Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 0
100 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. V |
Итак, всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению (теорема Гамильтона — Кэли).
Эта теорема непосредственно следует и из соотношения (4.7.3). В самом деле, характеристический многочлен Д (А) оператора А в /?, которому в некотором базисе отвечает рассматриваемая матрица А , содержит в качестве множи теля минимальный многочлен всего пространства % (А). По этому из равенства
И) = 0
немедленно вытекает равенство
А (Л) = 0
и, значит,— равенство (2.1).
§ 3. Построение матрицы, преобразующей квадратную матрицу к квазидиагональному виду
Рассмотрим квадратную матрицу U порядка п с собст венными значениями Ац А2, ..., А,„ среди которых могут быть и равные *). В дальнейшем эти собственные значения будем разбивать на группы, отмечая принадлежность к той
или иной группе верхним индексом. Так, А/0> обозначает /-е собственное значение группы о.
Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р
групп А(іа), .... |
A^j (о = |
1, ..., |
р ; |
ka = л), так, что |
||
|
|
|
а=1 |
|
|
|
I А,-а) — A/s) I > 0 |
(оф8-, |
і = 1 , |
. . . , k a- |
j = \ , . . . , k s). |
||
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
Каждой группе о поставим в |
соответствие |
многочлен |
||||
Да (А) = |
П (А - |
Af) |
(а = 1 |
, |
..........2 |
р). (3.2) |
|
s«I /=1 |
|
|
|
|
|
|
s=jп£=o |
|
|
|
|
|
Вычислим ранг матрицы Да (V). Для этого воспользу емся теоремой о дефекте матричного многочлена, согласно
*) Собственное значение кратности т здесь рассматривается как т равных собственных значений, и каждому из них приписывается свой индекс.
$ 3] П О С Т Р О Е Н И Е М А Т Р И Ц Ы 101
которой, если матрица U имеет |
элементарные делители |
(Я — Я1)Л>, (Я— Я2)г*, |
(Я — %t)rt, |
то дефект матричного многочлена Аа (U) определяется фор мулой
і
d = 2 mln(v/> rl)>
У-1
где Vj — кратность Я/ как корня Да (Я).
Если Яj принадлежит группе о, то Vj — 0.. Если же Я; не принадлежит группе о, то ѵ/ >> г,-, так как степень эле ментарного делителя не может превосходить кратности соб ственного значения Я/ матрицы U, а кратность собственно го значения Я, матрицы U совпадает с кратностью Я к а к корня многочлена Д0 (Я) (в правой части (3.2) множитель (Я— Яj) повторяется столько раз, какова кратность Яj). Поэтому дефект матрицы Да (U) равен сумме степеней эле ментарных делителей, соответствующих всем собственным значениям, не включенным в группу а, или, учитывая, что сумма элементарных делителей, соответствующих данному
Я/, равна кратности Я/ как собственного значения |
матрицы |
|
и, получим, |
что дефект матрицы Д0 (U) равен |
п — ka. |
Отсюда ранг |
матрицы Да (U) в точности равняется k0 — |
|
числу собственных значений матрицы U (с учетом их крат ностей), включенных в группу а.
При возведении матрицы Дст (U) в целую степень нену левые числа V/ увеличиваются,.в то вр.емя как все г/ остаются без изменения. Поэтому ранг любой целой степени этой матрицы также равен ka.
Матрицу Дст (U) как матрицу ранга ka можно представить в виде произведения матрицы Ко типа п х ka с ka ли
нейно независимыми столбцами на матрицу Моо типа |
ka х |
X п с ka линейно независимыми строками: |
|
Да (U) = КоМоа. |
(3.3) |
Поскольку ранг матрицы Дд (U) равен ka, то из равенства
Да (U) = КоМооКоМоо
следует, что квадратная матрица М0а Ко порядка ka явля ется невырожденной матрицей.
Введем в рассмотрение матрицу |
|
|
'■ |
М , = (МооКоГ1Мост. |
(3 . 4) |
102 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. V |
|
Матрицы Ка и Ms (а, s |
, |
р) связаны следующими со- |
||
отношениями: |
МаКа — Eko, |
|
|
|
|
|
(3.5) |
||
|
M<jK5 = 0 |
(o # s ). |
||
|
|
|||
Первое из этих равенств сразу получается умножением (3.4) справа на Ка. Для доказательства второго равенства
заметим, |
что |
(U) As(U) = |
|
(офз), |
|
|
Д а |
0 |
(3.6) |
||
так как из произведения ACTAS при |
а Ф s можно выделить |
||||
множитель |
|
|
|
|
|
|
П |
П ( ^ - ^ |
я) = |
А(і/), |
|
|
Ѵ = 1 |
/ = 1 |
|
|
|
который |
согласно |
теореме |
Гимнльтона — Кэли |
равен |
|
нулю, ибо А (X.) является характеристическим многочленом матрицы U. Используя (3.4), равенство (3.6) можно предста вить в виде
КоМоРКаМаК$Мй$ “ 0.
Отсюда, |
учитывая, что Ка состоит из /е0 линейно |
неза |
|||
висимых столбцов, M0s — из ksлинейно независимых |
строк, |
||||
а МооКа — невырожденная матрица, |
непосредственно по |
||||
лучим второе равенство (3.5). |
|
|
|
||
Введем в рассмотрение блочные матрицы |
|
||||
|
|
|
|
/ М! |
|
|
к = |
(к 1к 2 .. . к р), |
м |
= м 2 |
|
|
|
|
|
\ м р |
|
В соответствии с равенствами (3.5) |
|
||||
|
|
МК = КМ = Еп. |
(3.7) |
||
Представим тождество U = |
KMUKM следующим обра |
||||
зом: |
|
|
|
|
|
|
|
'м у к ^ м у к г ... |
м ,и к Р |
|
|
у |
Л |
MjJK, MJJK2 ... |
м м к Р \ м |
|
|
,мрик, мри к 2... мрикР
§ 4] |
С О Б С Т В Е Н Н Ы Е З Н А Ч Е Н И Я С У Б М А Т Р И Ц Ы |
103 |
|
Принимая во внимание, что матрицы U и |
As (U), как |
многочлены от одной и той же матрицы U, перестановочны, |
||
будем иметь |
|
|
M0UKS= MnUKsM0sKs (MDsKsr l = MaKsMosUKs(MasK5r l.
Отсюда в силу (3.5) |
|
|
|
||
MoUKs — 0 |
(a ^s). |
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
'М1и/<1 |
0 |
. . . |
0 |
||
0 М Ш а |
|
0 |
|||
|
|
|
|
\М. |
|
о |
|
о |
|
• Мри к р/ |
|
|
Ло = |
MaUKa, |
(3.8) |
||
|
л, |
о ... |
о |
||
А = |
о |
л2 ... |
о |
||
|
|
|
|
||
будем иметь |
о |
о ... |
л0 |
||
U = |
KAM, |
(3.9) |
|||
|
|||||
или, принимая во внимание (3.7),
U = КАК~\
Таким образом, построенная матрица К преобразует матрицу U к квазидиагоналъному виду А.
§ 4. Собственные значения субматрицы преобразованной квазидиагональной матрицы
Матрицы U и А, как подобные матрицы, имеют одни и
те же собственные значения. |
|
|
Покажем, что собственные значения -субматрицы |
А0 |
|
матрицы А суть собственные значения матрицы U, включен |
||
ные в группу о. |
|
|
Пусть Xj — собственное |
значение матрицы А0. Тогда |
|
А0 — XjEka — вырожденная |
матрица. |
|
Предположим, что Xj не принадлежит группе а. Тогда |
||
U — XjEn является множителем Д0 (U). Имея в виду, |
что, |
|