Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 273

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П р и л о ж е н и е IX

ЭЛЕКТРОНЫ-ОСЦИЛЛЯТОРЫ

Из теории лампы с бегущей волной (6-я и 7-я лекции) следует, что прямолинейный поток электронов неустойчив, т. е. спо­ собен генерировать и усиливать электромагнитные колебания и волны, если фазовая скорость волн в волноводе, где движутся электроны, близка к скорости электронов или (для плотных пучков) к фазовой скорости медленной волны пространственного заряда. В теории лампы с бегущей волной основное внимание обращают на усиление, однако полученные в 6-й и 7-й лекциях соотношения применимы и к режиму генерации. Если ставить задачу так, как в приложении IV, т. е. за­ давать волновое число h и искать (в линейном приближении) комплекс­

ную частоту со, то из

характеристического

уравнения, выведенного

в 6-й лекции, следует

выражение

 

 

 

г- •

 

ю = / ш е ± с о р

] / Г — К — ^ — ;

 

р

V

2(h~hs)

здесь мы использовали соотношения, введенные в задаче 8 к этой лекции, в частности К есть коэффициент связи пучка с синхронной волной. Это выражение при К = 0 переходит в формулу (6.69) для волн пространственного заряда, в общем же случае показывает, что

связь с синхронной волной добавляет к

коэффициенту депрессии

Г резонансное слагаемое.

 

Если прямолинейный поток электронов пронизывает среду с боль­

шим показателем преломления п, то при

условии

также возникает неустойчивость (см. приложение IV), обусловленная возбуждением электромагнитной волны, распространяющейся под некоторым углом ІУ к направлению движения электронов. Для не слишком плотных пучков $ определяется соотношением

cos f> да — — ,

для плотных пучков скорость электронов ve надо заменить фазовой скоростью медленной волны пространственного заряда. Характеристи­ ческое уравнение получается в том же виде и дает три возможных значения /і^»со/уе при заданной частоте со и два возможных значения со при заданном волновом числе h.

370

Если электроны колеблются, то усиление и генерация возможны и при отсутствии медленной волны. В этом приложении мы рассмот­ рим электроны, совершающие колебания под действием статических полей, и покажем, что система таких электронов представляет собой «универсальную» активную среду, способную поддерживать электро­ магнитные колебания при весьма общих условиях.

 

Пусть электроны движутся в отсутствие переменных полей сог­

ласно

одномерному

уравнению

движения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = f°(x),

 

 

 

 

(IX.01)

где f°(x) — ускорение,

создаваемое

статическими

полями.

Будем

считать, что эти поля заставляют электроны совершать

периоди­

ческое

движение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ - R e 2 ^ e - ' " W + * . )

 

 

(IX.02)

с периодом 2л/а>0 и

произвольной

начальной фазой

ф 0 , так что ряд

(І X .02) с постоянными коэффициентами хп есть частное решение урав­

нения

(IX.01).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если на электроны действуют еще переменные поля, то уравне­

ние

движения

можно

записать

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = f°(x)+F(t,

х, х).

 

 

(IX.03)

Его

решение мы будем

искать

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

xo +

xi

 

 

 

 

(IX.04)

и ограничимся

сначала

линейным

приближением, считая

ускорение

F,

вызванное

переменными

полями,

и соответствующее

смещение

частиц л1 малыми. Учитывая, что Xй есть решение уравнения

(IX.01),

получаем для х1 линейное

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x* = x^+F(t),

 

 

 

 

(IX.05)

где

 

 

 

 

 

 

dx°

 

 

 

 

 

 

 

 

/о=

fo ^

F(t)

= F (t, х\

*°).

 

 

(IX.06)

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

(IX.05)

есть

неоднородное

линейное

уравнение вто-

 

 

 

 

 

 

 

df°

 

 

 

J.

 

 

рого порядка с коэффициентом - ~ , зависящим только от г и имеющим

в силу формулы (IX.02) период 2я/со0 . Прежде чем решать неоднород­ ное уравнение (IX.05), рассмотрим соответствующее однородное уравнение

1=1^-

(IX.07)

dx°

и обозначим через li (t) и \ г (t) линейно независимые решения этого уравнения, для которых определитель Вронского

?1

^2

(IX.08)

 

 

33*

371

отличен от нуля. Из уравнения (IX,07) получаем

оу = 0, до = const.

(IX.09)

Решение неоднородного уравнения (IX.05)

ищем в виде

я 1 = Ci ( 0 U 0 + С , (*)£,(*).

(IX. 10)

Применяя метод вариации постоянных (ср. 2-ю и 4-ю лекции), по­

лучаем

 

 

 

С а £ х + С 2 5 2 = 0 ,

C^ + C ^ F ,

откуда

c 1 = = _ ± g a F ,

C 2 = ± ^ F ,

ww

ипри начальных условиях

 

 

хі = о,

Xі =

о

(* = /„)

 

(їх.и)

мы будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

C1(t) = — — [ltFdt,

 

Ci(t)=-L\l1Fdt.

 

(IX.12)

 

 

w J

 

 

 

w J

 

 

 

 

to

 

 

 

to

 

 

Функции Si и ^ 2

известны,

если

известны решения

уравнения

(IX.01), сколь угодно близкие к решению (IX.02),

поскольку малая

вариация

Ьх° как раз удовлетворяет

уравнению

(IX.07).

Нетрудно

видеть, что в качестве

| i можно взять

функцию

 

 

 

Е 1 = х ° = ©0 — =

©0 Im

2

яхп<?-"«<»• < + <Ч

(IX. 13)

а в качестве £2 —функцию

 

 

 

 

 

 

 

Ъ = ^ = Ъ е У . ^

е - " ("о / + Ф.) + 1г йЛ^> и

(IX. 14)

 

де

~0

de

 

 

 

de

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_1

 

 

 

ф{х)=~^{х)йх

 

(IX. 15)

 

в = ~{х°)2+ф(х0),

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

есть энергия частицы, совершающей одномерное колебательное дви­

жение согласно

уравнению (IX.01), ф (х) — потенциальная

энергия

этого движения

(как е, так

и ф берутся

на единицу массы). В общем

случае не только комплексные

числа хп,

но и частота колебан ИЙ (О Q,

зависят

от е.

| i и 12 определитель (IX.08) равен

 

Для

таких

 

 

 

де

де

де 2

1

(IX.16)

 

 

 

 

и формулы (IX. 10)

и (IX. 12) дают

 

=

— l * F d t + U{t)\ lyFdt.

(IX.17)

Будем теперь считать, что в единице объема имеется N нелиней­ ных осцилляторов-электронов, совершающих колебания по формулам (IX.02) с определенной энергией є и произвольной фазой ср0 и под воздействием переменного поля приобретающих смещение (IX. 17). Переменное поле будем считать однородным, т. е. одинаковым для всех осцилляторов. Кроме того, предположим, что осцилляторы не­

прерывно

обновляются, причем осциллятор,

появившийся в

момент

t0 с энергией є и произвольной фазой ф 0 (0<!ф0

< 2я),

удовлетворяет

начальным

условиям (IX. 11)

и существует

в

промежутке

времени

t0Jrx<.t<Ct0Jr'T-{-dx

с

вероятностью

g

(x)dx\

функция g (т),

удовлетворяющая

условию

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

$ g ( T ) r f r = l ,

 

 

 

(IX.18)

 

 

о

 

 

 

 

 

есть функция распределения осцилляторов по «времени жизни» т. Эта функция может, например, иметь вид

g(x) = ve-«*

^ t > 0 , v = - ^

(IX.19)

или

 

 

 

 

 

 

„ р „ 0 « т < І О ,

( i x 2 0 )

g(x)

= 0

при других

т,

 

где для функции (IX.19)

т 0 —

среднее время

жизни, а при

исполь­

зовании функции (IX.20) мы предполагаем, что все осцилляторы имеют

одно и то же время жизни т 0 ,

после чего они уходят из пространства

взаимодействия (как в гиромонотроне, см. 8-ю лекцию).

 

Под влиянием переменного поля возникает переменная плотность

тока

 

 

оо

('

 

j x = eN\ x1g{x)dx

= eN \ x^git — Qdtv,

(IX.21)

0

—оо

 

где волнистой чертой, как в 8-й лекции, обозначено усреднение по

начальной фазе ф 0 , а именно

 

Xі = — $ Xі гіФа.

(ІХ.22)

Смотрите также файлы