Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
2 6 |
|
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. I |
|
Учитывая это, находим |
|
|
||
det А = |
2 |
2 |
(— 1)'’ <kl.... кг}+'* (ft'+ ...... .. ^ |
|
*і.....ftr=l fcr+1..A„>=r+1 |
|
|
||
|
k^kj ѴФ!) |
|
|
|
|
К Йій, |
• . . ßrkr@r+l |
= |
|
= |
2 |
(— l / ' (fel’ |
кг>аІА, • • • |
^ |
|
А...... Аг=1 |
|
|
|
|
А(Ѵ=А/ №*/> |
|
|
|
к2 ( _ и ' - (*'+'.... v fl,+1Vfi . .. flnft
fcr+l..fen= r+'
А,-**/ ('¥=/)
Отсюда
det A = det An det Л22. |
(8.2) |
Рассматривая в общем случае матрицу
согласно (8.2) будем иметь det А = det Аи det Л32. Матри
ца /122 снова квазитреугольная. Проделав над ней ту же операцию, получим
det А = det Ап det А22det А33.
После р — 1 таких шагов придем к соотношению (8.1). Таким же путем может быть доказано равенство (8.1) при менительно в верхней квазитреугольиой матрице.
S 9] |
Л И Н Е Й Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я И М А Т Р И Ц Ы |
2 7 |
§ 9. Линейные преобразования и матрицы
Пусть т величин уг, у2, ..., ут выражаются линейно и однородно через л других величин хг, х2, ..., хп:
Уі = |
Сцлу + |
а12х2+ |
• • • |
+ а,пхп, |
|
|
у2= |
|
“f" ^2 2 - ^ 2"Ь |
* * * |
"Ь &2 пХп, |
(9.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ут— ат\ % 1 |
+ |
ат2 Х2-(-••• |
+ атпХп. |
|
||
Преобразование величин хг, х2, ..., хп в величины уг, у2, ..., ут посредством равенств (9.1) называется линейным преобразованием.
Система равенств (9.1) эквивалентна одному матричному равенству
в чем легко убедиться, выполнив умножение матриц в пра вой части этого равенства и приравняв друг другу соответ ствующие элементы матриц, расположенных слева и справа от знака равенства. Обозначая
можно вместо (9.1) записать коротко: |
|
У = Ах. |
(9.2) |
Таким образом, линейное преобразование (9.1) одно значно определяет матрицу А и, обратно, всякая матрица А определяет некоторое линейное преобразование одной си
стемы чисел в другую. |
в свою очередь |
выража |
|
Допустим, что хг, х2....... хп |
|||
ются через величины z1, z2, ..., zp |
посредством |
равенств |
|
Xi = bllZl + b12z2+ |
■■■ |
+ b lpzp, |
|
^2 = &2A + b2 Ä + |
••• |
+ b 2pZp, |
(9.3) |
|
|
|
|
*я — bnfii A- bnSZ%+ |
• • • |
+ bnpZp. |
|
2 8 |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . 1 |
Можно |
tji, у2, .... Ут непосредственно выразить через |
|
zlt z2, |
Zp. Для этого нужно с помощью равенств |
(9.3) |
исключить хх,х 2, ..., хпиз равенств (9.1). В результате полу чим
|
Уі ~ |
С1121 + |
C12Z2+ |
' • ' |
+ С\Р2р. |
|
||
|
Уі “ |
^2121“Ь ^2222 “1 |
' ' * “Н |
|
|
|||
где |
Ут— Cm\Zi -f- Cm2Z2 + |
■• • |
+ |
CmpZp, , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
П |
aikbki |
(i = |
|
|
|
|
|
|
Cij = 2 |
1,2, . . . , m; |
/ = 1,2, . . . |
, p). |
|||||
fe=l |
|
|
|
|
|
|
(9.5) |
|
В самом деле, учитывая, что (см. (9.1) и (9.3)) |
||||||||
|
||||||||
|
|
п |
|
|
р |
|
|
|
|
Уі —■2 |
QikXk, |
хк = |
2 |
bkjZj, |
|
||
|
|
k = 1 |
|
|
/=і |
|
|
|
последовательно |
получаем |
|
|
|
|
|||
п |
р |
П |
р |
|
|
|
|
|
Уі — k=\ |
i=1 ^kjZj = fc=l /=I |
|
== |
|
p |
|||
|
|
|
|
P |
n |
|
||
|
|
|
= |
2 |
2 |
Z/ = |
2 ci/2/> |
|
|
|
|
|
|
ft=i |
|
/=1 |
|
откуда и следуют соотношения (9.4), (9.5).
Эту операцию можно выполнить также, используя мат ричные обозначения. Полагая
вместо (9.3) будем иметь |
|
X = Bz. |
(9.6) |
Подставляя (9.6) в (9.2), получим |
|
у = ABz = Сг, |
(9.7) |
где С — матрица с размерами т X р, элементы которой, в соответствии с правилом умножения матриц, определяются формулой (9.5).
§ 9] |
ЛИНЕЙНЫ Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ |
29 |
||
Допустим, что квадратная матрица А порядка п, опре |
||||
деляющая |
линейное |
преобразование |
|
|
Уі = ацх1+ |
аі2х2 + |
■■■ + аіпхп |
(г = 1 , 2 , .. . , п), |
(9.8) |
— невырожденная матрица. Тогда система алгебраических уравнений (9.8) может быть разрешена относительно xlt х2, ..., хп при любых Ух, у2, ..., Уп- согласно правилу Кра мера
|
|
а п . .. |
а,\ j— 1 |
У1 |
CL\ /+і . . . |
Q\n |
|
|
X ,- |
1 |
а21 . . . |
Ü2 /—I |
У2 |
Ü2/ + і .. . |
0-2п |
• |
|
Ml |
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
а п1 |
• • - |
@п/—1 |
Уп |
&п/+1 ■• • |
&пп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*/ = |
I |
- 2 |
А„уі |
(/ = |
1,2.......... |
п ), |
(9.9) |
|
|
Ml |
і= |
і |
|
|
|
|
где Att — алгебраическое дополнение элемента |
аг/ |
матри |
||||||
цы А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В матричной записи (9.9) |
принимает вид |
|
|
|||||
или, если учитывать (6.3),
* = А~'у.
Этот же результат немедленно следует и из матричного равенства
Ах = у
после умножения обеих частей этого равенства слева на мат рицу А~1.
Г л а в а II
ВЕКТОРЫ, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
§ 1. Векторы и векторное пространство
Пусть дано некоторое множество R элементов .с, у, Z, ...
и числовое поле ді.
Множество R элементов х , у, z , ... называется линейным пространством, если введены операции сложения элементов и умножения элемента из R на число из ді, т. е.
а) каждым двум элементам х , у £ R поставлен в соот ветствие элемент х + у £ R, называемый суммой элементов
X и у,
б) каждому элементу |
х £ R |
и каждому числу X £ ді |
|
поставлен |
в соответствие |
элементов %х £ R, называемый |
|
произведением числа X на элемент х , |
|||
и эти операции удовлетворяют постулатам: |
|||
1) х |
у = у х (коммутативность); |
||
2) (х + |
у) + z = X + |
(у + z) |
(ассоциативность); |
3) существует нулевой элемент 0 в R такой, что произве дение числа 0 на любой х £ R равно элементу 0:
Ох = 0;
4)I X = х;
5)а (ßjt) = (aß) х;
6) (a -j- ß) X = ax + ßjc;
7) a (x + у) = <zx + a_y.
В дальнейшем элементы x , y , z , ... мы будет называть
векторами, а пространство R — линейным векторным про странством или просто векторным пространством.
Пр и м е р ы.
1.В геометрии, физике, механике рассматриваются н правленные отрезки (векторы), для которых операции сложения и умножения на число (действительное) вводятся
