Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

У С Т О Й Ч И В О С Т Ь П Р О Ц Е С С А

3 9 9

Всоответствии с (2.4) полная производная от положитель­ но определенной функции V (t, х) = Цу |2 в силу уравнения

возмущенного процесса равна

-^-=2 É ИеЯаЫ2-

(2.5)

Ш

<J=1

 

Теорема 2.1. Если

 

 

М 0 )< 0

(Р-о (О = таха ReХа (t)),

(2.6)

то существует конечный промежуток U0, (0 -f АО, на ко­

тором линейный процесс (тривиальное решение уравнения

(1.3 ) ) обладает устойчивостью по отношению к области

(2.3) .

Доказ ательство. Из (2.5) следует, что

 

X

" W < И-о(0 J JIУ°2I=

Цо ( 0 IУ2II-

 

Отсюда

видно,

что если имеет место неравенство

(2.6),

то в точке

t =

ta,

а по непрерывности и в пределах неко­

торого конечного

промежутка U0,

t0 + АО er П0, Т }

пол­

ная производная по t от положительно определенной функ­ ции V (/, X) в силу уравнений возмущенного процесса удов­

летворяет условию

что доказывает теорему.

Теорема 2.2. Если

 

f-lo(0>) 0,

(2.7)

то не существует конечного промежутка [f0, t0 +

АО, на

котором линейный процесс (тривиальное решение уравне­

ния (1.3)) обладал бы устойчивостью по отношению к области

(2.3), т. е. At = 0.

Доказ ательство. Допустим для определеннос­

ти, что

 

Po (0) =

К (0>)-

Пусть

 

Ф(0 у) =

Е Re

4 0 0 У С Т О Й Ч И В О С Т Ь П Р О Ц Е С С О В [ГЛ . X V I

Рассмотрим

 

частное

 

решение

уравнения

(1.3)

х° =

— К (і)у°, определенное начальными условиями

 

 

У$ {to) — Р.

УаRo) — 0

(от Ф s),

 

(2.8)

При условии (2.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч-(*о. y ° ( g )

=

R

e M g

=

P ( ' o ) > 0 .

 

 

Вдоль рассматриваемого частного решения по непрерыв­

ности функция

ер положительна

и

в

пределах

некоторой

окрестности точки

t0:

 

 

 

 

 

At), At >

 

 

Ф ( / .

y ° ( t ) ) > 0

 

{tcz[t0, t 0 +

0) .

 

Тогда в этой окрестности

 

 

 

 

 

 

 

dV (U х°)

=

21у°

аііяі

— 2\у° і,2 Фit, y ° (t))> 0.

 

dt

 

 

dt

 

 

Таким

образом,

если

имеет

место

неравенство

(2.7),

то существует такое частное решение, вдоль которого в пре­ делах сколь угодно малой окрестности точки t0

V{t,x{t))>v{t0,x{t0))

 

( / > g ,

 

и, значит, условия устойчивости (1.1), (1.2)

не выполняют­

ся. Теорема доказана.

 

 

 

 

Рассмотрим, наконец, случай, когда

 

 

Р о (д = 0.

 

 

 

(2.9)

С этой целью проинтегрируем равенство

(2.5). Получим

*

tl

ReXa

о

V {t, X(t)) = V {tQ, X {t0)) exp j 2 £

dt.

to

°

^

 

 

Для частного решения x° = К, (t)y°, определенного на­

чальными условиями (2.8), отсюда получаем

/

V(t, х° (0) = V {to, Х° {to)) exp j 2ф {t, у° (0) dt. ta

При t = t0 подынтегральная функция обращается в

нуль:

Ф(д * / °(g )= R e ^ (g = F o (g = o .

Но при t ~> to эта подынтегральная функция в зависимос­ ти от свойств переменной матрицы U (t) может быть как

отрицательной, так и положительной величиной. Так что

§ 2]

У С Т О Й Ч И В О С Т Ь П Р О Ц Е С С А

401

в случае выполнения равенства (2.9) об устойчивости реше­ ния линейного уравнения (1.3) без более подробного ана­ лиза свойств функции ф(і, у° (і)) ничего сказать нельзя.

2.1.2. Нелинейный процесс. Из (1.4) после замены переменных (2.1) находим

т г 1 = і Re1" і т г + Т И (t>m h + '■ ***»>'(2Л0)

В соответствии с выражениями (2.3) и(2.10) производная от положительно определенной функции V (t, х) по t, вы­

численная в силу уравнений возмущенного процесса, равна

4 - 4 - =

І ReК I Уо I2 + 4

+ h*M*y). (2.11)

Теорема

2.3. Если

 

 

М*о)<0,

(2.12)

то существует конечный промежуток [/„, t0 -[- А/), на ко­

тором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав­

нения (1.4)) обладает устойчивостью по отношению к об­

ласти (2.3).

Доказ ательс тво.

Равномерно по і на U0, Т)

^

при у 0

(2.13)

в силу условия (1.5), так как |К |— ограниченная величи­

на, а

и к т п ы і + о при у - + о.

Принимая во внимание (2.13), из (2.11) получаем

4 - 4 - < м о і * г + ° ( і т

Отсюда видно, что если имеет место неравенство (2.12), то при достаточно малых |у |в точке і — t0, а по непре­

рывности и в пределах некоторого конечного промежутка

U0, /„ + At) с

U0, Т) 4 “ <

0, что доказывает теорему.

 

Теорема

2.4. Если

 

 

 

 

м д > 0 ,

(2.14)

то

не существует конечного промежутка

U0, t0 + At),

на

котором невозмущенный

процесс (тривиальное решение

14 К. А. А б г а р я н

4 0 2

У С Т О Й Ч И В О С Т Ь

П Р О Ц Е С С О В

[ГЛ . X V I

уравнения

(1.4)) обладал бы устойчивостью по отношению

к области

(2.3), т. е. At = 0.

Согласно

(2.11) полная

про­

Доказ ательс тв о.

изводная от функции V (t, х)

в силу уравнений возмущен­

ного процесса равна

 

 

 

■ dV%tX(-0) =

Ц У (0II2 Ф(*, У «)) +

2 Re(y*Mh).

(2.15)

Если ф(і, у) Ф

0, то при достаточно малых |у |, в силу

свойства (2.13) нелинейного члена уравнения, знак правой

части равенства (2.15)

совпадает со знаком

функции

Ф(*, У (0)-

 

 

 

Допустим для определенности, что

 

 

Po (^o)= ReК {t0),

 

 

и рассмотрим частное решение уравнения (1.4) х° =

К (0 у°,

определенное начальными условиями

 

 

У, <ßa) — Р,

Уо (Q = 0

( о ф s).

 

Согласно (2.14)

 

 

 

Ф(*„, У° У*)) = Po tfo)>

0.

 

Поэтому в точке t0 при достаточно малых р правая часть

равенства (2.15) положительна. По непрерывности она по­ ложительна и в некоторой окрестности 1/0, t0 -j- At) точ­ ки t0. Значит, в этой окрестности

- Щ р - = Ц У ° (0II2 Ф(I, У° (0) +

2 Re (if'Mh) >

0.

Таким образом, если справедливо неравенство

(2.14),

то имеется частное решение уравнения (1.4), вдоль

кото­

рого в окрестности точки t0

 

 

V (t,x ( t ) ) > V ( t 0,x ( t 0))

(t > g ,

 

и, значит, условия (1.1), (1.2) не выполняются. Теорема доказана.

Пусть, наконец,

 

М*о) = 0.

(2.16)

Соотношение (2.16) допускает существование частного решения х° — Ку°, удовлетворяющего равенствам

Ф (^°(д ) = о, іл д іі= р .

Смотрите также файлы