Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

ДОПОЛНЕНИЕ

309

и пусть

х

= (я( 1 ) ,

. . .,

xir+S))

и у

=

,

. . .,

/ / r + S ) )

—

точки про­

странства

ЭЕ, где

и г/( |)

—

точки в 2|jni

или в 2 t m i _ r

в зависимости

от того,

i ^

г или

i >

г.

Тогда точка у называется

специализацией

тонких

над

к,

если

у' =

(aX l (j/( 1 >),

. . .,

ax ,.(z/< r ) ),

/ / r + 1 \

. . .,

i / ( r

+ S ) ) —

специализация

точки

х' =

(а^Да;*1'),

• • •, «я,г(^<г>)>

£ ( Г + 1 \

• • •

. . .,

x{T+S))

над к при

некоторых

л.ь

. . .,

Я,г- Положим

[ж->-

у;

к] =

[х'

->-

I / ' ; /с],

поскольку

это

кольцо не

зависит от выбора Ки

. . .,

Кг. Через к(х)

обозначается поле /c(a,4 l (.z( 1 ) ),

• • •> ^ . Д ^ ' 0 ) ,

я ( Г + 1 > ,

• •v l

£ < r + S ) ) -

2. Множество У точек пространства

3!

называется

многообразием

(или

алгебраическим

многообразием),

если

существуют

такое

поле /с

и такая

точка

х на 9?,

что

(i)

У — множество

всех

специализаций

точки х

над

полем

к;

(ii) к(х)

— регулярное

расширение

поля

к.

рилось, то мы пользуемся следующей терминологией:

многообразие

У определено

(или рационально)

над к; поле к называется полем

опре­

деления

(или полем рациональности)

многообразия У;

точка х

назы­

вается

общей

точкой

многообразия

V над

полем

к;

многообразие У

называется геометрическим

местом

точки х

над

полем

к.

Степень

трансцендентности расширения к(х) поля к однозначно

определяется

многообразием У и называется размерностью

многообразия

У. Мно­

гообразие, содержащееся в У, называется подмногообразием

мно­

гообразия У. Точка

на

У

является

нульмерным

подмногообразием

в У, и обратно. Подмногообразие пространства

s 3 n

(соответственно

пространства

называется

аффинным

(соответственно

проектив­

ным) многообразием.

Мы

говорим,

что проективное

многообразие У

определяется

уравнениями

Ft(Xо,

• • •, Хп)

=

0

(i =

1,

. . .,

t),

если

эти многочлены порождают

над кольцом Q [ Z 0 ,

. . .,

Хп]

идеал

всех

многочленов,

обращающихся в нуль на

У.

3. Если заданы два многообразия

У и ТУ, то

можно найти общее

ческим местом точки (х,

у)

над к и, значит, многообразием. Подмно­

гообразие Т в У X W

называется

рациональным

отображением

из У в ТУ, определенным

над к,

если

к(и, v) = к(и),

где (и, v) —

общая точка многообразия

Т над к,

а и — общая точка многообразия

У над к. Мы говорим, что

Т определено

в точке а многообразия

У,

если существует точка Ъ многообразия

ТУ, для которой

(a, b) £ Т,

и

[ у - > •

Ъ; k]<zz [и-*-

а; к].

310

ДОПОЛНЕНИЕ

Точка

Ъ определена при

этом условии

точкой

а однозначно, так что

мы полагаем

b = Т(а).

В

частности,

всегда

Т(и) = v. Если S —

рациональное

отображение

нз W в

многообразие X, определенное

над к,

п если

S определено

в точке

и, то через

S о Т обозначают гео­

метрическое

место

точки

(и, S(v))

над к, которое

является

рацио­

нальным отображением из V в X.

Отображение Т

называется

мор-

физмом, если оно всюду определено на V. Отображение Т называется

бирациональным,

если к(и)

= k(v)

и v — общая точка

многообразия

W над полем к. В

таком

случае через Т~г

обозначается

геометриче­

ское место точки (v,

и)

над к, являющееся

рациональным

отображе­

нием из W в

V. Многообразие V называется бирационалъно

эквива­

лентным

многообразию

W над

к,

если существует

бирациональное

отображение

жз V

в W,

определенное

над

к. Отображение

Т

назы­

вается (бирегулярным)

изоморфизмом,

еслп оно бирациональио

и оба

отображения

Г

и

Г - 1 являются морфизмами.

4. Рациональное отображение многообразия V в аффинное 1-мер­

ное пространство

214 называется функцией

(или мероморфной

функ­

цией)

на

V.

Все

функции

на

V

образуют

поле,

ие

содержащееся

в Q,

если

V

не

нульмерно;

это

поле

обозначается

через

Q{V).

Все

гообразия

V,

образуют

подполе в

Q(V),

обозначаемое

через k(V).

Поля k(V)

и Q линейно разделены над к и Q(V)

= Q -k{V).

Для общей

точки

х многообразия V

над полем

к

отображение

/ н-> f(x)

опреде­

ляет

изоморфизм

из

k(V)

на

к(х).

5. Если V — геометрическое место точки х

над полем к и а 6 V,

то точка а называется простой

точкой многообразия

V или

простой

точкой на V, еслп существует

бирациональное отображение Т из V

в подмногообразие

W пространства 21 „ ,

удовлетворяющее

следую­

щим условиям:

(i) Т определено в а

и

Т'1

определено

в

Т(а);

(ii) если b =

Т{а),

у

=

Т(х) и г

=

dim(F),

то существует п — г

многочленов

Ft(Xi,

. . .,

Хп)

(i. =

1,

. . .,

п — /•) с

коэффициентами

из к,

для

которых

Ft(y)

=

0

(£ =

1,

. . .,

п — г) и

ДОПОЛНЕНИЕ

311

многообразия V над полем к. Тогда изоморфизм а можно продолжить

до некоторого изоморфизма т поля к(х) в поле Q. Положим х' =

хх.

и Wa и

заметить, что Та — рациональное

отображение многообра­

зия Ус т

в многообразие Wa. В частности,

если / 6 k(V),

то f —

функция на Va.

Если Т определено в точке а многообразия

V, рацио­

нальной

над к,

то Та определено в точке

аа и T(af =

Та(аа).

ние

/ g из V в Wp,

характеризующееся

следующим свойством:

(6.1)

/° =

f о J t для каждого

f £k(W).

Чтобы это показать, определим изоморфизм т

из к(у) в к(х) равенством

f(y)x = f*(x) при / 6 k(W)

для того,

чтобы

диаграмма

tek(W)

— U

k(v)Bg

была

коммутативной. Так

как ух — общая

точка на Wp

над к

и

к(ух) — к(х),

мы

получаем

бирациональное

отображение

/ g из

V

в

Wp,

определенное над к,

для которого Ji(x)

= ух. Но тогда fi(x) =

=

f(y)x

= f(yx)

=

f i M x ) )

' откуда следует

(6.1).

(6.2)

/ „ 6

= / $ o / g .

7.

Предположим,

что

характеристика

универсальной

области

Q равна р >

0

и q = р",

где

е — целое число. Тогда отображение

а н-»- aq

является автоморфизмом поля Q. Обозначим через V4

резуль­

тат преобразования многообразия V посредством этого автомор­

физма.

(Обычно

не

возникает

желания принять многообразие Vq

за произведение

q экземпляров

многообразия

V.)

Если е >

0 и V —

геометрическое

место

точки

х над к, то можно

определить

морфизм