Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 9.2. ФУКСОВЫ ГРУППЫ

303

1 — > FCGX+^GA*

Л A u t (%IF) -> 1

( 1 ) S =

{х 6 GA+

| h4x)

=

h

для

всех

h е

g s }>]

т - е -

=

= G a l ( g / g s ) .

для

всех

х

S).

(2) г Ь =

{ h 6 2? I

= h

6

ТЕОРЕМА

9 . 1 0 . Пусть

К,

q и w те же,

что

в утверждении

( 4 )

теоремы 9 . 6 . Тогда

для каждой функции

h £

определенной

и конеч­

ной в точке w, значение h(w)

принадлежит

полю

КаЬ

и

h(w)lu-

к ] =

/гт ( 9 ( и ) _ 1 ) (и;)

для каждого

и £ КА.

ТЕОРЕМА

9 . 1 0 следует

непосредственно

из утверждения

(4)

тео­

ремы 9 . 6 .

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

9 . 9 . Тот факт, что /г.т(ж)

=

предположим,

что х(х)

=

i d на

% s . Согласно

свойству (ii) из

пред­

ложения 9 . 8 , х(х) =

i d на ks.

В силу упомянутого выше обобщения

леммы

6 . 1 7 х

=

sa

для некоторых

s £ G и а

£ GQ+. В этой

ситуации

для

каждого

/

£

K s ( V S )

f о cps = (/ о cps )T ( s < x )

= / о / S T ( s a ) о ф г = / о / S T ( a ) о ф г

,

где

Г

=

oc^iSa,

так

что

ф 8 =

/ s r ( a )

о ф г и,

следовательно,

tysi2) =

= cps(cc(z)) для всех z 6

Поэтому a

6 T s , так что х £ S. Этим дока­

зывается

первое

равенство

в

( 1 ) . Из сказанного вытекает,

что

Кег(т) =

П S =

FCG~+.

s=x

Повторяя

теперь доказательство

теоремы 6 . 2 3 , мы получаем

сюръек-

тивность

и непрерывность

отображения

т. Если

В Ф M 2 ( Q ) ,

то мы

можем обойтись без исследования параболических

точек. Равенство

(2) следует из ( 1 ) и

предложения 6 . 1 1 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

9 . 1 1 . (i)

Пусть

Gc

—

замыкание

группы

C7Q+ G00+.

в GA-

Тогда

Gc

=

F°GQ+Ga

=

{х

е

GA*

I v(x)

(E

FC}.

(ii)

Для

каждой

группы

S £ 2

пересечение

Gc f) S

является

замыканием

группы

Г8<?со+ в

GA.

(iii)

x(Gc

П S) =

{a

€ АиЩ/F)

| a =

i d

ка

F a b - g s }

=

=

Gsiffl

Fab-%8).

Для

доказательства

нам нужна

304

ГЛ.

9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ

ГРУППЫ

ЛЕММА

9.12. Пусть

Е+

— группа

вполне

положительных

единиц

поля F,

Е0

— проекция

группы

Е+

на

неархимедову

часть

группы

FA и Е0

— замыкание

проекции

Е0 в FA

• Для

произвольного

положи­

тельного целого числа п

положим

Ё™ =

{хп

\х£Ё0},

Fcln)

=

{хп | х

е Fc}.

Тогда

F°

= E0FxFxa>+,

Ё0 = Е0Ё<0Ю

и

Fc

=

FXFC™

для

каждого

положительного

целого

числа

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

{Um}m=i

— семейство

компакт­

медовой части группы FA-

Пусть х 6 F°. Тогда для каждого т суще­

ствует

такой элемент

ут

группы

Fx,

что

утХ £ UmFl,+-

Положим

« т =

У?Ут-

При этом ет

£ Е+ и e'ly^x

6 UmFl,+.

Поэтому

пеархи-

медова

часть элемента у~хх принадлежит группе

Е0.

Это

говорит

о том,

что

F° с

E0F*Ft>+-

Так

как обратное включение

очевидно,

первое пз требуемых утверждений получено.

Далее,

так

как

группа {хп

| х 6 Е0}

имеет

конечный

индекс

в Е0,

то [Е0Е™

: Е[п)

] < . оо. Очевидно также, что

группа

Е™

зам­

кнута,

так как она' является образом компактного множества

Е0

при

непрерывном отображении

х t—*- хп.

Поэтому

группа

Е0Е™

легко получается из первых двух.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

9.11. Так

как

F* cz GQ+, ТО F C CZ G C . Сильная аппроксимационная теорема,

упо­

рует включение GA CZ 6?Q+ U ДЛЯ произвольной

открытой

подгруппы

U

группы

G A , так

что

GA CZ G C . Поэтому

FeG^Gl

cz Gc

cz

{x

6 GAB \ v(x)

£

Fc}.

Пусть

x 6 GA+

и

v (x) £ F°.

Согласно

лемме

9.12, v (x)

=

ab2

при

a

£ F*

и b £ Fc.

Очевидно,

элемент а

вполне

положителен. В силу

теоремы о норме в теории простых алгебр

(см., например, А. Вейль

[10,

стр. 206,

предложение

3])

а = v(a)

для

некоторого

а £ В* =

= GQ. Тогда

v(b - 1 a - 1 x)

= 1, так

что

х =

Ьа-(а^Ь^х)

£ F°GQ+G2

;

этим доказано

(i).

Далее, пусть

S £ %.

Для каждой открытой подгруппы U группы

GA+

имеем

GCCZGQ+U.

Поэтому,

если

UczS,

то

Сс П

5 с

cz (GQ+ П S)-U

=

TSU,

так

что

пересечение

Gc

{]

S

содержится

в

Г5 Ссо+. Так

как обратное включение очевидно, мы получаем (ii) .

В

силу

утверждения

(i)

Gc =

{х

6 GA+ I cr(x) =

1}.

Вместе

с

равенством

(1)

теоремы 9.9 это

доказывает ( i i i ) .

ПРИМЕР 9.13. Пусть

т равно

7, 9

или

И , и

пусть

F = Fm

=

=

Q(£ +

С- 1 )

П Р И

£ =

e2ni>m.

Тогда

[F

: Q]

равно

соответственно

306

ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

классов поля К,

то существует ровно h точек Wi, . . .,

wh

по

модулю

Гд-эквивалентности, представляющих неподвпжные

точки

группы

q{Kx)

для всех

упомянутых

q, подчиненных включению

q{Qic) cz о.

Из

утверждения

(4) теоремы

9.6 мы получаем, что

точка группы q(Kx)

и

а = ( к(ч№))/к j _ Тогда из теоремы

9.10

или утверждения (4) теоремы 9.6 следует, что

(9.2.11)

<р(ы;)» = ф(а - х (2)) .

Заметим, что утверждения

(9.2.10) и (9.2.11) аналогичны теореме

5.5

{ф(н>1),

• •

ф(и'л)} — полное множество

элементов, сопряженных

с q>(u>i), не

только

над К,

но и над F. Таким образом,

ф — аналог

модулярной

функции

Условие

(9.2.9)

соответствует

условию

/(0

= 1,

j(e2ni/s)

=

0,

Доо) = оо.

Наконец, заметим, что в случае

т =

7 группа Ts/Fx

является

фуксовой группой

с наименьшей

мерой

фундаментальной

области,

о чем говорилось в конце § 2.5.

К

сожалению,

доказательство

теоремы 9.6 слишком

велико

и результаты, на

которые даются

ссылкп

в

тексте.

1. Зафиксируем

универсальную

область

Q,

являющуюся алгеб­

подразумеваем, если нет специальных оговорок, какое-либо

подполе

в Q, пад которым Q имеет бесконечную степень трансцендентности.

Если к — некоторое

поле

и х

= (xlt

. . ., хп) — множество

элемен­

тов пз Q, то через к(х) =

k(xi,

. . .,

хп) обозначается поле,

порож­

денное элементами xL,

. . .,

хп

над к;

это поле также является полем

Рассмотрим

аффинное пространство ЭДП и проективное

простран­

ство

^ п

над Q размерности

п с фиксированной системой

координат.

Пусть

а =

( а ь

. . .,

ап)

и

Ъ =

(Ь ь

. . .,

Ъп) — точки из

% п .

Точку

b называют

специализацией

точки

а

над

полем

к,

если

F(bi, . . .

. . .,

bn) —

0 для любого

многочлена F(Xi,

. . .,

Хп)

с коэффициен­

тами из к, для которого

F(au

. . .,

ап)

=

0. Далее, через

[а-*-

Ь; к]

обозначается кольцо всех элементов вида P(a)/Q(a),

где

Р и Q —

многочлены с коэффициентами из к, причем 0(b)

Ф

0. Для произволь­

ной

точки

х

=

(х0, Xi, . . .,

хп)

пространства

tyn

обозначают

через

ах(х)

точку (xjxx,

xjxx,

• • .,

xjxy)

пространства

s 2 I n + i i если

только

х% Ф

0.

Для

х £ $ п

и

у g '# п

точка

у называется

специализацией

точки х над к, если существует

такой индекс "К, что

хх Ф

0, у%ф 0

и ах(у)

— специализация

точки

ах(х)

над

к.

Более

общо, положим

1 = ф П 1

X . . . X %пг

X 2 I M I

X . . , X S t „ , s ,