Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Однако последнее соотношение не может выполняться, так как в левой части, согласно условиям леммы и сделан­ ному предположению о существовании не равного нулю коэффициента ak, все сомножители отличны от нуля. Полу­ ченное противоречие доказывает лемму.§

§ 5. Линейные операторы и матрицы простой структуры

Линейный оператор А в «-мерном пространстве R может иметь не более чем п линейно независимых собственных век­ торов. Если характеристическое уравнение имеет п различ­ ных корней, то оператор А имеет точно п линейно незави­ симых собственных векторов. Если характеристическое уравнение имеет k различных корней (/г •< п), то число ли­ нейно независимых собственных векторов может быть и больше, чем /г, и даже равно п.

§ 5] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы И М А Т Р И Ц Ы П РОСТО Й С Т Р У К Т У Р Ы 57

Линейный оператор А в п-мерном векторном пространст­ ве называется оператором простой структуры, если А имеет п линейно независимых собственных векторов.

Пусть А — оператор простой структуры и g lt g 2, g n— линейно независимые собственные векторы оператора А:

Agk = hgk (Â = 1,2, . .. , л). (5.1)

Примем эти векторы в качестве базисных векторов. Если

X = # х ,

где $ = (gigz-.-gn), а X — столбцовая матрица, элементами которой служат координаты вектора л: в базисе $ , то

У=

—столбцовая матрица, элементами которой служат коор­ динаты вектора А х в базисе

Таким образом воздействие оператора простой структу­ ры А на вектор х сводится к «растяжению» составляющих этого вектора по собственным направлениям, порожденным

векторами gi, g e, ■■■, g n>с коэффициентами ^ХД 2, ..., Ъ,п. Соотношения (5.1) эквивалентны одному матричному ра­

венству

где

К

Значит, оператору простой структуры А в «собственном» базисе g lt g 2, ..., ^„соответствует диагональная матрица.

В произвольном базисе оператору простой структуры А соответствует матрица А, подобная диагональной матрице:

А = КАК~1.

Матрица, подобная диагональной матрице, называется

матрицей простой структуры.

Итак, оператору простой структуры во всяком базисе отвечает матрица простой структуры, и наоборот.

§ б. Расщепление «-мерного пространства

Пусть R x и /?2 — подпространства «-мерного простран­ ства R. Если и R 2не имеют общих векторов, кроме нуля, и любой вектор X из R представляется в виде

то говорят, что пространство R расщепляется на два под­ пространства R 1 и Ro или что пространство R разлагается в прямую сумму подпространств R x и R 2.

Это разложение записывают так:

Представление вектора л: в форме (6.1) единственно. Действительно, допуская, что возможно еще другое пред­ ставление

после вычитания (6.3) из (6.1) придем к равенству двух век­

Тогда любой вектор х £ R разлагается, и притом един­ ственным образом (см. § 6), на сумму двух векторов из 5 и Т:

Вектор Xs называется проекцией вектора х на подпрост­ ранство S параллельно подпространству Т. Аналогично, Хт называется проекцией вектора х на подпространство Т параллельно подпространству S.

Пусть Р — оператор, осуществляющий проектирование пространства R параллельно подпространству Т. Этот опе­ ратор определяется равенством

Р х = xs,

где X — произвольный вектор из R, a x s его проекция на S. Очевидно, что Р является линейным оператором.

Равенство (7.1) можно записать и так:

Если л: £ S, то разложение (7.1), в силу единственности разложения вектора из R на сумму (7.1), принимает вид

.V = Xs {Хт = 0),

и из (7.2) в этом случае получаем

x s = Pxs,

т. е. оператор Р, примененный к вектору из S, действует как единичный оператор.

Если X £ Т, то разложение (7.2) принимает вид

Хт = Р хг + Хт,