Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 274

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Согласно формуле (IX. 17) имеем

 

 

 

Xі

= 5 w {V,

t)F{t')dt',

 

 

 

 

to

 

 

 

(IX.23)

 

 

t

 

 

 

£

=

\

w(t\t)

F(t')dt',

 

 

 

 

to

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

w(f, t) =

\ x

(V) ІЛі)~ІЛП

it (0,

(IX.24)

a \i и 1 2 определяются формулами (IX.13) и (IX.14). При усреднении функции ш по ф 0 надо учесть, что

M O O ) = ~Re

2 "

2 е ' п Ш о 4 - Кхп е-*™°<),

2

Т

*

ІГ(П?(0 = - ~ R e У

n 2 х п е - * ™ » « ( х * е " - » .

2

т

*

в силу тождества

Re %апе-1п<е°Яе

£

6 n e - " " P . = — R e

2 в „ # ї =

n = 1

n= 1

2

гг= 1

 

1

^

(IX.25)

 

2

n = l

 

 

в котором an и Ьг а не зависят от ср0 . В левой части этого тождества можно заменить Re на Im . Это тождество следует из того, что

Re 2 й п е-/»<р. = - L

2

апе-?»ф., а_п = а£, а0 = 0,

п = 1

« =

0 0

причем после усреднения по ф 0 в произведении двух рядов остаются только члены, не зависящие от ф 0 .

Таким образом, мы получаем

w (Ґ, t)= — Re 2

rtft)o

ds

 

 

+ «fi)0 xn e-'n(flo< — (4 є'"»»'')

или

( f , f) = -^-2rtCuo -—— [ « t o 0 1 - ^ т г І 2

c o s л г с о 0 — 1 ) \

( I X . 2 6 )

до

 

 

и, в частности,

w

причем равенство единице следует из формул (IX.16) и (IX.24). Если

со о не зависит от є (или хотя бы

= 0 при данном є), то мы полу­

чаем тождество

 

2 п 2 с ° о К 1 2 = ^ ( » 2 = = 1 .

Положим

(IX.27)

тогда

 

 

 

F{t) = Re {F

(со)е-'и Ч,

 

 

 

х

IF (СО) J wlfj)

 

 

dt\

= Re {-j

/ісо0 X

 

 

1 = Re

 

 

2

X de

пЫХп\

J

e » (ш — П Ю 0 )

T

j

gi (0) + П0)„) x

F((n)e-le>t

 

со—nco0

 

 

CO + « c o 0

и беря

в

качестве g(x)

функцию (IX. 19), получаем

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x1g(x)dx

=

 

 

= ^ е

fТ

2 П(Ло

de

\Х„\

-nco0

+

('v

co-bnco0 +

£v

Учтем теперь формулу (IX.21), а ускорение (IX.27) свяжем с элект­ рическим полем Ex(t) и его комплексной амплитудой Ех (со) соот­ ношением

F (t) = -

Ех

(0 = Re 1-і- Ех (со) е-'^

(IX.28)

т

 

I т

 

При написании формул (IX.27) и (IX.28) мы предполагаем, что пе­ ременное электрическое поле, действующее на осцилляторы, одно­ родно; в противном случае в выражении для ускорения частиц фигу­ рируют слагаемые с частотами со±ясо0 (п = 0, 1, 2, ... ), усложняющие все последующие соотношения (для / ж , а (со), є (со) и т. д.). Движение осцилляторов в однородном переменном поле Ех создает переменный ток с плотностью

 

 

 

 

jx(t)

=

Re{o(<u)Ex(<u)er'"*},

где

 

e2N

 

d I

,

, , /

1

1

 

 

 

а (со) =

і

Am

2 mo0 —de

«со0

|л;п

|

CO — ЛСОо +

iV со + я с о о - H v / J

есть комплексная

проводимость

системы

осцилляторов,

е (со) = 1 + .іAna (со)

de шо0|

iv

"1

хп\ ( c o - H v ) 2 - n 2 c o 2

J

(ІХ.29)

(ІХ.30)

(IX.31)

— комплексная диэлектрическая проницаемость, а

—

— плазменная частота, соответствующая N — данной концентрации электронов.

Если осцилляторы линейны, то в ряду (IX.31) отличен от нуля только член п — 1. Учитывая, что со0 не зависит от є и что

ае йе

приходим к известному выражению для проницаемости, обусловлен­

ной упруго связанными

электронами:

 

,

ч

і

C02

(CO+Jv)

 

Є (и) =

1

v

(v)2 —со2 ,]

 

 

 

со [(co +

или

 

 

 

 

(IX.32)

є (со) =

1

 

р-

,

 

 

 

CO2^2JVCO—со о

 

причем второе выражение мы получаем, вычеркивая v в числителе и v 2 в знаменателе. Оно соответствует электронам, которые не перестают взаимодействовать с полем, но постоянно испытывают силу трения

— 2 mvx; в то время как первое выражение соответствует электронам, время взаимодействия которых с полем имеет функцию распределения (IX . 19). Полагая в первом выражении (IX.32) со0 = 0, получаем известную формулу

*(«>) = 1

(IX.33)

со (co +

'v)

для диэлектрической проницаемости холодной плазмы.

Заметим, что в классической теории

диэлектриков, основанной

на концепции упруго связанных электронов, часто вместо формулы (IX.28) приходится пользоваться формулой

т

где

E«ff = Е + 4л;хР

— среднее поле, действующее на электрон, а Р — поляризация диэлектрика (дипольный момент единицы объема), связанная с плот­ ностью тока соотношением

дР

dt

а % — численный коэффициент. При отличии действующего поля от среднего (при х¥=0) первое выражение (IX.32) принимает вид

 

 

1 - 0 - Х )

со2 (со +

іv)

 

 

со [(co-f-i'v)2

— cog

 

 

є (со)

cog (co + tv)

 

 

 

 

 

 

 

c o [ ( c o - M v ) 2 - c o 2 ]

Для

газов поправка, связанная с %, обычно несущественна, для жидко­

стей

и твердых

тел ее следует учитывать, причем теоретическое зна­

чение х = 1/3,

полученное Лоренцом для среды, состоящей из хаоти­

чески расположенных точечных диполей, лишь приблизительно со­ ответствует опытным данным. В электронике, как показано в конце

приложения

IV, можно отождествлять действующее поле со средним,

причем для электронов,

совершающих колебания большого

размаха

и при своем

движении

как бы пронизывающих друг

друга,

в

усло­

вии (IV.84) под v о можно понимать скорость

колебательного

дви­

жения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

(IX.32) показывает,

что при v =

0 и со=^со0 линейные

осцилляторы

дают

вещественную

функцию

є (со),

положительную

или отрицательную,

а

при v > 0

появляются

потери

(Ime (со) > 0),

вызванные обновлением осцилляторов в пространстве взаимодействия: электрон выходит из игры, и запасенная им колебательная энергия пропадает (см. приложение I I ) . Нелинейные осцилляторы обладают более разнообразными свойствами, к анализу которых мы и перейдем. Это разнообразие вызывается именно нелинейностью, благодаря кото­

рой

возбужденные (колеблющиеся)

осцилляторы ведут

себя иначе,

чем

невозбужденные, в то время

как для линейных

осцилляторов

вынужденные и свободные колебания складываются без взаимных возмущений.

Наиболее простые и интересные свойства нелинейных осциллято­

ров получаются при условии

 

< » о > * (<»оТ0 >1),

(ІХ.34)

т. е. когда среднее время взаимодействия осцилляторов с переменным

полем достаточно велико по сравнению с их собственным периодом

2л/со0 . При условии

(IX.34) резонансные кривые для величин а (со) и

є (со), определяемых

формулами (IX.30) и (IX.31), не перекрываются,

и в пределах каждой резонансной

кривой, т. е. при

 

| с о — m o „ | ^ v

(/г=1, 2, ... ),

(IX.35)

нерезонансными слагаемыми вообще можно пренебречь. Мы получаем для є (со) выражение

Є (СО) =

Ег (СО) + Є 2 (СО),

 

 

Єї (со) = 1 —

е2 (со) = —

2

(ІХ.36)

(со—жоо-Hv)

с о — n c o 0 4 - i v

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qi

= -T-T

(n c °o Ixn I2 )-

 

Q* = ~ -IT n c °o I * n

I 2 4 (n ( °o).

(IX.37)

 

4

об

 

 

 

 

4

да

 

 

причем

постоянная

Йі

имеет

размерность частоты,

а £22 —-квадрата

частоты; частота

со вне

резонансного знаменателя

со — псо0

+

iv за­

менена на псо0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложение є на сумму є 4

и е 2

соответствует различным

степеням

резонансного знаменателя.

Первое

слагаемое є j зависит от

разности

частот со — псо о так же, как

комплексная диэлектрическая проницае­

мость системы линейных осцилляторов; действительно, делая в фор­ муле (IX.32) те же аппроксимации, что и при выводе формулы (IX.36), получаем выражение

е (со) = 1 —

2со0 (со — c o 0 - H v )

согласующееся с формулой для 8j (со), если положить

 

 

 

 

п = \ ,

Q 1

= ^ L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2со0

 

 

 

 

Однако для

линейных

осцилляторов

всегда

Q4 > 0 ,

в то время

как

для нелинейных может быть и й і

<< 0, что, как легко показать,

при­

водит к

отрицательным

потерям.

Действительно,

положим

 

 

 

 

є1

= еі + іе^,

г2

= г'2+ів"2,

 

(IX.38)

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

є і

1 —

Q i ( c o — я с о 0 )

 

„» _

 

 

 

 

 

(со — лсо0 )а + v 2

 

1

( с о — г а с о 0

) 2 - И 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(IX.39)

 

 

fi2

[ v 2 — ( с о — ясоо)2 ]

 

«

2 Q 2 v ( c o — гссо0)

 

 

 

[ ( с о — n c o 0 ) 2 + v 2 ] 2

 

1

[ ( с о — w o 0 ) 2 + v 2 ] 2

 

На рис. IX . 1 изображены все четыре величины (IX.39) при положи­

тельных

значениях

 

и Q2 ; е с л

и ж е

величина

Q4

или Q2 отрица­

тельна, то соответствующие кривые «опрокидываются» и, в частности,

мы

получаем

є " і < ; 0 .

Еще более важным свойством

нелинейных

осцилляторов

является

наличие

слагаемого

е2

(со),

для

которого

при

любом

знаке

fi2 возможны

отрицательные

значения

г\: если

й 2

> 0 ,

то

ег <

0 при

с о < я с о 0

(рис. IX.1),

если

же

Q 2 < 0 , то

ег <С 0

при

 

с о > я с о 0 .

Слагаемое

е 2 имеется

только

при

^ = ^ = 0 ;

если v - > 0, то слагаемое є а является определяющим, так как при выполнении условия (IX.35) мы имеем

Є і - 1 ~ ^ ,

є 2 ~ - ^ .

(ІХ.40)

Поэтому при достаточно больших временах взаимодействия с полем система нелинейных осцилляторов является неустойчивой или, что

Смотрите также файлы