Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 0
138 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
|
Имеем
|
1 |
II |
|
:к |
/ N ykLa |
N\k_iL0-\-N-lkLl ... |
KnL0 -j- NlkLk |
^гк^о |
М2*-l^-o + |
^2iE04* NokLk |
|
1 |
|
\NkkL0 |
Nkk_\L0-f- NkkL1 ... |
NkiL0 + NkkLk |
|
= E. |
|
Отсюда
|
£ |
II О1 |
|
г- |
^2к — 0,
\
N\k-i — — LQlLjLo1 |
( / - |
|
^2k—1= L0 /Ѵг*—2 = |
■• = |
= 0, |
^kk |
— |
• • • — Nk2 = 0, |
Nkl = LQ |
|
Итак, матрица A~] равна |
|
|
||
/Г ' |
= |
|
|
|
|
---Ц |
Ek_1L Q —■Lo |
L k_2Lo 1 . • . |
— L Q 'L JL о 1 |
|
|
0 |
0 |
L Q ' |
|
|
0 |
1о |
0 |
|
|
L ö' |
0 |
0 |
Зная А легко привести (2.9) к форме Коши:
1О 0
0
0
|
|
J Z - = Ux + A~ 7, |
(2.10) |
|
где |
|
|
|
|
U = А-'В = |
|
|
|
|
|
— L Q ' L y |
- L Q 1L 2 . . . |
--- L Q {L k_ 1 |
- L Q ' L , |
|
Em |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
О |
0 |
£,n |
0 |
§ 2] |
ВЕКТОРНО -МАТРИЧНАЯ |
ЗАПИСЬ |
|
|
139 |
||
|
З а м е ч а н и е . Характеристический |
многочлен си |
|||||
стемы (2.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д (А,) = I L0\ k -f L-jXk -f- |
• • • |
+ Lk |. |
|
|
||
|
Характеристический |
многочлен системы |
(2.10): |
|
|||
|
- L ö ' ^ - E J . |
- E mX .. |
1 |
1о |
7 |
1 |
J- 1о |
Д(Х) = |
|
0 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
• |
Em |
- E J > |
||
Оба эти многочлена одной и той же степени nik и, более того, с точностью до множителя ± | L0| совпадают,
б) В т о р о й с п о с о б . Положим
~E 0
|
0 |
E |
А = |
* |
|
|
О |
|
|
|
о |
|
|
_0 |
0 |
_ 0 |
|
E |
0 |
|
0 |
В =
. .. |
0 |
0 “ |
|
. . . |
0 |
0 |
|
|
E |
» |
|
.. |
0 |
|
|
.. |
0 |
L0- |
|
|
0 |
. |
0 “ |
|
E |
. |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
. E |
|
|
— Вк-\ |
- U |
-2 |
• * |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
dq_ |
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
dk-'q |
|
|
|
|
_ dlk Л |
_ |
|
|
В этих обозначениях уравнение (2.8) можно представить |
|||||
так: |
|
|
|
|
|
или в нормальной |
форме: |
|
|
|
|
|
dx |
= |
Ux + A-'f, |
|
|
|
I f |
|
|||
140 |
М А Т Р И Ц Ы |
И |
|
где |
|
|
|
U = |
|
|
|
~ 0 |
|
Е |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
L- L T ' L k |
о1 1 |
1•се |
|
§ 3. Норма матрицы
Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ. VI |
0 |
|
0 |
|
0 |
Е |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
Е |
—Lo 'Z-*_2• |
1 |
1о |
еч |
- 1 о ~ |
|
|
Нормой прямоугольной матрицы А = (щ,) (в частности, и столбцовой, и строчной матриц) называется неотрицатель
ное действительное число ||А ||, удовлетворяющее |
условиям: |
||||
1) NА I > |
0, если А Ф 0, и || А || = |
0, если / 4 |
= 0 ; |
||
2) |
I Л + |
В I < I А I + I В ||; |
поля Эг); |
|
|
3) |
I ХА I = |
I XIIА I (X — число из |
|
||
4) |
II AB I С |
I /4 ВI В ||. |
|
|
|
Условиям 1)—4) можно удовлетворить многими спосо
бами. Например, можно положить |
|
|
Ц/4|| = max 2 1o-jk |, или ||/4|| = |
max |
|. |
І k |
k |
І |
ИЛИ |
|
|
M l- { ill* /* I* } * .
Норма, определенная последним равенством, называется
эрмитовой (в случае вещественных ац — евклидовой).
Отметим два свойства нормы матрицы:
К |
К И П |
(3 .1) |
I Я/1 -сIIЛII, |
(3.2) |
|
где Xj — собственное значение матрицы А.
Свойство (3.1) очевидно, а (3.2) можно установить так. Пусть Ху — собственный вектор, отвечающий собственно му значению Хр
XjXj — Axj.
Переходя к нормам, получаем
ІМ І* /І Ы І ^ ,||< И ||||* /||.
Отсюда, так как xt Ф 0, следует (3.2).
§ 5] |
Т Е О Р Е М А С У Щ Е С Т В О В А Н И Я И Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т И |
141 |
§ 4. |
Матричные ряды |
|
Рассмотрим последовательность матриц Сг, С2.......С„, ...
(Ср = (elf)) одного и того же типа т х п.
Пределом этой последовательности называется матрица
С = lim Ср== (lim eff) |
(i = 1,2.........т\ j = 1,2, . . ., п), |
|
р-+ сх. |
р-+ со |
|
если, конечно, она имеет смысл, т. е. существуют пределы
числовых |
последовательностей |
cj}) elf) |
..., |
c\f\ ... (i = |
|
= 1,2, ..., m;j |
= 1,2, ..., n). |
|
|
|
|
Пусть |
Uv |
U2, .... Un, ... — матрицы |
одного и того же |
||
типа. Матричный ряд |
|
|
|
||
|
|
U y+ U 2+ . . . |
+ U p + ... |
(4.1) |
|
называется сходящимся, если существует предел последова
тельности его частичных сумм Sy, S2...... Sn, ... (Sp = Uy + ...
• ■■ + |
Up). |
Предел |
этой |
последовательности |
называется |
||||||
суммой ряда (4.1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Наряду с матричным рядом (4.1) введем в рассмотрение |
|||||||||||
ряд, |
составленный |
из |
норм |
матриц |
U |
= |
(u\f) (р = |
||||
= 1, |
2, |
...): |
1^11 +11^11 +•+1^1+• |
(+2) |
|||||||
|
|
|
|||||||||
Если ряд (4.2) сходящийся, то матричный ряд (4.1) так |
|||||||||||
же сходящийся. |
|
|
|
всех і и |
j |
\ u\f]\ <С||(У(р)[| |
|||||
Действительно, |
так |
как при |
|||||||||
(см. § 3), то согласно |
признаку |
сравнения |
скалярных ря- |
||||||||
|
|
|
0° |
|
|
|
сходящиеся. Следователь- |
||||
дов все ряды 2 |
иП абсолютно |
||||||||||
|
|
|
р = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
|
/ |
о о |
\ |
|
|
|
|
|
но, ряд |
2 |
U |
= |
2 |
ии і |
также сходится. |
|
|
|||
|
|
р = 1 |
|
. + |
= і |
/ |
|
|
|
|
|
§5. Теорема существования и единственности
Те о р е м а 5.1. Если U (t) непрерывна на t0 С t <: у , то существует единственное решение уравнения