Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Теорема 6.1 указывает простои путь построения жордановой формы матрицы. Однако в случае матрицы высокого порядка определение дефектов матриц /ѵ (Xs) (v = 1, 2, 3, ...) может оказаться довольно трудоемкой операцией. Во избежаниеэтого целесообразно предварительно преобразовать матри­ цу U к квазидиагональному виду в соответствии с алгорит­ мом, изложенным в § 3. При том разбиении собственных чи­ сел матрицы U на группы, которое было указано в начале настоящего параграфа, группе s, состоящей из ks одинако­

совпадают. Учитывая это, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 6.2. Пусть Xs — собственное значение (ks-KpaniHoe) матрицы U, As = MSUKS— диагональный блок квазидиагональной матрицы, подобной U, отвечающей груп­ пе ks равных собственных значений Xs. Тогда число клеток Жордана т-го порядка (т = 1, 2, 3, ...) с собственным значением Xs в жордановой матрице, подобной матрице U,

связано с дефектами матриц

[ А з - У У ѵ (ѵ = 0, 1,2, ...)

соотношением

p<m) = 2 dT] - d T ~ X)- d T +{).

Здесь dw обозначает дефект матрицы [As — XßkY- Теперь рассмотрим вопрос о построении матрицы Т, преобразующей матрицу U к форме Жордана J . Мы здесь не будем приводить методы построения преобразующей матри­ цы Т, описанные в имеющейся литературе (см., например, [9]), а ограничимся указанием способа сведения задачи о построении преобразующей матрицы Т п-го порядка к

§ п С Л У Ч А Я М А Т Р И Ц Ы П Р О С Т О Я С Т Р У К Т У Р Ы 111

определению некоторого числа квадратных матриц меньшего порядка.

Исходя из указанногов начале данного параграфа раз­ биения собственных значений матрицы U на группы, мож­ но построить матрицу К = (К±, К2 ■■■К , преобразующую матрицу U к квазидиагональному виду (6.5). При этом груп­ пе s (s = 1, 2, ..., р), состоящей из ks равных собственных значений A,s, будет отвечать диагональный блок Л5 матрицы Л с ks кратным собственным значением

Итак, наряду с (6.2) имеет место легко реализуемое пред­

позволяет свести задачу по построению преобразующей мат­

(а это в прикладных задачах наиболее вероятный случай), то Ns можно построить путем непосредственного решения относительно элементов этой матрицы системы алгебраиче­ ских уравнений, соответствующей матричному равенству

AsNs = NsJs(ks).

§ 7, Случай матрицы простой структуры

Из теорем предыдущего параграфа непосредственно сле­ дуют два результата.

Если /га-кратному собственному значению матрицы от­ вечают в форме Жордана ka клеток Жордана первого по­ рядка, то

и обратно.

матриц простой структуры.

Л е м м а 7.1. Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (3.1) и rk f ) — какое-нибудь

то 1) все собственные значения группы а равны между собой;

2)матрица Ла является диагональной матрицей.

До к а з а т е л ь с т в о . 1) Из (7.1) следует, что все ненулевые столбцы матрицы Да (U) являются собственными

векторами, соответствующими собственному значению Х)а). Так как ранг матрицы Да (U) равен ka, то собственному

значению Х{,а) соответствуют ka линейно независимых

собственных векторов. Это значит, что А./а) является по крайней мере &а-кратным собственным значением матрицы.

Но кратность X f\ очевидно, не может быть больше, чем число собственных значений, включенных в группу о, т. е. больше, чем ka. Значит, кратность собственного значения

А/а) в точности равна ka.

2) Представим равенство (7.1) так:

(U — %fEn) КоМоо = 0.

Отсюда, так как среди миноров матрицы Моа ранга Іга имеется минор ранга ka, то

Лемма доказана.

Т ё о р е м а 7.1. Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (3.1), причем в каоюдую группу включены только равные между собой собственные значения. Для того чтобы U была матрицей простой