотношений (VI .28) заключается

в том, что работа синх­

ронных

волн

над электронами

в

движущейся системе координат со­

провождается

как уменьшением их средней

энергии ws в поле синх­

ронных

волн

(ws

имеет

иной вид и иной смысл, чем при Fn ~

const),

так

и (при £"„ >

0) переходом

 

энергии синхронных волн в волновод-

ную

систему

или наоборот, в зависимости от знака

3d, т. е. от зна­

ка

~

г .

Интегрируя,

получаем

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш. = о>,(0) +

$ 3 №

 

 

(VI . 29)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш , ( 0 ) = - в £ / , е * 2 ^ - | Л п 1 а

 

 

 

согласно

начальным условиям

(VI .07) есть

значение

ws при

£ = 0,

в

то

время как

wk = wc = 0

 

при £ =

0.

При

отсутствии

потерь

в

волноводе

(все %"п = 0) соотношение

(VI.29)

формально

совпа­

дает

с соотношением

(VI.27).

 

 

 

(VI .29) не столь

 

 

Физическая интерпретация

соотношения

проста,

хотя формально его можно привести к такому же виду, как первый закон сохранения. Для этого введем новые величины:

2 d a n ,

имеющие размерность мощностей, тогда соотношение (VI.29) можно переписать в виде

-РЛ)= 2 [рп®-Рпф)} +

п

Сd<Xn

+ " £ 2 ^ " \

-

г - ^

—

Р п ( М + Р с ( 0 .

(VI.30)

bj

2

dZ ~

l n

 

 

Это соотношение, равно

как

и

первоначальное

соотношение

(VI .29), можно назвать законом сохранения энергии в системе коор­

динат, движущейся

со скоростью невозмущенного пучка; основанием

для этого служит

тождество

 

 

 

ди

 

 

 

~ъ -

1

1

 

ди

р І

ди

согласно которому wk и Рк пропорциональны среднему квадрату скорости электронов в движущейся системе координат. Его можно также назвать балансом реактивных мощностей для системы, состоя-

346

щей из пучка и синхронных волн, поскольку он тесно связан с соот­ ношением (VI.23), имеющим именно такой смысл.

Следует отметить, что для

синхронных волн электрического

типа, у которых

 

ЕХФ0,

Я 2 = 0 ,

величину Р„ можно интерпретировать как поток энергии синхронной волны (на п-й гармонике) через пространство взаимодействия, вы­ численный в движущейся системе координат. В самом деле, попереч­ ные составляющие поля этой волны при отсутствии пучка связаны соотношениями

Н = — —-Е Н — — Я

В системе координат, движущейся по оси z со скоростью ve <С с, поперечные составляющие равны

Нх==Нх + ^ Е у = | l - A ^ j t f x ,

 

Uy = H v - ^ E x

= ( \ - h ^ - ) H v ,

Ey

= E y + ° f H x

= ( l - ^ ) E y ~ E y .

Таким образом,

поперечное магнитное поле синхронной волны на

п-й гармонике при переходе к движущейся системе в силу формулы (7.13) умножается на

1 - = 1 - (1 + е У - - е £ „ ,

а поперечное электрическое поле практически не изменяется. Поток энергии через пространство взаимодействия в движущейся

системе определяется выражением

 

 

Рп = Re {-\(ЕХ Щ~ЕУ

Я*) dS

(г = const),

в которое входят комплексные амплитуды поля, поэтому, пренебрегая величинами порядка (е£"п )2 , можно написать простое соотношение

Рп =

-г&Рп.

Под влиянием модулированного электронного пучка фазовая скорость синхронной волны изменяется, поэтому в соотношение (VI .30) входит величина

P - - e ( 2 d ^ - l n ) P n ,

а

интегральные слагаемые в правой части (VI .30) можно представить

в

виде

пО

если определить Рп с помощью нового соотношения

р

„ d a n п

 

dt,

Все три определения Р п при отсутствии модулированного пучка (7П =0> совпадают, так как тогда = %'п в силу формулы (VI.23).

Перейдем теперь к третьему закону сохранения. Усредним урав­

нение движения (VI .01), предварительно умножив его на -S^-. Справа

OUo

получим интегралы вида ^ди—е~'"", которые равны нулю в силу перио­

 

 

 

ди„

•& = и — и0

от и0.

 

 

дической зависимости

функции

Слева

получим

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ди

д2 и

 

 

ди

 

 

 

 

 

ди0

dt,2

1

<Э

ди0

.

1

~д

Г

 

 

дах3

2е

dt 1

ди\2

'

2е2

ди0

ди

'

причем последнее слагаемое также обращается в нуль из-за периодич­ ности Поэтому при начальных условиях (VI .07) мы получаем третий закон сохранения

ди

ди„

= 1,

(VI.31)

 

ди\2

1 + е —

дії

физический смысл которого вскрывается следующим образом. Учиты­ вая соотношения

д и

- 1 - J - а а

^"

^

ди0

ди0 '

dt,

dt,

и выражение (VI.16) для потока кинетической энергии, получаем, что

"Ж

Рк(Q-Pk(0)

= -hu<

, a " ; r , •

(VI-32)

1 + е —

Таким образом, третий закон сохранения связывает изменение сред­ него потока кинетической энергии пучка с модуляцией пучка по току

348

(|^-) и скорости ( ^ | ) . ^ 3 него, в частности, видно, что если в каком-то сечении пучка отсутствует хотя бы один из видов модуляции, то в сечении Pk(Q = РкЩ- Действительно, если нет модуляции по току,

то

дії

Л

д$

зависит от

 

== 0, а если нет модуляции по скорости, то -щ не

и0; в

обоих случаях интеграл в правой части (VI .32)

обращается

в нуль, причем во втором случае мы имеем

 

 

 

 

ди0

 

 

из-за периодичности f>.

 

 

 

При дополнительных предположениях третий закон сохранения

(VI .32) переходит в так называемую теорему

о кинетической мощно­

сти, известную в линейной теории лампы с бегущей волной; эта теорема

широко используется

для

анализа шумов. Действительно, мы имеем

 

 

 

диа

 

_ 7

1

Г

 

 

 

1 + в 1 с)

 

 

 

 

причем можем заменить v2

на

v2

— v2e;

 

если обгон

отсутствует, то

а» _ди_

j

_ ди

 

 

 

ди0

 

ди0

 

 

 

 

 

 

Переходя к интегрированию по текущему

времени t,

получаем теоре­

му о кинетической

мощности

 

2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ph(z)-Pk(0)

= ±.

I (J-J0)Ud(<ot)

(VI.33)

 

 

 

 

2 я

0

 

 

 

в обычном виде; здесь

 

 

 

 

 

 

П

= f - (v'-vi)

 

& —

ve

(v~ve)

(VI.34-)

 

 

le

 

 

e

 

 

 

есть так называемый кинетический потенциал, второе (приближен­ ное) выражение для которого соответствует линейной теории.

Из соотношения (VI .33) сразу видно, при каком характере моду­ ляции электронного пучка энергия-отбирается из пучка или, наоборот, накачивается в пучок. Допустим, что часть энергии передана от пучка полю, т. е. Pk{z) < Р/г(0); тогда интеграл в правой части должен быть отрицательным; это значит, что переменный ток J — J0 и кинети­ ческий потенциал П в основном должны быть в противофазе. Наоборот, J — і , и П при Pk{z) > Pk{0) в основном должны быть синфазны.

Подчеркнем, что при выводе третьего закона сохранения не применялись уравнения возбуждения, а использовалась лишь перио­ дичность поля, действующего на электроны. Все три закона весьма удобны при анализе как нелинейных, так и линейных процессов в электронных потоках. Ниже мы рассмотрим два примера их при­ менения.

Смотрите также файлы