П р и л о ж е н и е VIII
КЛИСТРОН КАК ПРИМЕР РЕЗОНАНСНОГО АВТОГЕНЕРАТОРА
Во 2-й лекции был выведен целый ряд общих соотношений, относящихся к резонансным автогенераторам. В этом приложении мы конкретизируем эти соотношения применительно к клистронным гене раторам — двухрезонаторному и отражательному. Имея в виду, что нам нужно пояснить общую теорию на примерах, мы ограничимся рассмотрением клистронных генераторов в самом грубом приближе
нии, всего быстрее ведущем к поставленной цели. |
|
В двухрезонаторном клистронном генераторе |
практически оди |
наковые резонаторы связаны друг с другом. Благодаря этой связи •собственные частоты резонаторов, как известно, расщепляются. Если через tor o обозначить комплексную собственную частоту изолирован ного резонатора, то система из двух связанных резонаторов будет
иметь собственные частоты |
|
cor ± = c o r O ± A 0 r , |
(V1II.01) |
где Асог — вещественная величина (положительная |
или отрица |
тельная), определяющая расщепление частоты под влиянием эле
ментов |
связи, |
не вносящих дополнительных потерь. Удобно через |
сог + обозначать |
частоту того собственного колебания, при котором |
поля в |
обоих |
резонаторах синфазны, через сог_ — частоту противо |
фазного колебания. Предполагается, что используемое колебание {синфазное или противофазное) связанной системы возбуждается •электронным пучком без заметной примеси других колебаний, в част ности мы считаем, что резонансные кривые синфазного и противо- •фазного колебаний практически не перекрываются.
Оба резонатора пронизываются прямолинейным электронным пучком, взаимодействующим с полем резонаторов в зазорах. Считая модуляцию электронов по скорости малой, можно пользоваться
уравнением движения |
|
|
|
|
|
|
— ~ - = Re {F (£) е-'(». + *)} + |
§ |
(VII1.02) |
в |
безразмерной |
форме (ср. начало |
приложения |
V I I ) . Здесь |
§ — без |
размерная сила |
пространственного' заряда, а комплексная |
функция |
F |
(£) определяет продольное электрическое поле в зазорах. Пренебре |
гая |
временем пролета электронов |
через зазоры, можно представить |
F |
[І) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
F (£) = х [б (£) ± |
е-'С. 6,(£—£„)], |
(VI 11.03) |
где х — положительная постоянная, пропорциональная амплитуде напряжения на первом зазоре, расположенном при £ = 0; второй зазор расположен при £ = £ 0 , и мгновенное напряжение на нем либо равно напряжению на первом зазоре, либо отличается от него знаком.
Множитель е- '£° = е—'нег° |
обусловлен |
тем, |
что |
мы |
взяли |
е = 1 , |
т. е. положили |
£ = |
hez, |
и учитываем то обстоятельство, что продоль |
ное электрическое поле |
имеет согласно формуле |
(7.12) |
безразмерную |
амплитуду F (£) e'7lez. Через |
б (£) обозначена |
одномерная |
дельта- |
функция, удовлетворяющая |
соотношениям |
|
|
|
|
б(£) = 0 при |
|
j" б (£) d£ = |
1 при A > |
0. |
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
= Л8 (£), |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^Г(+0)-^Г(~0) |
|
= А , |
у( + 0) = |
у(~0). |
|
dfe |
ас, |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что уравнение (VIII.02) справедливо при малой моду |
ляции электронов по скорости, т. е. при |
1 и х « |
1. |
|
Поступающий в первый зазор электронный пучок не модулиро |
ван, так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф = 0, ~ |
= 0 при £ = — 0. |
|
(VIII.04) |
После прохождения |
первого |
зазора |
мы имеем |
|
|
|
|
д = 0, |
= — x c o s « 0 |
при £ = |
+ 0 . |
(VIII.05) |
Эти начальные |
условия |
по существу |
совпадают с условиями |
(VII.04),. |
в которых к |
sinu0 |
заменено |
на — х |
cosu0 . Дальнейшее изменение |
О зависит от сил пространственного заряда. Если последними |
пренеб |
речь (положить §s==0), т. е. рассматривать клистрон в баллистиче
ском |
приближении, то |
будем иметь |
|
|
|
г т = - х £ с о з ы 0 при 0 < £ < £ 0 , |
.((VI 11.06) |
так |
что по формуле (7.09) при п = 1 получим функцию |
|
|
/(£) = — |
Г e , ( " ' _ x C c o s " * , r f u 0 |
= — 2/./1 (х£), |
(VIII.07) |
|
|
о |
|
|
определяющую первую |
гармонику тока. |
|
|
|
Вычислим теперь амплитуду и частоту колебаний в резонаюрах, |
для |
чего обратимся к |
балансу активных |
и реактивных |
мощностей, |
рассмотренному во 2-й лекции. Из формулы (7.12) следует, что при интегрировании по первому зазору
|
|
8(z)dz=-U0 |
= ^ x |
= 2Uex, |
(VIII.08) |
так |
что параметр |
х связан с амплитудой |
напряжения U0 |
формулой |
|
|
х = — Ї Ї 7 Г > 0 |
We<0)- |
(VII1.09) |
При |
вычислении |
комплексной амплитуды первой гармоники тока |
в пучке надо учесть, что в клистронной задаче эффективный постоян ный ток пучка (см. начало 7-й лекции) следует отождествить с его полным током J е , поскольку переменное электрическое поле, дейст
вующее на электроны в зазорах, |
практически постоянно по |
сечению |
пучка. Комплексную амплитуду |
первой гармоники тока в зазоре, |
отбирающем энергию у сгруппированного пучка, обозначим |
(см. 2-ю |
лекцию) через — / 0 е ' ф » ; мы имеем |
|
-J0 е'ф. = JE I (Со) = - 2Ue JT Ко).
Комплексная амплитуда напряжения на том же зазоре согласно формуле (VIП.03) равна
поэтому активная и реактивная мощности пучка определяются выра жениями (2.65), в которых
|
Ф= |
Фо + |
£о |
|
П Р И |
знаке « + », |
|
|
(VIII. 10) |
|
ф = ф0 |
-4- Со + я |
при |
знаке «—», |
|
|
|
|
|
|
|
причем в силу |
отрицательности |
J е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фо = — у |
П Р И |
Л К о ) > 0 > |
|
|
|
|
|
Ф0 = |
у |
|
при |
А ( х С 0 ) < 0 , |
|
, |
(VIII. 11) |
|
У0 |
= |
2[Ув У1 (хЄ0 )|. |
|
|
|
|
|
|
Теперь, пользуясь первой формулой (2.65), нетрудно найти ак |
тивную мощность пучка, |
а |
пользуясь |
|
формулой |
(2.59),—энергию |
и амплитуду колебаний (в том числе U0). |
Формула |
(2.66) сразу |
опре |
деляет частоту |
колебаний, |
которая |
также входит |
в |
выражение для |
Со- Под сог = |
(х>'г — t'co"r |
в |
этих |
формулах нужно |
|
понимать либо |
сог+, либо сог_ в соответствии с формулой (VIII.01). Пучок будет |
отда |
вать резонаторной системе максимальную |
активную |
мощность Ре |
при |
соблюдении двух условий. Во-первых, абсолютная величина функции
Бесселя J І. (х£о) должна быть максимальной; обычно |
берут |
хС0 = 1,84, 2УХ Ко) = 1,16, |
(VIII. 12) |
поскольку при всех |
других аргументах амплитуда тока |
меньше. |
Во-вторых, должно быть |
|
cosq>=l, |
£0 = 2 я ^ п ± і ) , n = 0, 1, 2, |
(VIII.13) |
причем значение п = 0 возможно, разумеется, только при знаке « + ».
Формула (VIII . 13) определяет оптимальные электронные |
частоты |
ai=2n(n±-)^-t |
(VIII. 14) |
соответствующие центрам зоны генерации; каждая зона определяется неравенством cos ср >• 0, при выполнении которого пучок способен поддерживать колебания в резонаторах. Характерное время Те сог ласно формулам (2.67) и (VIII . 10) равно
Те = -^- = -^-, |
(VIII. 15) |
dm |
ve |
|
т. е. действительно является временем пролета. |
|
Мы видим, что при надлежащем |
выборе переменных |
движение |
электронов в пучке, подвергнутом гармонической модуляции по скорости, определяется очень просто, в то время как при неудачном выборе переменных все кажется сложным (см. задачу 3 к 1-й лекции).
Пользуясь результатами приложения V I I , нетрудно рассмотреть установившиеся колебания в двухрезонаторном клистроне с учетом пространственного заряда. Предполагая, что пространственный заряд
настолько сильный, что зависимость Ф от |
£ имеет колебательный ха |
рактер (см. рис. VI 1.3), вместо |
формулы (VIII.06) будем иметь |
|
|
0 = |
— к — ^ |
cos и0 |
при 0 < I < |
£0 , |
(VIII. 16) |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
где |
для достаточно |
широкого |
пучка |
|
|
|
|
|
|
|
|
< х = - ^ Н - ; |
|
|
(VIII. 17) |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
при |
учете конечной |
ширины |
пучка |
надо |
полагать |
|
|
|
|
ст = |
] |
r ^ |
v , |
|
|
(VIII. 18) |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
где |
ТІ — коэффициент депрессии |
на |
1-й гармонике, а величина |
v оп |
ределяется формулой (VI 1.31). Формула |
(VIII.07) |
принимает |
теперь |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( р = _ 2 / У Ц х - ^ ) , |
|
(VIII.19) |
и вообще всюду, где раньше входило произведение х£, теперь входит более сложное выражение к -, при a£->- 0 переходящее в преж нее. Условия (VIII.12), определяющие максимум 1-й гармоники тока, соответственно изменяются, однако формулы (VIII.13) — (VIII.15), являющиеся для нас наиболее важными, остаются без изменений.
Изложим теперь баллистическую теорию отражательного кли строна и посмотрим, какой смысл имеют величины со,,' и Те для него. Если в промежутке между отражателем и зазором электростатиче ское поле можно считать однородным, а движение электронов — равноускоренным (ускорение направлено от отражателя к резона тору), то, считая зазор расположенным при г = 0, а отражатель — при z < 0 (рис. 2.3), можно представить координату г электрона как функцию времени в виде
z = v(t~t0) |
+ f(t-tX, |
|
(VIII.20) |
где t0 — момент выхода электрона из |
зазора |
со скоростью |
|
v = — ve(\ + |
xcosu |
0 ), н0 = |
со^0. |
(VIII.21) |
Знаки определяются тем, что электроны проходят через зазор в на
правлении отрицательной оси z; малый параметр и > |
0, |
определяю |
щий модуляцию потока по скорости, по-прежнему задается |
формулами |
(VII 1.08) |
и (VIП.09). Момент |
прихода электрона обратно в зазор |
есть |
|
|
|
|
|
|
|
tj, = L — — |
= t0 |
+ ^s- |
(1 + х cos и0). |
|
(VIII.22) |
|
w |
|
w |
|
|
|
Вместо |
формулы (VI11.07) |
мы |
будем |
иметь |
|
|
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
/ = — Г е'««'du0 = 2UX(xS0)е'С, |
|
(VIII.23) |
где |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ о = 2 ^ . |
|
|
(VIII.24) |
Формулы (VIII.10) и (VIII.11) остаются в силе и для |
отражательного |
клистрона, если под to понимать величину (VIII.24) и ограничиваться знаком « — » , т. е. второй формулой ( V I I I . 10); применение второй формулы диктуется тем, что электроны проходят через один и тот же
зазор |
в противоположных |
направлениях: в первый раз — в |
направ |
лении — z, во второй — в |
направлении |
-f- z. Соотношения |
( V I I I . 12) |
также |
остаются |
в силе. Оптимальные |
электронные частоты равны |
|
|
© в ' = 2 я f |
n — |
( п |
= 1 , 2 , |
...,). |
|
(VIII.25) |
а |
|
V |
4 J |
2ve |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Te=*L |
= ^ |
|
|
|
(VIII.26) |
есть, |
как видно |
из формулы (VIII.22), |
время |
пролета |
электронов, |
не испытавших |
модуляции, от резонатора к отражателю и обратно. |
Электроны, |
отдавшие свою энергию |
при вторичном |
прохождении |
через зазор, оседают на ближайшей стенке. Поскольку отражательный клистрон является маломощным генератором, это оседание обычно не приводит к вредным последствиям.
