Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

на котором невозмущенный процесс (тривиальное решение

уравнения (6.1)) устойчив.

Доказ ательство. При условии (6.9) по непре­ рывности в пределах некоторого замкнутого промежутка

Согласно неравенству (6.10) существует такое положи­ тельное число Ь, что р(0-< — b (t £ [t0, Г]).

Таким образом, на промежутке lt0, Т) условия теоремы

6.1 выполняются, и, значит, на этом промежутке невозмущениый процесс устойчив.

6.2.Обобщение теорем об устойчивости по линейному

приближению. Условия устойчивости, установленные в п. 6.1, основаны на теореме 2.2 о диагонализацпи линейной системы. Эта теорема определяет общий вид матрицы преоб­ разования линейной системы к диагональному виду. Одна­ ко, чтобы воспользоваться представлением (2.4), нужно располагать фундаментальной матрицей X линейной си­

стемы. В некоторых случаях, например в случае линейной стационарной системы, определение X , а значит и матрицы

преобразования линейной системы к диагональному виду, не представляет труда. Но всеже случаи, когда могут быть найдены точные выражения для X в конечном виде, исклю­

чительны. В то же время имеется возможность построения матрицы преобразования линейной дифференциальной си­ стемы к системе, «близкой» к диагональной. В связи с этим представляется целесообразным построение достаточных ус­ ловий устойчивости, основанных на преобразованиях тако­ го рода.

где A = diag (^, Ä,2, ..., Kn), a N — некоторая квадратная матрица порядка п.

Замена переменных

je = Ку

приводит уравнение (6.1) к виду

^= A(t)y - M(t)N (t)y М M(t)h(t, Ку).

Полная производная от положительно определенной функции

V(t,x) = (K-'(t)x, K~'(()x) = lyF

по / в силу уравнения возмущенного процесса в данном случае представляется в виде

exp j 2ср (?, у (О) dt' — 1< — 26(t — g.

С другой стороны, принимая во внимание (6.13), можно указать такое р0 > 0, что для всех у, удовлетворяющих неравенству |у |< р0, будем иметь |я|з (t, у) |С 26, и тогда (см. (6.12)) V (/, х) С V (і0, х0). Значит, любое решение X = X (t) уравнения (6.1), которое удовлетворяет условию

( К №о)Х Ѵо), К (0) х (^о)) ^ Р2>

где р — произвольное положительное число из промежутка О< р <; ро, в пределах промежутка [t0, Т) будет удовле­ творять неравенству

(K -'(t)x(t), K ~ [(i)x (t))< р2.

Но тогда будет иметь место и неравенство

G-1(/)х (ОХР2,

где G(0 = К (О —Ш-, так как по условию теоремы а (і) с

< со(0- Условия устойчивости процесса выполняются, по­ скольку G(0 есть матрица класса К&- Теорема доказана.

Следствие. Если на промежутке U„, Т)

а (0 < ш(t)

и

то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения

(6.1)) устойчив на промежутке [/0, Т).

Аналогично теореме 6.2 легко устанавливается и Теорема 6.4. Если на промежутке [(0, (г)

а (О О (О

и

Ро (^о) Ч- v max (^o) < Z. О,

то существует конечный промежуток [/0, Т) cz [/0, /х), на

котором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав­

нения (6.1)) устойчив.

6.3. Применение алгоритма асимптотического преобра зования уравнения. Наряду с уравнением (6.1) введем в

рассмотрение уравнение

которое при е = 1совпадаете уравнением (6.1). Невырожденным преобразованием

Допустим, что U (т) на рассматриваемом промежутке

изменения аргумента является / раз дифференцируемой матрицей. Тогда, используя алгоритм, приведенный в

гл. VIII, можно построить такую матрицу А ' " ' 1 , ч т о матрица

Л(т) будет иметь диагональный или по крайней мере квази­ диагональный вид, а матрица Л1(т) будет удовлетворять