Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 0
198 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И СТ Е М Ы СГЛ. V III |
|
Отсюда в силу |
равенств (2.17) и (3.4) |
||
- |
[КУ]Л^1] + |
|
|
|
< |
1] |
- в . к ?>+ |
|
+Аг'| А0 -Жdt -т+А1 -ТІііт -— |
||
+ Л.КУЩ“1+ A jK f’At11 + Л К ‘0ІЛІ°>)
• / V с г ,
T. е. |
Da1] = D[a ] |л/о=і „а |
<ѵ„. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ha основании последней зависимости из (3.2) следует, |
||||||||||||
ЧТО QÜa1= |
Qs[a] | |
- |
И, |
ЗНЭЧИТ, |
С ТОЧНОСТЬЮ |
ДО П РОИЗ |
|||||||
ВОЛЬНОЙ матрицы QOC |
Qa 1= |
Qa ] |ліа=£йст- |
Допустим, что |
||||||||||
установлены инвариантность |
Qa1], |
..., |
Q[o-1] и зависимости |
||||||||||
DlJ ] = |
DlJ ] Iva=Eka - Na |
|
|
|
(/ = |
1.......... k — 2). |
Покажем, |
||||||
что тогда |
Qo*1 инвариантна |
|
относительно |
Na, |
а |
||||||||
|
|
|
|
Dla~11 = |
Dla ~ U |ivtf=£ftCT• Na. |
(3.5) |
|||||||
|
Преобразуем |
выражение для |
|
|
в |
предположении, |
|||||||
что k >- 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
/ |
|
|
|
|
|
|
ft—‘V |
|
\ |
|
+ |
V |
у; |
Дѵ-і |
|
- |
а |
|
д ^ |
ѵ] + |
2 |
д д ^ - ѵ- /]л [0/] ] = |
||
|
|
v^l \ |
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
/ |
||
|
ft— 1 |
|
|
|
|
|
|
л д - l f t — ■] |
|
|
|
||
- |
V |
K F - W |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
/=2 |
ft |
Wftr[ft—V] |
|
|
|
ft |
|
|
|
|
|
|
+ |
V |
^ |
v- , ^ -------Ѵ |
|
ѵ а д Г Ч |
|
|
||||||
|
|
v=2 |
|
|
|
|
|
v=1 |
|
|
|
|
|
+ |
A ö' |
|
ДѵД[а _ѴІЛ[а0] + |
До“ 1 V |
|
ЛѵДСа - ѵ_1]а У3 + |
|||||||
|
|
Ѵ = » 1 |
|
|
|
|
|
Ѵ = І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft— Ѵ5.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Л(Г' 2 |
2 |
і4ѵДаЕ-Ѵ_/3Ла/] • |
||
Ѵ ~ 1 і ~ 2
§ 3] |
О Б Щ И Й В И Д М А Т Р И Ц /<£Ч |
|
1 99 |
|||
Но |
|
|
|
|
|
|
1 - 2 |
|
|
|
|
|
|
=2 |
I<Qlak- n N oN äl (A aQ[M - |
Q[J ]aA o ~ M aD [J - ]]N ä l) N a = |
||||
/=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 К1ак~ПЛаП1 |
■N a |
||
|
|
|
/=2 |
|
N°=Ekn |
|
K lk~ ]]A ll] + — \x |
1] = K Q ^ []NaN ö' |
AOQCO- |
0}oJA |
|
||
|
M a (p aL INa=Eka ' N 0 “f" |
Ko — |
° \ Л 7 - 1 |
NQ-f- |
|
|
|
No |
|
||||
+ |
ä m i k- lb |
^ |
dNa |
|
|
|
dx |
ІѴо+КЦо |
- fc - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"a=Eka |
■N, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
■I*— V] |
|
•No; |
v=l |
v=l |
|
BvK[J |
|
||
|
v=l |
|
*a=£*n |
|
||
2 |
= 2 |
AvKQLok~v]NoN7lAoNo = |
|
|
||
V=l |
«--! |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
AvKLÄ~V]ACa ] |
|
•No; |
|
|
|
_v=1 |
|
N o = E ka |
|
|
k k—v
2AvKlok~v41A [on =
=1 / = 2
= 2 *S AvKQlok- v~nNoNö' (AoQlJ] - QCTOAO-
v=I /=2 |
|
— MaDlJ - 1]Nöl)Nv = V S ’ A v ^ “ v -'']Ai/] ] |
■УѴг, |
v=l /=2 |
|
2 0 0 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III |
|
и J/O —V] |
ft |
|
у м ѵ _, K°dx |
+ |
V |
= |
ѵ=2 |
|
v=l |
|
t- i |
|
/ d/Ле—V—i] |
|
= V |
Лѵ |
+ |
/ ^ - ѵ- ,]л ^ Ц |
V=1 |
|
dx |
|
|
|
|
ft—1 = y >
V=1
|
d m y — |
n') |
i |
dx |
— /Ѵ0 + |
‘,Q r |
ГЬ |
M n |
tW . |
+ |
/'CQa* |
1 |
— |
|
‘' 4ta |
|
dt |
|
|
+ KQlc~v~l]N0N7l |
A aQLa'a]- QajAa - |
|
|
|||||
|
— M a ( D ^ 0] ІЛ/^Еь |
• |
N a + |
No ' j N a \ — |
|
||||
|
" k |
|
J b - [ I - V ' |
k |
|
|
Nc |
||
|
£ Лѵ_, |
°T— |
+ V лѵ/<^-ѵ- 1]лУ] |
• |
|||||
|
_v=‘2 |
|
|
|
v=l |
|
|
|
|
На |
основании |
этих |
соотношений |
|
|
|
|||
|
|
0 Г 1] = |
О |
Г ] к = Я ,а -/Ѵа. |
|
|
|||
Тем самым равенство (3.5) доказано. Тогда из (3.2) сле |
|||||||||
дует, |
что <2Іа] = |
Qsa] k,= £ fca, |
И, значит, |
с точностью |
до |
||||
произвольной |
матрицы |
Qoa' |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Qlo4 = |
Q ?Jk - £ V |
|
|
|
||
что означает инвариантность матрицы Qa4 |
относительно |
Na. |
|||||||
В силу вышеизложенного по индукции получаем |
|
||||||||
|
D a 1= |
D or]L \Na= E ka |
■ No |
(/■=1,2, . . . |
), |
|
|||
|
Qa1 = |
Qo ] \ыа=Ека |
|
(/■=1,2, . .. |
) |
|
|||
и, далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К У = к У \ н о = е k - N o
A^] = /V7‘A^] k = ^
(г = 0, 1,2, . .. ),
(г = 0, 2, 3, 4, . . . ),
-1 |
dNo |
л У ] = ^ ‘л У ] Il"o=*V■No — No |
dx |
$ 4] |
РЕКУРРЕНТНЫ Е с о о т н о ш е н и я в ч а с т н ы х с л у ч а я х |
2 0 1 |
§ 4. Рекуррентные соотношения в частных случаях
Произвол в выборе Qaa можно использовать для упро щения расчетных формул.
Так как
MaKlak]= Q loo\
то из
0 |
$ = 0 |
(* = 1,2, . . . ) |
(4.1) |
следуют равенства
M ,/dÄ] = 0
При этом
MaDLak~'] = MoAä' £ |
Лѵ_, |
|
|
ѵ г і |
V |
Имея в виду, |
что |
|
Ш |
f L , |
|
(* = 1 ,2 , . . . ).
dKlak~v] dx
+ £ |
л ж Г " '“ /]л!гл . |
/= 0 |
J |
тГ I 1
V № = К а + К 5 Qp ],
А>=0
получим еще
г ( т |
(m = 0, 1,2, ... |
Ма У К У ] = £*п |
И/г— 0
|
|
МаКа = Ек - |
(4.2) |
|
Более простой вид принимают расчетные формулы в слу |
||||
чае ЛА(т ) = |
Вк (г) == 0 (А = 1, 2, ...). При этом |
|||
|
*—1 |
|
л/Л*—Ч |
|
D[a*“ 1]= |
>1 /й ^ А У 1+ |
- 4 ; |
|
|
|
1=1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[fe -1 ] |
MCTDoft~ 1] = |
Me |
G |
Л40( ^ ( З У г-11 + |
/С dQn |
|
0 |
dx |
|
dt |
или, в силу (4.1) |
и (4.2), |
|
|
|
|
|
|
(* = 1,2. |
. .. ). |