Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
148 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
6.3. Фундаментальная матрица. Пусть X — решение матричного уравнения (6.1) при условии (6.2). Покажем, что единственное решение векторно-матричного уравнения
-%Г = и Ф'Х
при условии
.г (д = с
можно представить в виде
II
(6.5)
(6.6)
(6.7)
где у — постоянная столбцовая матрица.
Отметим прежде всего, что X (t) на любом отрезке [ g t < оо] есть невырожденная матрица. Действительно, в соответствии с формулой Остроградского — Лиувнлля имеем
t
IX (t) I = IС I exp i Sp U (t) dt. tо
Так как U (t) непрерывна на U0, f], то все ее элементы на
этом промежутке ограничены, и, значит, нигде на [/„, t]
(
exp \ Sp U (t)dt не может обратиться в нуль. Не равен нулю
Іо также |С|, так как по условию С — невырожденная мат
рица.
Значит,
| *(/)|=*0.
Покажем теперь, что выражение вида (6.7) удовлетво ряет уравнению (6.5). С этой целью подставим (6.7) в (6.5). Получим
d X |
1 1 ѵ |
— |
y = UXy. |
В силу равенства (6.1) последнее соотношение выполняет ся тождественно. Остается показать, что заданием началь ного условия (6.6) однозначно определяется столбцовая матрица у. Что это так, видно из равенства
X{t0)y = x{t0).
В силу невырожденности матрицы X (і0) последнее уравне ние допускает единственное решение
У= Х~1(*о) X(t0). |
(6 .8 ) |
§ 7] М А Т Р И Ц А Н Т 149
Итак, любое решение уравнения (6.5) посредством матрицы X может быть представлено в виде (6.7). Матрица X назы вается фундаментальной матрицей системы (6.5).
Если X — фундаментальная матрица системы, то про изведение ХВ, где В — произвольная постоянная невырож денная матрица, есть также фундаментальная матрица, так как снова является решением матричного уравнения (6.1), но, конечно, при некотором другом начальном усло вии.
Подставив (6.8) в (6.7), получим |
|
x(t) = K(t, t0)x(t0y, |
(6.9) |
здесь
K(t, t0) = X (t) Х - ' (t0)
— м а т р и ц а К о ш и . Матрица Коши представляет со бой решение матричного уравнения (6.1) при начальном условии
X{t0) = E.
Матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матрицы. В самом деле, если вместо X (t) взять фундамен тальную матрицу ХВ, где В — постоянная невырожденная матрица, то
к (t, g = X (о ß ß - ' x - 1 ( g = X (о X “ 1 ( g .
§7. Матрицант
В§ 5 было показано, что решение системы (5.1), удов летворяющее начальному условию х (t0) = с = х(0), пред ставляется равномерно сходящимся рядом
|
X = |
х<°> + |
СО |
(7.1) |
|
|
2 (*<"> — *<"-»). |
||||
Имеем (см. |
(5.5) |
и |
W=1 |
|
|
(5.6)) |
t |
|
|||
xu> _ x<°> = |
t |
|
|
|
|
(j и ( g |
x ^ d t x = ( u ( g |
|
|||
|
in |
|
t |
in |
|
|
x<2 >_ |
|
( g [*<» ( g — *« »] dtx = |
|
|
|
x m = j u |
|
|||
= \ u { t r) \ u ( t n} d t ^ d t y
К и
и т. д.
150 |
|
М А Т Р И Ц Ы И |
Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ . VI |
Подставляя эти выражения в (7.1), имеем |
|
|||
г |
I |
i |
t |
|
(7.2)
(7.3)
Квадратная матрица П!0 называется матрицантом диф ференциальной системы (6.1).
Способом, указанным в § 5, легко доказывается, что мат ричный ряд (7.3) сходится равномерно на интервале U0, f j .
Продифференцируем ряд (7.3) по і:
dQ.( |
U (t) |
U (t) |
I U (t) dt -(- |
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
г° |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
1/(Q J £ /(0 J (0 |
+ ••• |
=U(t)Q‘.. |
|||
|
|
|
Ic |
ii |
|
|
|
|
Отсюда |
видно, |
что |
dQj |
также |
равномерно |
сходя |
||
ряд |
||||||||
щийся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
dQj»0 = U (t) Qj |
|
|
|
|
||
|
|
|
o’ |
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
причем |
|
|
ß/': = |
E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, Q[0 представляет собой фундаментальную |
||||||||
матрицу |
однородной системы и любое решение |
этой |
систе |
|||||
мы представляется формулой |
(7.2). Сравнивая |
(7.2) |
и (6.9) |
|||||
и помня о единственности решения однородной системы при заданном начальном условии, получаем
Q \ = K { t , g .
5 8] |
С О П Р Я Ж Е Н Н О Е У Р А В Н Е Н И Е |
151 |
Отметим основное свойство матрицанта.
Матрицанты Q/0 и Q^, как два решения одного и того же матричного уравнения (6.1), связаны между собой соот ношением
Й/. = QJ.C,
где С — постоянная матрица. При / = tx имеем
= ЕС = с.
Используя это, находим
й‘. =
§8. Сопряженное уравнение
Пусть дано векторно-матричное уравнение
-%- = U(f)x. |
(8.1) |
Ему сопряженным называется векторно-матричное урав нение
= |
|
(8.2) |
где U* — матрица, эрмитово сопряженная матрице |
U. |
|
Пусть X — фундаментальная матрица |
системы |
(8.1), |
а Y — фундаментальная матрица системы |
(8.2), так |
что X |
и Y являются соответственно решениями |
уравнений |
|
~ = UX, |
|
(8.3) |
= - U * Y |
|
(8.4) |
при некоторых начальных условиях. В равенстве (8.4) пе рейдем к сопряженным матрицам:
= — Y*U. |
(8.5) |
Умножим равенство (8.3) слева на Y*, равенство (8.5) справа на X и результаты сложим. Будем иметь
Ä-(Y*X)=0.
152 |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ VI |
Отсюда следует, что произведение У*X есть постоянная матрица:
Y* (О X (0 = С.
В частности, если X, У — нормированные фундаментальные матрицы систем (8.1) и (8.2) (матрицы Коши), то
У* (t) X (t) = Е.
§ 9. Неоднородное уравнение
Рассмотрим вопрос о решении уравнения
-%L = U(t)x + h(t) |
(9.1) |
при начальном условии
x(t0)= c . |
(9.2) |
9.1. Метод вариации произвольных постоянных Лагран жа. Введем в (9.1) подстановку
x = X(t)z, |
(9.3) |
где X — фундаментальная матрица |
однородной системы |
-$Г = и ®х- |
(9.4) |
Получим |
|
4 г ’ + х - г - и ъ + к.
Отсюда
~= Х~1(іt)h(t).
Интегрируя последнее соотношение, получаем
1
z = у + ^ А"“1(s) h (s) ds.
Учитывая это, из (9.3) находим
I
X = X (t) у -f j X(i) Х~х(s) h (s) ds.
Io
По условию (9.2)
X (tQ) у = с.
§ 9] Н Е О Д Н О Р О Д Н О Е У Р А В Н Е Н И Е 153
Следовательно, постоянная столбцовая матрица у должна
быть |
определена по формуле |
|
|
|
У = |
(*о) с- |
|
В соответствии с этим |
t |
|
|
|
|
|
|
|
x = X(t) Х~' (t0) c + [ X ( t ) Х~' (s) h (s) ds. |
(9.5) |
|
|
|
h |
|
Если |
X (t) — матрица Коши (X (t0) = E), то тогда |
|
|
|
|
I |
|
|
x = X{f)c + j |
X (t) X~' (s) h (s) ds. |
(9.6) |
Формулы (9.5) и (9.6) представляют собой решение уравне ния (9.1), выраженное через фундаментальную матрицу
однородной системы (9.4). |
(9.1) умножим слева на |
|||
9.2. |
Другой способ. Уравнение |
|||
некоторую, пока неизвестную, матрицу Y* (t), сопряжен |
||||
ную матрице Y (і), |
и проинтегрируем от t0до t. Получим |
|||
I |
|
г |
t |
|
j’ К* (s) -jf-ds = |
I' 7* (s) U (s) X (s) ds + j |
Y* (s)h (s) ds. |
||
Интегрируя по частям, получаем |
|
|
||
Y* (s) X (s) |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
= ^ Y* (s) U (s) X (s) ds + |
^ Y* (s) h (s) ds. |
|
Отсюда |
|
|
|
|
Y*(t)x(i) — Y*(t0)x (t0) = |
i |
|
||
l |
|
|
|
|
= ^ |
~ — E K* (s) U (s) л: (s) ds + |
^ Y* (s) h (s) ds. (9.7) |
||
В качестве Y возьмем решение сопряженной матричной си стемы
= - W { s ) Y