Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
9 0 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . IV |
тональную матрицу такого типа говорят, что она имеет
вторую естественную нормальную форму.
6.2. Жорданова нормальная форма. Пусть пространство R расщеплено согласно теореме 5.6 на подпространства
і\'], ..., / f \ ..., Itl), |
..., Its), минимальные многочлены ко |
торых представляют |
собой неприводимые в поле Ж много |
члены (см. 5.13)). Пусть ді — поле комплексных чисел. Тог да эти минимальные многочлены будут степенями линейных двучленов:
|
(X— |
, (к — Х2)с», |
. . . , |
(X— Xs)cs, |
||
|
( X - X ^ , |
( Х - Х 2У>, |
. . . , |
( X - X sy s, |
||
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
|
( Х - Х гу>, |
( X - X 2y- , |
.... ( X - X sys |
|||
(ck > |
df, > • • • |
0, ck> 0, k = |
1,2, .. ., s). |
|||
Возьмем один из многочленов (6.5), |
например |
|||||
|
|
(X |
х 0у , |
|
|
|
где |
— одно из чисел А^, ..., |
Xs, а р — один из отличных |
||||
от нуля показателей ck, ..., lk (k — 1, ..., s). Этот многочлен является минимальным многочленом определенного цик лического подпространства / 0 (одного из подпространств
/ 1°, ..., l\s)). Пусть е — порождающий вектор этого подпро странства. Тогда векторы
ех= (А — Х0Е)Р~1е, ег = (А — Х0Е)Р~2 е, . . . , ер = е,
( 6.6)
где р — размерность подпространства / 0, линейно незави симы. Примем систему векторов (6.6) в качестве базиса /„.
Воздействуя на векторы (6.6) оператором А — Х0Е, бу
дем иметь |
|
|
|
|
|
(Л — Х0Е) ех = О, |
|
|
|
|
(Л — Х0Е) ег = еѵ . . . , |
(А — Х0Е) ер= |
е„_і. |
|
Отсюда |
|
|
|
|
А&1 ш |
Ä 0 1 = ÄIQ^ I Ж |
• • • I |
= |
XyCß Т" Вр—!• |
(6.7)
I в] |
НО РМ АЛ ЬН Ы Е ФОРМЫ МАТРИЦЫ |
91 |
|
Равенства (6.7) можно представить в виде
А& = %(\ЕР + Нр),
где
8 = (fi\ #2 • • • вр), “ О 1 о • • . 0“ 0 0 1 . . . о
|
0 0 0 |
о |
|
(Нр — матрица |
сдвига порядка |
р). |
(6.6) отвечает |
Таким образом, оператору А в / 0 в базисе |
|||
матрица ХаЕр + |
Нр. Линейно |
независимые |
векторы еѵ |
£р, для которых имеют место равенства (6.7), образуют так называемую жорданову цепочку. Из жордановых цепо
чек, |
взятых в каждом |
из подпространств, можно составить |
|
базис (жорданов базис) |
в R. В этом базисе матрица опера |
||
тора |
А имеет жорданову |
нормальную форму |
|
|
J = diag |
+ |
НСі..........\ E h + Hh). |
Матрицы А я J, отвечающие одному и тому же линейно му оператору А в разных базисах, связаны друг с другом соотношением подобия:'
А = TJT~l.
Если в полном расщеплении пространства на цикличе ские подпространства минимальные многочлены всех этих подпространств линейны, то жорданова форма является диа гональной матрицей, и в этом случае имеем
А = Т dxag (А,х, Х2, . . . , ks)T~l.
Таким образом, линейный оператор А имеет простую структуру тогда и только тогда когда, пространство R рас щепляется на инвариантные подпространства с линейными минимальными многочленами.
З а м е ч а н и е . Из подобия матрицы Л, соответствую щей жордановой матрице J, следует, что
deti4 = Xj* ...
92 |
РАСП РЕД ЕЛ ЕН И Е ПРОСТРАНСТВА |
[ГЛ . IV |
§ 7. Инвариантные многочлены. Единственность |
|
|
нормальных форм линейного оператора |
|
|
Через |
Dp (X) обозначим наибольший общий |
делитель |
всех миноров р-го порядка характеристической матрицы
ХЕ — А (р = 1, 2, |
п). В ряду |
|
Dn(X), |
Dn^(X) ..........П,(Х) |
(7.1) |
каждый многочлен делится на последующий без остатка. Действительно, минор /-го порядка можно разложить по элементам какой-либо строки. Каждое слагаемое этого раз ложения есть с некоторым множителем минор (/ — 1)-го порядка и потому делится без остатка на £>/_, (А,). Следова тельно, любой минор /-го порядка, а значит и Dj (X), делится без остатка на D/_i (X).
Т е о р е м а 7.1. Наибольший общий делитель Dk (А.) миноров k-го порядка матрицы ХЕ — А, где А — матрица оператора в каком-нибудь базисе, не зависит от выбора базиса.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Л и Л — две матрицы оператора Л в разных базисах. Соответствующие характе ристические матрицы связаны друг с другом соотношением
ХЕ— Л = Т ~ 1(ХЕ — А) Т.
Покажем сначала, что общие наибольшие делители мат
риц ХЕ — Л |
и С (ХЕ — Л), |
где С — произвольная |
невы |
|
рожденная матрица, совпадают. Пусть С — |
(сц), А — |
(ац). |
||
Тогда і-я строка матрицы С (ХЕ — Л) имеет вид |
|
|||
( П |
П |
|
|
|
2 Cih (X6k\ |
Oki) . . . 2 ^ * |
ßfcn) |
|
|
A=1 |
fe=l |
|
|
|
= 1 2 Cik |
— akx ■• ■ ^ kn — |
~ | Q’ |
{’j . |
|
T. e. является линейной комбинацией строк матрицы ХЕ — Л с независящими от X коэффициентами сіѵ сп, ..., сСп. Поэто му минор матрицы С (ХЕ — Л) разлагается на сумму мино
ров матрицы ХЕ — Л |
с некоторыми не зависящими от А, |
|
коэффициентами. Следовательно, всякий делитель |
миноров |
|
k-ro порядка матрицы |
ХЕ — Л будет делителем |
миноров |
k-ro порядка матрицы |
С (ХЕ — Л). Точно так же всякий |
|
5 7] И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е М Н О Г О Ч Л Е Н Ы 93
делитель миноров А-го порядка матрицы С (ХЕ — Л) явля
ется делителем миноров А-го порядка матрицы С-1 [С (ХЕ —
— Л)) = ХЕ — А. Это означает, что у матриц ХЕ — А и С (ХЕ — А) общие делители миноров А-го порядка (А = = 1 ,2 .......п) совпадают.
Аналогичным образом устанавливается, что у матриц ХЕ — Л и (ХЕ — Л) С, где С — произвольная невырожден ная матрица, общие делители миноров А-го порядка совпа дают.
Применяя полученный результат к матрицам ХЕ — Л и
Т~х (ХЕ — Л), |
а затем к |
матрицам Т~х (ХЕ — Л) и |
Т~1(ХЕ — Л) Т, |
приходим |
к заключению, что у матриц |
ХЕ — Л и Т~] (ХЕ — А) Т |
общие делители (в том числе |
|
иобщие наибольшие делители) миноров А-го порядка (А =
=1, 2, ..., п) совпадают. Теорема доказана.
Итак, Dk (X) (А = 1, 2, ..., п) являются инвариантами линейного оператора и не зависят от выбора базиса в /?. Разделив каждый член ряда (7.1) на последующий, получим другую группу инвариантов оператора Л:
іг (Х) |
Do(X) |
h ß ) |
Dn- 1(X) |
|
in ß ) = |
|
Dn-iW ’ |
Dn- 2(X) |
’ |
||||
|
|
|
Многочлены ip (X) (/7 = 1, 2, ..., n) называются инва риантными многочленами. Произведение всех инвариантных многочленов равно характеристическому многочлену:
А(Х) = | А £ - Л [ = £>„(*) = f n Pß).
Р<=\
Разложим инвариантный многочлен ір (X) на неприво димые в поле Зг многочлены:
|
ір ß ) |
= [фі Wf1[ф, ß)Y> ... [cps » . |
Здесь |
Фі (А), |
ф2 (А), ..., ф„ (X) — различные неприводимые |
в поле |
ßi многочлены. Степени этих многочленов [фх (А)]Гі, |
|
[ф2 (А) Г5, ..., [ф, (А) Г5, отличные от постоянной, называются
элементарными делителями характеристической матрицы ХЕ — Л или просто матрицы Л.