Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 0
142 |
М А Т Р И Ц Ы |
И Л И Н Е Й Н Ы Е |
У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ. VI |
|||
удовлетворяющее начальному условию |
|
|
|||||
|
|
|
|
х (^о) = с- |
|
|
(5-2) |
Это решение непрерывно и дифференцируемо на і.0 С |
t <; Т . |
||||||
5.1. Существование решения. От дифференциального |
|||||||
уравнения |
(5.1) |
перейдем к соответствующему интеграль |
|||||
ному уравнению |
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(0 = |
с + |
f t/ (s)x (s) ds, |
|
|
(5.3) |
|
|
|
|
|
^о |
|
|
|
Уравнение |
(5.3) будем решать методом |
последовательных |
|||||
приближений. Пусть а'(,ѵ~1) и X(W) — последовательные при |
|||||||
ближения уравнения |
(5.3). Тогда |
|
|
|
|||
|
|
/ |
|
(s) ds |
(N = |
|
|
*<"> (0 = |
с + |
ff/ (s) |
1,2, 3___ ). (5.4) |
||||
Отсюда, полагая x(0>= с, при N = |
1 будем иметь |
|
|||||
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
х(1)— х(0) = f U (s) xmds, |
(5.5) |
|||
а при N > |
1 — |
|
|
'о |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
Х(Ѵ) _ |
|
|
— х(Л,- 2>] ds. |
|
|||
*<*-!) = f U(s) |
(5.6) |
||||||
Из равенств (5.5) и (5.6) вытекают следующие неравенства:
IIЛ-(1)-Х(0)||< j||f / ( S)||||A-(0)||c(S, |
(5.7) |
t
||xW _ x(M-l)||< j 1^(5) ЦПх(М -1)_х(М-2)|гі5_ (5-8)
^ о
Нормы векторов и матриц определим так:
П
11*11=21^1’ |
1^1 = max 2 | a,-k\. |
|
і=1 |
i |
k |
Из непрерывности матрицы U на замкнутом промежутке U0) Т] следует ограниченность ее нормы. Пусть
m - шах IU (t) ||;
♣ 6] |
Т Е О Р Е М А |
С У Щ Е С Т В О В А Н И Я И |
Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т И |
143 |
||
тогда из (5.7) и (5.8) получаем |
|
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|лД> — *<0>||< j m\c\ds = |
m |[ с I (t — t0), |
|
|||
|
|
|
и |
|
|
|
|
IД2>- |
Д » I < |
I m2||c\\(s~ g ds = |
?*№ it - |
t0f |
|
и далее по индукции |
<0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
||x'<w) — x{N~[)I •< — |
(^ — g w < |
(- ^ 4 N |
( 7 \ = r - g . |
|||
Р яд
“m N T f
2J ivi Л/=1
сходящийся. Действительно, используя признак сходимости Даламбера, будем иметь
m N + ' T ? + ' N I |
m T l |
-ѵО при УѴ- |
оо. |
(УѴ+ 1)1 mNT^ |
N+ 1 |
Из сходимости ряда последовательно следует равномерная сходимость на [У0, Т] рядов
ZJ NI v |
' |
’ |
2 ||xW — Д "-»|| |
|
|
N = 1 |
|
||||
и, наконец, ряда |
|
|
|
||
с о |
|
|
|
||
л-(0) + |
(X(W )_X(W-D). |
(5.9) |
|||
^ |
|||||
лг=і
Поскольку ряд (5.9) сходится равномерно на [У0, Г], то существует предел последовательности Д0), х(1), ...:
lim x(W) (У) = x(t)
N -У<УЭ |
|
|
|
(x(W) есть сумма первых N -|- 1 членов ряда |
(5.9)). |
||
Вейлу равномерной |
сходимости последовательнее г,і |
||
х<°), х(|>...... x[N\ ... в левой и правой частях |
равенства (5.4) |
||
можно перейти к пределу |
при |
N -у оо. В |
результате по |
лучим |
t |
|
|
|
|
(5.10) |
|
X(0 = с -f- j |
U (s) X (s) ds. |
||
|
ff) |
|
|
144 |
М А Т Р И Ц Ы |
И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . |
VI |
|
Функция * (t) как |
предел равномерно сходящейся |
по |
|
следовательности непрерывных функций сама является неп рерывной функцией, и, как это видно из (5.10), она диффе ренцируема и удовлетворяет уравнению (5.1) и начальному
условию |
(5.2). |
|
решения. |
Л е м м а |
Т р о н у - |
||
5.2. |
Единственность |
||||||
о л л а — В е л л м а н а . |
Если q |
> 0, и (t) > 0, |
о (t) > |
||||
> 0 (и (t), V (t) б С (а, |
Ь)), |
то из |
неравенства |
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ч({) < с 1+ j' u(s)v{s)ds |
( a < t 0, t<^b) |
(5.11) |
||||
следует |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
и (0 < |
q exp I V (s) ds. |
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
К |
(5.11) |
|
имеем |
|
||
Из |
|
|
|||||
|
|
и {t) |
<1− |
|
|
||
|
с, -J- ^ « (s) V(s) ds |
|
|
|
|||
Умножим обе части последнего неравенства на и (t) и проин
тегрируем от t0 до |
t: |
|
|
|
|
|
|
t |
и (Г)V (/')dt' |
< |
I |
ü (s) ds. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
t Cl+ Jи (s)V (s) ds |
|
и |
|
||
Отсюда |
|
to |
|
|
|
|
|
t ' |
l |
i |
t |
|
|
|
|
|
||||
ln |
cx + |
I' и (s) V (s) ds |
I |
< |
j' и (s) ds, |
|
и, следовательно, |
|
|
to |
tß |
||
|
|
|
|
t |
||
|
t |
|
|
|
|
|
cl + |
j и (s) V (s) ds = |
и (t) C |
cx exp j v (s) ds. |
|||
|
to |
|
|
|
|
tQ |
Лемма доказана.
Пусть х и у — два решения уравнения (5.1), удовлет воряющие одному и тому же начальному условию (5.2). Тогда
t |
I |
X = с + I”U (s) X (s) ds, |
у — с + j U (s) у (s) ds. |
§ 5] |
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ |
145 |
Вычитая друг из друга, получаем . t
* — I/ = \ и (s) (х — у) ds.
to
Отсюда
\х — у\\< [ | £ / ( S) | | | JC — у\ ds |
(5.12) |
и, тем более,
II* — УІІСсі -1- I ll^ (s) III* y\ds to
для любого положительного числа сѵ Используя лемму, получаем
/
II* — */||<П е*Р ]' ||^(s)||cfs.
Это соотношение справедливо для любого сколь угодно малого положительного сг Поэтому
II* — УII = о
и, значит,
* = У- Единственность можно доказать и другим путем, не
прибегая к лемме Гронуолла — Веллмана.
Так как х и у — два непрерывных и дифференцируемых решения уравнения, то их нормы на U0, Т] ограничены. Пусть
гп1 = max I-V— t/||.
Из (5.12) находим
II * — i / \ \ < m m 1 (t — t0).
Найденную оценку для || JC — у || снова подставим в (5.12). Получим
! * - ^ < ^ ( * - У а-
Повторяя этот процесс, будем иметь
|
II*— У\\< |
гп.пг |
|
|
/і! |
$ |
|
Полагая я |
оо (при t < оо), получаем |
||
|
I I * - |
0 | | < |
О . |
Значит, I л: — у || = 0 и х = у.
146 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
§6. Фундаментальная матрица системы
6.1.Решение матричного уравнения. Построим теперь решение матричного уравнения
|
■^- = U{t)X |
|
(6.1) |
при начальном условии |
|
|
|
|
х ( д = с, |
|
(6.2) |
где С •— постоянная невырожденная |
матрица |
порядка п. |
|
Эта задача эквивалентна построению п решений вектор |
|||
но-матричного уравнения |
|
|
|
|
- з г = £/(*)*, |
|
(б-з) |
соответствующих п начальным условиям |
|
||
x(t0) =ci |
( і= 1,2, |
. . . , п), |
(6.4) |
где С{ (і = 1, 2, ..., п) |
— столбцы матрицы С. |
|
|
По теореме существования и единственности решения уравнения (6.3) каждому с( соответствует единственное ре шение х( (t). Ясно, что матрица, составленная из этих ре шений, а именно матрица
X = {хгх2 . .. х„),
представляет собой решение матричного уравнения (6.1)
при начальном условии (6.2). |
|
|
Продиффе |
||
6.2. Формула |
Остроградского — Лиувилля. |
||||
ренцируем определитель матрицы X (t) = |
(xL х2...хп), пред |
||||
ставляющей |
решение уравнения (6.1) при условии (6.2): |
||||
|
|
ЛГц (t) . . . |
xlk (t) . . |
xln (0 |
|
d\X\ |
Л |
dxh (t) |
dxjk (t) |
dXin(0 |
|
dt |
Ь |
dt |
di |
|
di |
|
/'=1 |
|
|
|
|
|
|
xnl (t) ... |
Xnk(t)- .. |
^nn (0 |
|
Но |
|
|
|
|
|
м |
— 2 |
ui5W Xsk |
(/. k = 1, |
. . . , |
n), |
|
s=1 |
|
|
|
|
§ 6] Ф У Н Д А М Е Н Т А Л Ь Н А Я М А Т Р И Ц А С И С Т Е М Ы 147
где и/s (s = 1, 2, |
п) — элементы /-й строки матрицы U. |
||
П оэтом у |
|
|
|
*11 |
• • |
x lk |
x ln |
|
|||
d \ X \ |
|
n |
|
|
» |
u /^si |
|
£Й |
~ |
2 |
|
/=1 S=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
H |
1—1 |
|
|
* |
|
n Л
= 2 2 u ' s *sl . . .
M S=1
*nl •••
|
n |
|
n |
|
• • |
UjsXsk |
• |
* |
ttjsXsn |
|
s = 1 |
|
S=1 |
|
• • |
%nk |
• • |
|
|
X l k |
*1л |
|
|
|
|
• x sn |
|
л |
n |
|
= |
2 |
2 ^ ( |
|
|
|
|
/ = |
1s=l |
■
где 8is — символ |
Кронекера, и, далее, |
d \ Х \ |
= S « / / ( O I ^ I = Spt/| X|*). |
dt |
/=1 |
|
Интегрируя последнее соотношение, получим ф о р м у л у О с т р о г р а д с к о г о — Л и у в и л л я :
\Х(і)\ = \Х(і0)\екр \SpU(t)dt. tо*1234
*) Сумма диагональных элементов квадратной матрицы А называется следом матрицы н обозначается через Sp А. След матрицы обладает свойствами:
1) |
Sp А = |
Sp А', |
Sp А + Sp В (А и В — квадратные матрицы одного |
||
2) Sp |
(А + |
В) |
= |
||
и того |
же |
порядка), |
|
||
3) |
Sp |
(аА) |
= |
а Sp А, |
|
4) |
Sp (AB) |
= |
Sp |
(ЕЛ) (Л и В —матрицы типа т Х п и п Х и соот |
|
ветственно).
Первые три свойства очевидны. Последнее свойство можно доказать так. Если Л и В — матрицы с размерами соответственно т X п и п X т, то
А В = |
, |
2 ° / А |
"ft/ |
Ь |
|
В А - І Я Ь ' ь а Л |
|||
|
|
|
|
■ип - |
\ ^ j vikukil |
||||
|
|
\*=i |
/ |
|
|
|
\ft=i |
||
В соответствии с |
этим |
|
|
|
|
|
|
||
|
т |
|
п |
|
|
|
п |
т |
|
Sp (A B ) = |
2 |
|
2 а,л*« = |
2 |
2 |
ѵ , * = Sp (BX). |
|||
|
i=lft=l |
|
|
|
i= l i=l |
||||