Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 270

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

т о ж е самое, активной — способной отдавать запасенную в ней коле­ бательную энергию переменному полю.

К аналогичным результатам мы приходим, беря вместо функции (IX . 19) любую функцию g (т). В этом случае вместо формулы (IX.30) получаем

а (со) = і —

т 0

У

псо0

—

{псо01 хп |2

[G ((со — «со0) т0 ) + G ((со +

псо0) т0 )] },

Am

 

„

 

de

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

G ( ( c o ± m o 0 ) T 0 ) =

1-

\ [\—eH«>±™°^]g(x)d%,

(IX.41)

 

 

 

 

 

(со ± ЛС00) Т 0

о

 

Рис. IX.1. Диэлектрическая проницаемость системы ангармонических осцилляторов по формулам (IX.39); предполагается, что й х > 0 и й 2 > 0 .

а для функции (IX. 19)

G © =

(IX.42)

 

l + i

Разложение (IX.36) є на сумму г± и е 2 остается в силе, однако теперь мы имеем

є ^ с о ) ^

1— QitoG^co — псо0 )т0 ), е2(со) = Й2 То^ - ((со —nco0 )t0 ), (IX.43)

dG

 

 

где - 7F

есть производная G по всему аргументу

а постоянные Qi и

Q2 по-прежнему определяются формулами (IX.37). Если экспоненту под знаком интеграла (IX.41) разложить в степенной ряд и обозначить

через & п положительные

числа порядка

единицы:

 

оо

 

 

* »

= ± J

{r)dr,

(п= 1, 2, 3, ... ),

 

о

 

 

то при малых

значениях

 

 

 

 

| = (со—/гсо0)т0

формулы

(IX.43)

дадут

 

 

 

 

 

 

 

 

е J -

1

= -

Qx

т„ (02

£ -

<*Д 8 ) ,

є, = Q1

т0 (#! -

#з | 2

) ,

(IX.44)

Є2 =

Q 8

Tg (f}2 _

3#4 I2),

82 =

2£>2

Т2 , (<*8 g -

2#5

g3),

 

что вместе с очевидным

соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim tG(t)

=

1,

 

 

 

(IX.45)

вытекающим из формулы (IX.41), показывает, что в общем случае

характер изменения всех четырех величин є^, e"lt s'2 и г\

такой же,

как в частном случае функции (IX.19), ведущей к формулам

(IX.39)

и рис. I X . 1 . Поэтому

неустойчивость

остается при любом виде функ­

ции g (т),

если

она

характеризуется

некоторым конечным

средним

временем

жизни

т 0 .

 

 

 

 

 

 

Если

же т0

= оо,

т. е.

обновления электронов нет,

то,

полагая

в формуле (IX.36) v = 0,

получаем

выражения

 

 

 

є і (т) — 1

~

 

Ь inQ1

б (со— псо0),

 

 

 

 

 

со—лсоо

 

 

 

(IX.46)

 

е2 (со) =

 

—

t'jtQ2 — б (со — ясо0),

 

 

 

 

 

(со—

псо 0 ) 2

 

dco

 

 

определяющие при со=^псо0 вещественные функции, которые можно также вывести из предельного соотношения (IX.45).

Квадратичный резонанс, т. е. наличие величины є 2 (со), обратно пропорциональной квадрату разности частот, есть характерное свой­ ство осцилляторов, у которых частота колебаний со0 зависит от энер­ гии; раскачивание таких осцилляторов переменным полем, настроен­

ным точно в резонанс (со =

и<о0), приводит согласно формуле

(IX.17)

к

появлению

слагаемого,

пропорционального

квадрату

времени,

а

именно

согласно

выражению (IX. 14) мы получаем

 

 

 

 

 

 

 

dlncOn

с

 

 

 

 

 

 

 

x ^

- l ^ -

^

t

\l1(t')F(t')dt'

 

+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t«

 

 

 

 

 

При

со =

ясо „ интеграл

содержит слагаемое,

пропорциональное

времени, и, следовательно, xx~t2,

в то время

как

при-^^- = 0

(т. е.,

в

частности,

для

линейных

осцилляторов)

при

совпадении

частот

x1~t, чему соответствует

простой

резонанс—функция et

(со). Как

будет показано ниже, появление квадратичных членов в выражении для Xі связано не с квадратичным нарастанием амплитуды, а с квад­ ратичной зависимостью фазы колебаний от времени.

Рассмотрим более подробно явления, происходящие при ре­ зонансном раскачивании неизохронных осцилляторов, у которых

^ ^ 0 . При условиях (IX.34) и (IX.35) существенна лишь п-я гар-

моника движения

электрона, синхронная с полем. Пренебрегая

в формуле

(IX.02)

несинхронными

гармониками, будем

иметь

х° =

Re {хпе~'п

<<•>«' + Фо>},

lm{xne-in«i>°i+<f>°)},

(IX.47)

что соответствует на фазовой плоскости х°, х° движению по окруж­ ности (с угловой скоростью — псоо, зависящей от е, см. рис. IX.2). В отсутствие переменного поля электроны движутся с вполне опре­ деленной энергией, их траектория в фазовой плоскости — окружность, нанесенная на рис. IX . 2 жирной линией. При изменении ср0 точка', соответствующая данному электрону, смещается вдоль окружности, при из­ менении є она смещается на соседнюю окружность, где период обращения уже иной. Последнее обстоятельство приво-

дит

(как при

>

0, так и при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

0)

к фазировке,

т. е. к образованию

 

 

 

 

 

 

 

сгустков на фазовой

плоскости

и

в ре­

 

 

 

1

і

і

^

альном

пространстве — на оси

х

(ре­

 

 

 

 

 

х

°

альный сгусток есть проекция фазового

 

 

 

 

 

 

 

на ось х).

Если

электронные

осцилля­

 

 

 

 

 

 

 

торы заполняют объем, размеры кото­

 

 

 

 

 

 

 

рого

существенно

больше

амплитуды

Рис. IX.2. Формирование сгуст­

колебаний

осциллирующих электронов,

то

внутри

этого

объема фазировка

не

ка на фазовой

плоскости:

 

приводит к появлению уплотнений

и

 

 

 

dat0

>

0;

 

 

>-

при

-

 

разрежений

в электронном

облаке

и

 

 

 

de

 

 

 

лишь

граница этого объема осциллирует

 

 

при

db>0

<

0.

 

(см.

8-ю лекцию).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

de

 

 

 

 

Рассмотрим

самый

простой

механизм

фазировки — клистрон-

ный. В

приборах типа

О при пренебрежении

силами

пространствен­

ного заряда образование сгустка вызывается прямолинейным дви­ жением со скоростью, определяемой энергией электрона после его

прохождения

через

группирующий

резонатор: быстрые

электроны

нагоняют

медленные

и

образуется

сгусток,

способный

возбуждать

резонатор.

В

системе

нелинейных осцилляторов, удовлетворяющих,

например,

условию

~

> 0, происходит

примерно то

же: осцил­

ляторы, увеличившие свою энергию, переходят на внешние окруж­ ности, двигаются быстрее и догоняют в своем фазовом движении те осцилляторы, которые уменьшили свою энергию и перешли на внут­

ренние окружности.

Образовавшийся таким

образом

сгусток

(рис. IX.2) способен

поддерживать колебания

определенной

фазы.

В лампе с бегущей волной формирование сгустка и отдача энергии электронами происходят параллельно и непрерывно,то же наблю­ дается в системе нелинейных осцилляторов под воздействием пере­ менного поля (IX.27) и (IX.28). Заметим, что в лампе с бегущей вол-

ной типа О в силу формулы (6.13) движение электронов характери­ зуется квадратичным резонансом, как и у электронных осцилляторов.

Зная комплексную диэлектрическую проницаемость системы осцилляторов, мы легко можем рассчитать свойства объемного ре­ зонатора или волновода, заполненного однородной средой, состоящей из таких осцилляторов. Поскольку магнитная проницаемость среды такая же, как у вакуума (u, = 1), частота колебаний заполненного резонатора определяется формулой

со2 =

( I X . 4 8 )

є (со)

V

где сог — комплексная частота пустого резонатора, а функция є (со) най" дена выше. Если согласно формуле (2.05) положить

cor = cor 'fl

— j , co2 = c o r 2 ( l

— V

то ясно, что незатухающие колебания в данной системе возможны лишь при условии

~ ~ > ~ ,

( I X . 4 9 ) .

8' Qr

причем знак равенства определяет начало генерации (пусковое усло­ вие). Если время взаимодействия т 0 достаточно велико, то в пусковом условии е' и е" можно заменить на г'2 и є£, и оно в силу формулы ( I X . 4 4 ) примет вид

 

— ^ £ = - ^ - « 1 ,

( 1 Х - 5 0 >

 

 

# 2

Qr

 

 

т. е. соответствующее значение £ отрицательно и мало. Частота

коле­

баний в

начале генерации

определяется

соотношением

 

 

# 2 C O 2 Q 2 T 2

= CO;2,

 

( I X . 5 1 )

и, поскольку величина Q 2

пропорциональна концентрации

элект­

ронов N, пусковая концентрация оказывается обратно пропорцио­

нальной

квадрату времени

т 0 .

 

осцилляторов, заполняет

Если

среда, состоящая

из нелинейных

волновод, то продольное волновое число h в такой системе на частоте

со оказывается равным

 

h= | / ( - y) 8 e(to) - g 8 ,

( I X . 5 2 )

где g — поперечное волновое число, которое в идеальном

волноводе

зависит лишь от размеров и формы поперечного сечения; для чисто

поперечной волны (например, в коаксиальной

линии) g = 0 и фор­

мула ( I X . 5 2 ) принимает вид

 

h = ~ У"ёЩ.

( I X . 5 3 )

Смотрите также файлы