Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 0
5 2] |
ПОСТРОЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО ПРОЦЕССА |
Поэтому можно принять
'1 1
О — t — 1
К і=
О - 2 I t — L.
Тогда
К = о - l t - т г 1 1 |
|
||
О 2 [ t ---- ~ ) |
- 1 |
|
|
t |
1 |
— |
|
р |
|||
|
|
||
193
0
1
— 1
—1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
~ |
1 |
|
|||
|
|
|
|
||
|
1 W |
0 |
2 |
_L\ |
t ___L |
|
|
|
1 |
iä 1 |
p _ |
|
|
~і t |
0 |
|
|
А = |
MUК = |
0 |
t |
0 • |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
p |
|
||
|
|
|
|
|
Таким образом,
M |
|
‘ |
t — 4 ------ 1 |
|
|
I |
1 |
||
|
/ |
|
1 ' |
|
|
t — |
|
||
|
< |
t |
jr |
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
\o |
t |
|
|
Определим теперь /(р-1, |
|
|||
|
|
|
~0 |
0 |
— 1 |
М2 = (0 2 1); |
, |
|
1 |
|
|
Л2 = ^г |
ЛР], APP |
В данном случае |
“ |
|
п[°] dKi О-1+4- |
Dt0] = d K ^ |
и ' |
dt и’ |
о 2(1 + 4 |
|
7 К. А. Лбгаряа
194 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И С Т Е М Ы [ГЛ . |
V I It |
||||||||
а |
и M2D p, |
как |
легко |
проверить,— нулевые |
мат |
||||||
рицы. |
это, из равенств (2.16) получим |
|
|||||||||
|
Учитывая |
|
|||||||||
|
|
|
Qi2] = |
о, |
|
= |
0. |
|
|
||
|
Полагая равными |
нулю и произвольные матрицы |
Q^-1 |
||||||||
и QM . будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
Q l I] = |
о , |
Q ! 1] = |
|
0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
СП |
|
|
||
|
К“ 1= |
KQm - (К, |
К,) |
|
|
0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
/з + 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
/(/3-1 ) |
|
||
|
А\и = — М |
^ 01 = |
|
Д(3 + 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(/3-1) |
|
|
|
|
|
Al,,J = |
— M.2D[^ = |
0. |
|
|
||||
|
Используя (2.10), получаем £>||] = |
0, |
= 0. Это вле |
||||||||
чет за собой равенство нулю матриц |
/С,2-1, К[7]; А)21, |
Л ^ . |
|||||||||
Ясно, что и вообще все последующие матрицы (К\3], |
|
||||||||||
Л|3Ѵ--) СУТЬ нулевые матрицы. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Таким образом, |
А |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
К = К = |
0 |
- I t — |
pr) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
2 Iі ---- ] |
- |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
t — P |
|
/з + 2 |
|
||
|
Äj = |
+ |
M " |
' |
/ ( / 3 - 1 ) |
|
|||||
|
|
t — |
/3 + 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
/(/3-1) |
|
||||
A9 — Л,
1
P
Далее,
M[U — — M/<[1]M = 0,
з] |
О Б Щ И Й |
ВИД |
М А Т Р И Ц К £ 'Л о |
195 |
так |
как /([1] = 0. И |
вообще, |
|
|
|
Мт = 0 |
(ft = 1,2, . . . |
). |
|
Наконец, так как А — Е3, то R = Д3.
Следовательно, исходная система уравнений приводит
ся к |
следующим двум независимым подсистемам: |
|
|
|
— ^-іУі + |
|
<іу« |
= Â2*/2 + |
где |
dt |
|
|
МО |
|
|
|
|
|
|
МО |
|
|
МО |
или в развернутом виде |
|
|
а У и |
^Ун + — /Г + |
Уі2 + |
Л |
||
|
|
+ /і (0 ----------- і-- (f2 (0 + /3 (0). |
|
|
м |
dl |
^ — T^zTjy j^i2 |
Н-------- j— (МО + /з (0) |
И
- ^ - = -^ -» 2 + 2 /! (0 + /з (0.
§ 3. Общий вид матриц К^ь\ ЛІМ Инвариантность матриц Q[ak]
В равенствах (2.11) положим
/^°] s KaNo, |
Л™ S N7'AaN0, |
где Na — произвольная, достаточное число раз дифферен цируемая матрица порядка ka.
При этом первое равенство (2.11) снова обратится в то ждество. Действительно,
UKlo] = 2 |
K0 N0 = KaNuN^AoNo = М',]Лса0]. |
3«s=l |
|
7 *
196 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . V I II |
Для |
построения величин в к-и приближении |
умножим |
(k -+- 1)-е равенство (2.11) слева на М, а справа на NÜ"1. Получим
AMIÜk]NJl= М К ^ ^ Л а + MKoNo&'b]Nöl+ MDlok- ' ]Nöl,
или, обозначив
Qcr*3=
АСІк] = Q[a ]An + |
MKaNaAla]N7l + MD[ak- ]]Na-' . |
|
||||||
Последнее равенство эквивалентно следующим р неза |
||||||||
висимым матричным равенствам: |
|
|
|
|||||
Л-sQsa1 = HSC’A, + |
|
|
|
|
|
|
||
+ M sK o N a № N ö ' + М |
|
|
( s = l , |
, р). |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
^сфа = |
Q $A Ö+ |
NaAlok]Nä' + |
MaD[ak- ' ]N0', |
(3.1) |
||||
AsQsa] = |
Qlo]Л0 + |
MsDl0k~l]Nö' |
(s Ф a). |
(3.2) |
||||
Из (3.1) получаем |
|
|
|
|
|
|
||
A[k] = |
No' (ЛoQloo]- |
Qao]Aa - |
M o D ^ N ö 1) N„. |
|
||||
Здесь по-прежнему Q\jkJ |
— произвольная, достаточное |
чис |
||||||
ло раз дифференцируемая матрица порядка ka. |
|
|||||||
Равенства |
(3.2) однозначно |
определяют Q^J (s Ф а). |
||||||
Покажем, |
что |
(s ф a; |
к = |
1, |
2,...) не зависят от |
|||
No- Для этого, |
очевидно, |
достаточно показать, что матри |
||||||
цы MsD[o~[^ N^' не зависят от Na-
При к = 1
й01мг' = [ ф - Vß.K?1+ VAKM"1)К' -
= N ^ - + K „ - ^ N - N 7 ' - A P B 1K „ + A >'A I K;CK .
Но (см. (2.10))
dKo |
Ao 'BLKo + Л) 1A1/C(jAa = |
Ua=Eb |
|
dx |
|||
|
|
||
Поэтому |
|
dNp |
|
|
|
ДЕг0] = |
No + Ko |
dx |
|
|
5 3] О Б Щ И Й В И Д М А Т Р И Ц К ^ Л ? 1 197
|
|
м Д 0]Д |
|
= |
м Д 0] wa=£Aa |
|
( s ^ 0)- |
(3.3) |
||||||
|
Подставим |
(3.3) |
в (3.2): |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
А , 0 |
$ |
= |
( & |
]Л 0 |
+ / И |
Д 0] |а (Т= £ ^ о |
( S * а ) . |
|
||||
|
Сравнивая последнее равенство с равенством (2.16), ви- |
|||||||||||||
Д И М , ЧТО |
лП] _ |
лП]' |
|
и, |
значит, |
С |
ТОЧНОСТЬЮ ДО |
|||||||
4so |
— Usoiff" |
|/Vö=£fe,К(Т |
||||||||||||
произвольной |
субматрицы Qad |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
(3.4) |
|
При k — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
DP = кРлЯ' + V |
(лД |
+ л,Д |
- в./сУ1■ |
|
||||||||||
- |
В Д 0] + Л Д ‘Д |
|
0Д |
Л Д ° Д 1] + Л Д ° Д 0]| = |
|
|||||||||
= |
K Q ^ N aN â 1 (А Д У - |
QaaAo - |
МД ° 3Л Д |
No + |
|
|||||||||
, |
d(KQ™Nj |
|
|
|
А |
d(Kd i 0) |
~ ß Д<ЗУ Д |
~ B 2K aNa+ |
||||||
+ — л — |
|
+ A0 |
|
|||||||||||
+ |
A.KO^NoNä'AoNo + A.KoNoNV' (А Д У - |
Q[J]Aa - |
|
|||||||||||
— MД |
0Д |
*) Nn + A,KaNaNä]AaNol = |
|
|
|
|
||||||||
|
К № (ЛД У - |
Q^Aa - MoD™ |л.0=£,а - |
л Д |
ІѴСТ+ |
||||||||||
+ І ^ |
# . + К й и ^ + Ѵ |
Лх |
Т |
^ |
+ |
|
||||||||
|
|
d N n |
|
|
|
|
|
d x |
|
|
||||
+ |
АхКо |
|
|
B . K Q ^ N a - |
B 2K ON 0 |
+ |
A1K f f l & 0N 0 + |
|||||||
(fr |
|
|
||||||||||||
+ |
Aj,Ka |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN„ |
|
|
ACQCTCT— QtraA0 — M oD ^ |а0=£6сг------N0 1j /Ѵ0 -j- |
||||||||||||||
+ |
A2K ON ON O\ = |
{ * Д '] (AOQCKJ - |
<Д]Ла - |
MoDla0] Ua= £,o) + |
||||||||||
|
d(KQilb . |
|
„_ir . |
dKn |
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
dx |
+ |
A |
Ax- dx |
ßiKQa11— B 2Ko + AlKQ[al]A a+ |
|||||||||
+ A J< a (AoQ $ - Q&A0 - М Д 0] |WO_ B ) + A J< aA No.