Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
S 2] |
П О С Т Р О Е Н И Е Ф О Р М А Л Ь Н О Г О П Р О Ц Е С С А |
189 |
Первое из равенств (2.11) будет выполняться тождест венно, если принять
^Сс] (т) = Ко (т), |
А^0] (т) = А0 (т) |
(а = 1.........р). (2.12) |
||||
В самом деле, используя равенства (1.2) и (1.3), имеем |
||||||
UKla] = и Ко = 2 |
К А М Д а = КаАа = |
|
||||
|
|
S=1 |
|
|
|
|
Пусть /Са°], Ла°]; . . . ; Как |
Лп* |
|] уже найдены. При |
||||
этом Da*-1-1 будет |
известной матрицей. Определим |
и |
||||
Умножим |
(k + |
1)-е равенство |
(2.11) слева на М. Полу |
|||
чим |
|
Qla ]Ac + M K cA ^ + |
MDlak~l\ |
|
||
AQaft] = |
(2.13) |
|||||
Здесь |
|
|
Q W = M K la \ |
|
(2.14) |
|
|
|
|
|
|||
Матрицу |
, состоящую из n строк и ka столбцов, |
|||||
коагулируем |
(разобъем |
на блоки) |
следующим образом: |
|||
[ft]\
'Qxo
Ф ^
\ Q pl a J
где
=MsKok]
—субматрица типа ks X ka.
Так как А имеет квазидиагональную структуру, то ра
венство (2.13) распадается на р независимых матричных равенств
Лф а1= Qlc]A„ + |
+ м Л к~'] |
(S = |
1.......... р). |
|
Отсюда, принимая |
во внимание равенства |
(1.3), |
полу |
|
чаем |
|
|
|
|
A(;Q!£] = |
Q&]A + Л ^1+ |
|
|
(2.15) |
ASQSC] = (ф А 0 + М Л ~ 1] |
(s Фа). |
(2.16) |
||
Из (2.15) непосредственно находим |
|
|
|
|
Л™ = AoQao — Qao]Aa — |
|
|
(2.17) |
|
190 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы [ГЛ. V III |
Здесь QOC] — произвольная, достаточное число раз диффе ренцируемая матрица порядка ka. В частности, можно
принять Qoa1 = 0.
Остальные субматрицы матрицы |
однозначно опре |
|||||||
деляются |
алгебраическими соотношениями (2.16), |
ибо |
в |
|||||
этих матричных равенствах As и Ла (s ф а) не |
имеют |
об |
||||||
щих собственных значений (согласно лемме 7.7.1). |
|
|
||||||
Определив из |
(2.16) |
Qsa1 (s ф а) |
и задавшись |
матри |
||||
цей QlaJ, |
будем |
иметь |
Q^], |
после |
чего легко |
построить |
||
матрицу |
по формуле |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
TCQo*1, |
|
|
(2-18) |
|
которая получается из равенства (2.14) умножением обеих его частей слева на К и использованием соотношения (1.5).
Таким образом, с помощью рекуррентных соотношений (2.16), (2.17) и (2.18) можно последовательно определить
члены формальных рядов ЛУ], Аа]; Лет1, К[а \ ...
Остается определить еще матрицы Ма и R, фигурирую щие в равенстве (2.8), которое можно записать в виде
[А(х, г)К(X, г)М(т, e)R(т, е) — En]f{t, х, е) = 0, (2.19)
где
~ ~ |
/ щ |
К = (К, ... к р), |
м = . . . . |
|
W |
Поскольку f (t, т, е) — ограниченная функция, то для выполнения равенства (2.19) достаточно, чтобы имели мес то следующие соотношения:
|
К (X, е) М (т, |
е) = |
Еп, |
|
(2.20) |
Обозначим |
А (т, е) R (т, е) = |
Е„. |
|
(2.21) |
|
|
|
/М * 3\ |
|
||
КШ = |
Km )t |
|
|
||
м т = | |
|
|
|||
Тогда |
|
|
Ѵ < Ѵ |
|
|
|
|
|
|
|
|
к = £ |
e k K w СО. м = |
2 г м т |
(т ). |
(2.22) |
|
|
|||||
k—Q |
k**0 |
§ 2] |
П О С Т Р О Е Н И Е Ф О Р М А Л Ь Н О Г О П Р О Ц Е С С А |
191 |
Подставим разложения (2.22) в равенство (2.20) и прирав няем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим
А[0]М[0] = |
Еп, |
|
2J A[‘]M[ft_'] = |
0 |
(& = 1, 2, . . . ). |
;=о |
|
|
«г
Отсюда, учитывая (2.12) и (1.5), находим
Мт = М,
Mw = — М 2 Кщм ік~і] (k = 1, 2, . .. ). >•=1
Аналогичным путем из (2.21) следуют рекуррентные фор мулы для построения членов разложения R (т, е):
\
( 4 = 1 , 2 , . . . ) .
і=і
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 1. Построение матриц Ао и Аа не зави сит от вида функции / (/, т, е), так что решение однородной системы
Л(т, & ) ~ = В (т, в)*
определяется равенствами |
|
|
|
р |
- |
|
|
X = 2 |
Ко(т, е)^> |
|
|
а=1 |
|
|
|
- ^ - = Л„(т, е)г/0 |
(от = |
1, . . . . р), |
|
где AC (т, е), Л0 (т, |
е) — матрицы, |
представляемые фор |
|
мальными рядами (2.6), члены которых определяются вы шеприведенными соотношениями.
З а м е ч а н и е 2. Определение первых членов рядов
Ла и Ао (с м . (2.12)) допускает известный произвол. Можно было бы принять
А™ = АстМст,
где Ао — произвольная, невырожденная, нужное число раз дифференцируемая матрица порядка ka. В связи с этим,
192 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III
естественно, возникает вопрос, каким образом влияет вы бор матрицы Na на выражения для членов формальных ря дов. Следующий параграф посвящен этому вопросу. В част
ности, будет показано, что |
матрицы |
Q0 |
(а — 1, |
2, ..., р) |
||||||||
не зависят от Na |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ll |
р и м е р . Рассмотрим систему уравнений |
|
|
|
||||||||
|
rfr |
|
хг + |
хв + |
/X(О, |
|
|
|
|
|
* |
|
|
- j f - = txx+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
~~м~ — i |
t |
+ p |
j |
xi + ^— t + |
T rj xs + / 2 (0. |
|
|
||||
|
- # - = (2 |
1 - |
-Pj xs + |
(2 1 - P |
) x , + h (t). |
|
|
|
||||
Собственные |
значения |
матрицы |
этой |
системы |
^ |
= |
t, |
|||||
Х2 = |
/, Я3 = |
в любом замкнутом промежутке [^, /2] (^і> |
||||||||||
> 0), |
не содержащем точки |
t — 1, могут быть разбиты на |
||||||||||
две непересекающиеся |
группы: 1) Ä,*11 |
= |
Я,”1 — |
Х2 |
и |
|||||||
2) Я|2) = Я3. В соответствии с такой разбивкой собственных
значений на группы произведем |
расщепление заданной |
си |
||
стемы уравнений. |
|
|
|
|
В данном случае |
|
|
|
|
|
t - i r |
1 |
1 |
|
Д1(У) = ( t / - Ä 8) = |
„ |
|
- [ , - + |
) |
|
0 |
|
2 ( ' — r ) |
|
N2( U ) = ( U - l[ l)E3)(U - |
Ä s ) |
= |
|
|
“0 |
0 |
0 |