Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

3 6 В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ГЛ . II

так как равенство

ным. Базисом этого пространства может служить, например, система векторов (3.5).

Пусть еъ е2, ..., еп — базис в R, а х — вектор из R с ко­ ординатами хх, х2, ..., хп в этом базисе. Составим из базис­ ных векторов строчную матрицу g = (ех е2 ■•■■еп), а из чи­ сел хх, ..., хп — столбцовую матрицу

В этих обозначениях соотношение (3.2) приобретает вид

(хх — столбцовая матрица, составленная из координат век­

Формула (3.8) определяет преобразование координат век­ тора при переходе от одного базиса к другому.

§ 4. Изоморфизм «-мерных пространств

Линейные пространства/? и R Lназываются изоморфными, если между векторами х пространства /? и векторами х ' пространства /?г можно установить взаимно однозначное соответствие х<г+х' так, что если х<-*х', у <->у', то

_Если пространства /? и /?2 изоморфны и векторам л:, у,...

число линейно независимых векторов в этих пространствах одно и то же, т. е. изоморфные линейные пространства имеют одну и ту же размерность.

Более того, все пространства одной и той же размерности над одним и тем же числовым полем Di изоморфны друг дру­ гу. В самом деле, пусть R и Rt — «-мерные пространства над одним и тем же числовым полем Di с базисами ег , ..., еп

и е[, ..., еп соответственно. Каждому вектору х из R поста­ вим в соответствие вектор х ' из R lt имеющий в базисе

ей ..., еп те же координаты, что и вектор х в базисе eL, ..., еп, т. е. вектору

новленного правила соответствия сразу следует, что вектору X + у £/? соответствует вектор х ' + у' £/?г,

мерности изоморфны между собой. Единственной су­ щественной характеристикой конечномерного пространства является его размерность. Все я-мерные пространства с точностью до изоморфизма совпадают с одним и тем же я-мерным численным пространством.

Эго важное обстоятельство позволяет свести изучение различных линейных пространств к изучению одного, на­ пример численного, пространства.

§ 5. Подпространства векторного пространства

Совокупность векторов из R, образующих линейное про­ странство относительно уже введенных в R операций сложе­ ния и умножения на число, называется подпространством Rx пространства R.

Другими словами Rx d R образует подпространство ли­

Пр и м е р ы .

1.В трехмерном пространстве R совокупность Rx век­ торов, лежащих на прямой, проходящей через начало ко­ ординат, образует одномерное подпространство.

2.Нулевой элемент пространства R образует подпро­ странство (нулевое подпространство). Подпространством яв­ ляется и все пространство R.

Рассмотрим совокупность векторов я-мерного вектор­ ного пространства R, представляющую все линейные комби­ нации над полем ді т фиксированных векторов из R, т. е. совокупность векторов вида