Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 25

Заменяя при необходимости

т на т - 1 ,

мы можем предположпть,

что

1 .

Тогда

т о т - 1

" ±

a*h'

6 P(s) П Г-

Но этого ие может

± 1 _

быть,

ибо

| аг1ъ | <

| h

|. Таким образом, Г8 = P(s) f| Г.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1 . 18 . Элементами

конечного

порядка

группы

служат все эллиптические

элементы и ± 12 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

какой-либо элемент а

из

S L 2

(R)

имеет

конечный

порядок,

то

группе SLn(C) он

сопряжен

с неко-

торой

матрицей

"£ О",

, где £ —корень из единицы. Согласно данному

О £

определению, такой элемент

а является эллиптическим,

если £ Ф

Ф+ 1 . Обратное следует непосредственно из предложения 1.16.


ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.19. Множество			эллиптических точек			группы Г
не имеет предельных	точек	в полуплоскости		Q.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Предположим,		что	имеется	последова
тельность различных	эллиптических		точек	{z„}	группы	Г, сходя

щаяся к некоторой точке w 6 £>• Согласно предложению 1.7, можно найти такую окрестность U точки w, что y(U) |~| U ф 0 при у £ Г тогда и только тогда, когда y(w) = u\ Для достаточно большого п

имеем	z„ £ U, причем z„ ^=		Существует	эллиптический		элемент
у 6 Г.	для которого y(zn)	=	z„. Тогда у(С/)	П U ф 0	и,	следова
тельно,	= г«. Таким образом, элемент 7 имеет две				неподвижные
точки на <д. Мы пришли к		противоречию.

Матрицы из группы SL2 (R) (или группы GL$(R)) не следует путать с преобразованиями, которые они представляют. Особое вни мание требуется при определении порядка эллиптического элемента:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 20 . Пусть		о — эллиптический		элемент		группы Г .
Если о имеет четный порядок		21ь, то Г содержит		элемент		— 1 2 и пре
образование	z t—*- o(z) имеет	порядок	h.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Можно найти такой элемент т в группе
GL 2 (C), что	выполняется равенство		тсгт- 1 =	^ ^	в	котором

отогда =

=— 1 и, следовательно, о'' = — 1 2 , что и требовалось доказать.с, — первообразный корень из единицы степени 2/г. Н

Следствие 1 . 2 1 . Если группа	Г не	содержит элемента — 1 2 , то
каждый эллиптический элемент	из Г	имеет нечетный порядок.

Это немедленно следует из предложения 1 . 20 .

Чтобы различать группу преобразований и группу матриц, мы будем обозначать через Г образ группы Г при естественном отобра жении

S L 2 ( R ) - + S L 2 ( R ) / { ± 1 2 } .

26	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

Для эллиптической точки z группы Г порядок группы {а 6 Г | u(z) = z}

называется порядком эллиптической точки z (отпосптельно Г).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.22. Ни эллиптический,

ни параболический элемент

а группы SL2 (R)

не сопряжен в SL2 (R)

своему

обратному

ос- 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

уау'1

= ос- 1

при

некотором у

£ SL 2 (R) . Если

элемент а

эллиптический,

то, как

отме

чалось выше, существует такое преобразование

из

SL 2 (R),

что

тат 1 £ SO(2).

Положим

х а т - 1

Ч~

и тут"

Ь'

Тогда

q Ф О, ибо а эллиптично, и

•Q

Р.

р я

~р

— я

'а Ъ~

с d_ . - Я Р .

р.

с d_

так что

а =

—d,

Ь =

с. Далее,

1 =

del(y) =

—(а2

Ь2),

что

невоз

можно,

так

как

числа а п

b вещественны. Еслп

параболпчпо, то

.'1

ft"

По

тогда

можно

паптп

такое

т,

что

т а г - 1 =

Ч-

'а

Ъ~

"1 h~

— А"

'а Ъ

так что

с =

а — —d

и,

следовательно,

det(v)

—а2 ,

это

опять-таки

невозможно.

Отметим, что любой гиперболический элемент а сопряжен в груп пе SL2 (R) своему обратному а"1 .

§1.3. Топологическое пространство Г\^*

Вэтом параграфе мы будем через Г обозначать произвольную дискретную подгруппу группы SL2 (R) и через .§* — объединение

полуплоскости		и параболических		точек	группы Г.	Множество
SQ* зависит от Г;		разумеется,	£S* =	если в Г нет параболических
элементов.	Очевидно, группа		Г действует на		множестве	,£>*	и, сле
довательно,	имеет	смысл говорить		о факторпрострапстве			Г\.<д*.

В следующем параграфе мы рассмотрим структуру римановой поверх ности на нем. Для этого определим сначала па !Q* топологию. В каче стве фундаментальной системы открытых окрестпостей произвольной точки z £ £i возьмем обычную систему; в качестве фундаментальной системы открытых окрестностей параболической точки s Ф оо возь мем систему множеств

{s} [J {внутренняя часть круга полуплоскости !>д, касающегося вещественной оси в точке s}.

		§ 1.3. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ		ПРОСТРАНСТВО			r\,fr*		27
Если	оо — параболическая		точка,	то	ее	фундаментальная			система
открытых		окрестностей определяется			как совокупность			множеств
{1.3.0)		{ o o } U	{ztiQ	\| I m ( z ) > c }
для	всех	положительных	чисел с. Мы			будем	записывать		(1.3.0)
и в таком		виде: {z £ <g* \| Im(z) >		с} . Легко видеть, что этим опре
делена хаусдорфова топология на				<д* и каждый			элемент	из	Г дей

ствует на jp* как гомеоморфизм. Однако пространство £i* не являет

ся

локально компактным, если не выполнено

равенство

<р.

Для

произвольной

параболической

точки

s ^

оо группы

положим

P(s)

{ее 6 SL 2 (R)

| cc(s)

= s, а =

± 1 2

или а

параболично},

P(s) П Г =

{у € Г

| Y(S) =

(см.

предложение

1.17).

Окрестности точки s приведеииого выше типа инвариантны относи

тельно	группы	P{s).
Для	изучения	строения		пространства Т\!д* предположим, что
оо — параболическая точка				группы Г. Нам понадобится формула
(1.3.1)		Im(a(z))	=	del(cc) -Im(z)/\| cz + d \|2,
				'a b~
		a	=	с d 6 G L , (R),

доказанная в § 1.2. Для каждой матрицы о £ Г обозначим через

нижний левый элемент в ней. Тогда Гсо.= {о £ Г | с а = 0} . Согласно предложению 1.17, можно найти в группе Г со образующую

1 /Г.

вида

по

модулю

± 1 2 .

ЛЕММА

1.23.

Число

| са

I зависит

только от

двойного

смежного

класса Гс«сТ ОС.

Это можно проверить простым вычислением.

ЛЕММА 1.24. Для каждого М >

0 существует лишь

конечное число

таких двойных

смежных классов ГоооГос, что а £ Г и

\ са

\ ^

М.

Д о к а з а т е л ь с

т в о. Так

как

Г » =

(с? 6 Г | са

0},

доста

точно

рассмотреть

лишь те элементы

о, для

которых

са

Возь-

мем

ооразующую

группы

1 <»,

определенную по

модулю ± 1 2 . Пусть а

6 Г и 0 Ф | с | < М .

Мы собираемся искать такой элемент о" в классе ГсоОГ.», для которого точка о" (г) содержится в некотором компактном множестве К, зависящем только от М и от h. Прежде всего мы можем найти такое целое число п, что 1 ^ d -f- nhc ^ 1 - j - | he |. Положим о' =

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

. Тогда

| с'

| с | п

| d' | == d -•- nhc.

Согла

с'

(1.3.1) ,

справедливо

равенство

Im(a'(i))

c , 2 ^ f , „ , .

Имеем

1 ^

| d'

К 1 +

| lie

| и

| с

М;

следовательно,

1 <

с'2

d ' 2

М 2 +

(1 +

| h | М)г.

Поэтому

точка

a'(i') принадлежит

области

(1.3.2)

l > I m ( z ) >

Далее,

преобразование z

ь-> т т (z) =

г +

mh не мепяет числа

Im(z).

Мы можем найти такое т, чтобы точка т"'а'(г) удовлетворяла

условию

(1.3.2)

при

этом

(1.3.3)

0 <

Re(z)

| h |.

Условия (1.3.2) н (1.3.3) определяют некоторое компактное множе

ство	К в полуплоскости	Тем самым мы нашли такой элемент
а" =	т'"ат", что o"(i) £ К.	Согласно предложению 1.6, существует

лишь конечное число таких элементов а" в Г. Это доказывает лемму. ЛЕММА 1.25. Существует положительное число г, зависящее только

от Г, для которого		\| са	\| ^	?• при	всех a £ Г — Г » . Кроме того,						дл
любого	такого числа г		выполняется		соотношение				Im(z) •Im(o'(z))		^
^ 1/г2	при любой	точке z £ Q и любом					преобразовании			о £ Г — Г » .
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Существование				числа		немедленно
следует	из леммы	1.24.		"о		6"			то
			Если с			d	п с Ф О,
				с
	Im(o(z)) =			Im(z)-\| cz+			d \~2	<
			sC Im(z)-(c-Im(z))-2					<
			<	r - 2 Im(z) - 1 ,

что и требовалось доказать.

ЛЕММА 1.26.		Для каждой	параболической точки s группы		Г суще
ствует такая		окрестность	U этой точки в пространстве		$\*, что
Г 8 =	{ о б Г \o(U) [\11Ф		0).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Можно считать, что	s — оо.	Пусть
		£ / = { z e < e * \| I m ( z ) > i } ,
где число 7- взято из леммы 1.25. Если a ^ Г — Г »				и z £ £/, то, соглас
но лемме 1.25,		Im(a(z)) < ilr. Таким образом, окрестность			U обла
дает	требуемым	свойством.

Отметим, что две точки построенного множества U эквивалентны относительно группы Г, только если они эквивалентны относительно Ts; следовательно, факторпространство TS\U может быть отожде-

§ 1.3. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО г\<0*

ствлено с некоторым подмножеством в Г\,<§*; кроме того, множество U не содержит ни одной эллиптической относительно Г точки.

ЛЕММА 1.27. Для каждой параболической тонкие группы Г и для каждого компактного подмножества К полуплоскости Q существует такая окрестность U точки s, что U (~| у{К) = 0 для любого у £ Г.


Д о к а з а т е л ь с т в о .				Предположим опять, что s = оо. Мож
но найти два таких положительных						числа А и Б, что А •< Im(z) <
<С В для всех	z £ К.	Выберем число				г в соответствии	с леммой 1.25
и положим	U =	{z	6 £ *	\| Im(z) > m a x ( 5 , 1//1г2 )}.

Пусть z £ К.	Согласно		лемме		1.25,	при о £ Г — Г »	выполняется
неравенство Im(o(z)) <			1/Лг2 .		Если	о £ Г » , то Im(o(z)) = Im(z) <

<5 . Таким образом, окрестность £7 обладает требуемым свойством.


Рассмотрим	теперь		фактортопологшо			на	Г\§: , : ,		определенную
в § 1.1. Именно, возьмем
	{X а	Г\£>*		I к~\Х)	открыто в			§ * }
в качестве класса всех открытых множеств								пространства			Г\.<р*
(здесь л — естественное			проектирование			пространства			<g* в Г\.<д*).
Если U имеет тот же смысл, что и в лемме 1.26							(и ее доказательстве),
то множество	n(U)	может		быть	отождествлено			с TS\U,		и,	таким
образом, оно	станет	окрестностью			точки	n(s).
ТЕОРЕМА 1.28. Факторпростра нство Г\.§*							с	определенной			выше
топологией является		хаусдорфовым.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Согласно предложению					1.8,	фактор-

пространство Г\.£) хаусдорфово. Так как Г\^§* представляет собой объединение пространства Г\,СЗ и классов эквивалентности пара болических точек, остается показать, что произвольный класс экви валентности параболических точек может быть отделен от любого класса эквивалентности точек из ^ и от любого другого класса эквивалентности параболических точек. Лемма 1.27 позволяет дока зать отделимость в первом из перечисленных случаев.

Теперь рассмотрим две параболические точки s и t, пе являю щиеся Г-эквпвалентпыми. Не нарушая общности, мы можем считать,

					Г1	hi
что t	= оо. Пусть	Гоо и ±			Q ^ те же, что выше. Определим следую
щим	образом три	множества				L , К	и	V:
		L	=	{z б С \| Im(z) =				и},
		К	=	{z € L		\| 0 <	Re(z) < \| h \|},
		V	=	{z	6	I Im(z) >		и},

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно