Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 107

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

408

У С Т О Й Ч И В О С Т Ь П Р О Ц Е С С О В

 

[ГЛ .

X V I

 

Введем в рассмотрение область предельных отклонений,

заданную посредством преобразования (3.1), а

именно:

 

 

У(t, X) = ( / г 1(0 X, К~' (t) X) <

р2.

 

(3.3)

3.1. О существовании конечного промежутка устойч вости. Полная производная от положительно определенной функции V (/, х) по t, вычисленная в силу уравнений

возмущенного процесса, равна

=

£ 2 ReК I Уа М- 2у*Ру + 2 Re(y*Mh),

(3.4)

аІ

0=1

 

где

Р = ----(MN + N*M*).

Пусть

p0 (t) = шах (ReХа (t)).

Через v min ( t) и v mox (0 обозначим соответственно мини­

мальное и максимальное собственные значения эрмитовой матрицы Р. Имеем

 

Vm

 

IIУ IP<

У * Р У < Ѵтах || У

[|2.

(3.5)

Теорема

3.1. Если

 

 

 

 

In

М д +

Ѵт.х(*о)<0,

 

(3.6)

 

 

 

t0 -f- At),

то существует конечный промежуток [t0,

на ко­

тором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав­ нения (1.4)) обладает устойчивостью по отношению к

области (3.3).

Доказ ательс тв о. В силу свойств матрицы К и

условия (1.5) и здесь равномерно по t на [t0, Т)

 

 

h У, Ку)

n при у-*- 0.

(3.7)

Принимая во

II u\

(3.5) и (3.7), из (3.4) получаем

внимание

Y

< №(0 +

(Ѵшах (t)) I У Г + О(I у іі2).

 

Отсюда видно, что если имеет место неравенство (3.6), то при достаточно малых Цу |в точке t0, а по непрерывности

и в пределах некоторого конечного промежутка U„, ^ -f- + At) ci Uo, T]

что и доказывает теорему.

і 3] К Р И Т Е Р И И У С Т О Й Ч И В О С Т И 409

Теорема 3.2. Если

Ро fо) “ I" ѴпИп (^о)

то не существует конечного промежутка [t0, і0 + At), на котором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав­ нения (1.4)) обладал бы устойчивостью по отношению к области (3.3), т. е. At = 0.

Доказ ательс тв о. Согласно (3.4) полная произ­ водная от функции V (t, х) по t, вычисленная по уравнениям

возмущенного процесса, равна

-^ Г =

21у (t) |Рф(t, у (/)) +

2 Re{fM h ),

(3.8)

где

У if)) — S ^ а Л у Ца

 

 

Ф ( ^ .

+ II у ца •

 

Если ф(t, у) Ф 0, то при достаточно малых |у |в силу

свойства (3.7) нелинейной части уравнения возмущенного процесса знак правой части соотношения (3.8) совпадает со знаком функции ф(t, у {(]).

Допустим для определенности, что

 

Н-о if) = R e К if)’

и

рассмотрим частное решение уравнения (1.4) х° =

=

К (t) у0, определенное начальными условиями уг (/„) =

~рі Уа if ) = 0 (сг ф s).

Согласно условию теоремы

Ф i f ’ У° i f ) ) = М-0 (іо) +

> М 'О i f ) + v m i n if) > о .

Поэтому в точке t0 при достаточно малых р правая часть

равенства (3.8) положительна. По непрерывности она поло­ жительна и в некоторой окрестности U0, /0 + А/) точки t0.

Значит, в этой окрестности

 

 

dV (І/dt х°} > 0-

 

 

Таким

образом,

имеется частное

решение

уравнения

(1.4), вдоль

которого

в пределах сколь угодно

малой ок­

рестности точки і0

 

it > g,

 

 

V (t,x (t))> V (t0,x { t 0))

 

и, значит, условия устойчивости не выполняются. Теорема доказана.

4 1 0 У С Т О Й Ч И В О СТ Ь п р о ц е с с о в [ГЛ. X V I

Если

14 { t o ) ""Ь Vmin (^o) ^ ^ 1 * 0 { t o ) "Ь ^max (*-Q)> (3 -9 )

то о существовании конечного промежутка устойчивости без анализа свойств нелинейной части уравнения возмущен­ ного процесса ничего определенного сказать нельзя. В са­ мом деле, соотношения (3.9) и (3.5) допускают существова­ ние частного решения х° = 1{у°, удовлетворяющего равен­

ствам

 

Ф(*о. У° {to)) = 0,

11^° (^о)ІІ= Р-

 

 

Для этого решения знак правой части равенства (3.8)

при

t =

t 0 определяется знаком нелинейного члена Re (y

* M

h ),

так

что в зависимости от свойств этого члена при t

= t 0 ,

а по непрерывности и в пределах некоторой окрестности точ­

ки t 0 правая часть соотношения (3.8) может быть и

поло­

жительной, и отрицательной, и нулевой величиной.

 

3.2.

Критерии

устойчивости

на

заданном промежутк

Имеем (см. (15.6.12))

 

 

 

 

 

ѴЦ, а-)=

|£/||2=

ѴДг0, х0) 1 +

ехр \24>{t',y(t'))dt’ - \ +

где

 

 

 

+

{t — t0)i/3 {t> У) К

о 101

 

 

t

 

 

J

ѵ '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

L £ 2ф (т,у (т)) dx

 

 

Ф { t ,

У ) =

J ef

 

 

Re(ifM h) d t ’,

 

 

 

 

 

(*-<о)ІЫР К

 

 

 

 

причем равномерно по

t на промежутке U0, Т)

 

 

 

Ііш я[) (/, у) =

0.

 

(3.11)

 

 

 

у-+О

 

 

 

 

Теорема

3.3. Если

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

( __^

I [Во(^ ) + v max {t)\dl

<

^

(t (; [*„, Т)),

 

 

 

 

 

 

 

(3.12)

где b — положительное число, то невозлпущенныіі процесс

{тривиальное решение уравнения (1.4)) обладает устойчи­

востью на заданном промежутке Н0, Т) по отношению к области (3.3).

5 3] КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 4 11

Док а з а т е л ь с т в о. При условии (3.12) существует такое б >■ 0, что в пределах промежутка [t0, Т)

I

ехр ^2ср (t', y(t')) dt' — 1С — 26 (t — t0).

С другой стороны, принимая во внимание (3.11), можно

указать такое р0 >

0, что при всех у,

удовлетворяющих

неравенству |у |<

р0, будем иметь |т|з(t,

у) |< 26, и тогда

V (t, х )< 1 / (t0, х0), а это означает, что любое решение урав­

нения (1.4), которое удовлетворяет условию

V (t0, х0) <

•< р2, где

р произвольное положительное число из

проме­

жутка 0 <

р С ро, в пределах промежутка [t0,

Т)

удовле­

творяет условию V (t, х) •< р2, что и доказываеттеорему. / Следствие. Если

P'0 (О “Ь ^max (і) < 0 {t £ [^о> T)),

то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения

(1.4)) обладает устойчивостью на заданном промежутке 1/0, Т) по отношению к области (3.3).

Для линейного процесса (h (t, х) = 0) имеет место почти

очевидная Теорема 3.4. Если

I

1’ [Ро (П + Ѵ ш а х (/')] dt' < 0

(/ е [*„, Т)),

I Iо•

 

‘0

 

то линейный процесс (,тривиальное решение уравнения (1.3)) обладает устойчивостью на заданном промежутке [tQ, Т) по отношению к области (3.3).

Смотрите также файлы