Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

4 6

В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А

[ГЛ, II

d1< d .

(8.5)

Совокупность векторов z, удовлетворяющих равенству

(8.1),

можно представить так:

г = Ау

(у£ BR).

(8.6)

Число линейно независимых векторов

г, определен­

ных

равенством (8.1) (или

(8.6)),’ равно, как

указывалось

выше, гс.

можно представить

и так:

z = Ay

(t/£ S v Sl cz BR).

У ъ У ь

■ ■ ■ ,

Уі-

Этим векторам соответствуют векторы

zt = Ayt

( » = 1 . 2 .......... /)

(8.7)

пространства

Т.

Векторы (8.7) линейно независимы. В самом деле, до­

пуская их линейную зависимость, будем иметь

а ігі + °Чг2 +

• • •

+ aizi — 0.

Это ведет к

равенству

А К У і + а $ 2+

• ■•

н- a,yt) = 0.

(8.8)

S в]

Н Е Р А В Е Н С Т В А С И Л Ь В Е С Т Р А

47

уравнения

(8.3). Значит, г х , z2,

z t линейно

независимы.

Отсюда можно сделать вывод, что

что гс >

I. Пусть линейно независимыми являются векторы

Имеем

^т> Z2»

• • • > Zf Q'

и

г і ~ АУ і

{ y t £ S lt t ' =

1, 2 , . . .

, r e )

a iZl

+ a 2Z2 +

' ’ ' +

a r c Zr c =

=

Л

+ « 2 ^ 2

+

• ••

+ “ лсі/Гс)-

По предположению векторы у х

, у

2 ,

у

Г с

линейно за­

висимы

(гс >

0- Поэтому

имеются

такие числа

аъ сс2, ...

... ,

<хг.с, не все равные нулю, что

аі9і + *іУл +

+ аГ(Мгс ~

О-

Но

тогда

« А + cc2z2 +

• • • +

а r c z r c

=

О,

что означает линейную зависимость векторов

г1(

z2, ..., zrс ,

Остается одна возможность, а именно:

гс = гв — dx.

(8.9)

Отсюда,

в частности,

гс < гв .

(8.10)

Из (8.4),

(8.5) и (8.9) получаем

г с >

г в — d = г А

- { - г в — п .

( 8 . 1 1 )

Объединяя неравенства (8.2), (8.10) и (8.11), получаем

неравенства Сильвестра

гА +

гв — л < г с <_гл, гв ,

(8.12)

с размерами q X п

и п

X т

соответственно

и рангом

их

произведения AB.

г в

С л е д с т в и е . П р и

у м н о ж е н и и

м а т р и ц ы

р а н г а

л ю б о м п о р я д к е н а

н е о с о б е н н у ю

м а т р и ц у р а н г

п р о и з в е д е н и я

о с т а е т с я р а в н ы м

г .

Пусть А — неособенная матрица порядка п

,

а В — мат­

рица размеров п X

т

и ранга г (г

т ,

п ) .

48

В Е К Т О Р Ы .

В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А

[ГЛ II

Применяя неравенства Сильвестра к произведению

получим

С = AB,

Г +

Л — // <

Гс < Г, Я.

Отсюда

гс —

г.

ществует такая прямоугольная матрица В

размеров г X п

и ранга

г, что

С =

ЛВ.

(9.1)

Для существования соотношения (9.1) необходимо, чтобы

столбцы

матрицы

В = {Ь 1Ь2 . . . bn)

удовлетворяли уравнениям

АЬ[= с(

( / = 1, 2, ... ,

п).

(9.2)

решимы относительно

bt.

Остается показать,

что ранг матрицы В также равен г.

Учитывая, что в данном случае гс = га — г, неравенст­

ва Сильвестра (8.12) можно записать в виде

г А -

г в — / ■ < г < л , Г в -

Отсюда

У і = Ах,

у 2 = Вх.

Тогда суммой операторов А и В назовем оператор С =

= А + В такой,

что

Уі

У2 = (A -f- В) X = Сх.

Далее,

пусть А — оператор,

относящий вектору у век­

тор z, а

В — оператор, относящий вектору х вектор у:

z = Ay,

у = Вх.

Тогда

произведением AB операторов назовем оператор

С = AB,

относящий вектору х

вектор г:

обладают следующими

свойствами:

А + В = В + А, А + ( В + С) = ( А + В ) + С'

А + 0 = А,

А {ВС) = {AB) С,

( 1 . 1)

(А + В)С = АС + ВС,

А( В + С ) = АВ + АС.