Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Согласно формуле 1.4(10), коэффициенты sk при рк в многочле­ нах L k удовлетворяют соотношению

Следовательно,

s0 = 1 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ 2 » ( 2 " - ' - 1 )

 

 

 

 

 

 

при

k ^

1.

 

 

S K

 

Щ

І — B K

 

 

 

 

 

(")

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следующая

лемма показывает,

что при значениях

переменных

р2 =

I

1, удовлетворяющих

соотношению

 

 

 

 

 

 

 

1 + р і г + р2 г2 +

. . . +P*zf t

= (l+z)2 f t + 1 (modz*+'),

многочлен Lk(ph

 

рА ) принимает

значение

1.

 

 

 

Л е м м а

1.5.1.

Пусть Q(z) = —77==-.

Для

любого

k

коэффи-

 

 

 

 

 

 

 

 

thy

г

 

 

 

 

 

 

циент Jk

при

zk

в

степенном ряде

(Q(z))2 f c + 1

равен

1,

и

степенной

ряд

Q{z) является

единственным

степенным

рядом

с

 

рациональ­

ными

коэффициентами,

обладающим

 

этим

свойством.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По интегральной

формуле

Коши

2ni

 

f t ]

d z -

Полагая t = th ]/z, получаем

 

 

 

J ^ U dt_

 

2ni J (I-12)

t2k+

 

В обоих случаях интегралы берутся по малым окружностям с центрами в начале координат в соответствующих плоскостях z и t. Заметим, что при подстановке t = thYz однократному об­ ходу окружности в плоскости t соответствует двукратный обход окружности в плоскости Z.

Единственность степенного ряда Q(z) немедленно вытекает из возможности последовательно вычислить все его коэффициенты, исходя из равенств Д = 1.

Следующая лемма в этой книге не используется, хотя она и играет важную роль в приложениях многочленов L k к когомологи­

ческим операциям. Ее доказательство можно

найти у

А т ь и и

Х и р ц е б р у х а [4].

 

 

Л е м м а

1.5.2. Многочлен L k единственным

образом

представ-

ляется в виде

дроби, числителем которой служит многочлен с вза~

имно простыми

целыми коэффициентами,

а

знаменателем

— по­

ложительное

целое число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И ( £ * ) = П

« 7 ^ 1

 

 

 

 

 

где произведение

распространено

на

все нечетные

простые q,

 

удов­

летворяющие

условию 3 ^

q ^

2k -f- 1 -

 

 

 

 

 

1.6. Мультипликативную

последовательность,

отвечающую

сте-

пенному ряду

Q (г) =

2

Vz

 

 

 

 

обозначать

через

 

- 7 = - , мы будем

 

 

 

sh 2V

г

 

 

 

 

 

 

 

{Ak(pu

ph)}. С помощью

леммы

1.4.1

без труда находим,

что

Аз =

з3 ~5^7 ( 1 6 ^ з ~ 44P2Pi

+ 3 1 Р | >

З а м е ч а н и е .

Согласно А т ь е и

Х и р ц е б р у х у [2], много­

член Ak единственным образом представляется в виде дроби, чис­ лителем которой является многочлен с взаимно простыми целыми

коэффициентами, а знаменателем — число -^щ-, где

a(k)—число

единиц в двоичном представлении

числа k.

 

 

1.7. Следующие два примера

мультипликативных

последова­

тельностей нам будет удобно записывать в (cit х,

yt)-обозначениях

(см.

1.3.). Пусть сначала кольцом

коэффициентов В по-прежнему

служит поле рациональных чисел Q. Рассмотрим

мультиплика­

тивную последовательность {Ти(с\,

ch)}, отвечающую степен­

ному

ряду

 

 

 

Члены Tf t этой последовательности мы будем называть многочле­ нами Тодда. Для их вычисления можно воспользоваться соотно­ шением

 

 

 

 

1

 

 

 

 

X

/1

\

тг х

 

 

 

2

 

 

 

 

= ехр 1-х

 

 

 

 

(где

ехра = е а ) , из которого

с помощью

леммы

1.3.1,

аналога

формулы (6 т ) для переменных

си

х,

у{

и соотношения

(7) без

труда

получаем, что

 

 

 

 

 

 

 

7 * ( с „ ^ ^ S ^ r l i с ' і ) Г а * ( Р і '

P t ) '

( 1 2 )

где суммирование распространено на все неотрицательные целые числа г и s, удовлетворяющие соотношению r-\-2s = k. В част­ ности,

Т2 = ^(с2 + с^,

Т— 1

Г 4

=

W

( -

С 4 +

С 3 С . +

З С 1 + 4 С 2 С ?

-

С1)>

 

Г 5

=

1Ш

( _

С 4С 1

+ С 3С 1

+

З С 2 С 1

-

С2<1)'

 

Г 6

=Ш80І2С6

~

2С5С1

~

9 С 4 С 2

~ 5

С 4 С

?

~

С 3 + 1 І С 3 С 2 С , +

 

 

 

 

 

 

 

 

+

5с3с\

+

10с3, + 1 Ц с 2 - \2с2с\ + 2с«)

(ср. Т о д д [1]).

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и я . 1) Из формулы (12) следует, что при нечетных k многочлен Th делится на С\.

2) Применив к мультипликативной последовательности {Th}

формулу

1.4(10),

мы немедленно

получим,

что в многочлене Тод-

да Th коэффициенты при ck и

 

 

совпадают. Как легко

показать,

последовательность

{7\} является

единственной

мультипликативной

последовательностью

с Г 1

= у С і ,

обладающей

этим

свойством.

Следующая

лемма

показывает,

что при значениях переменных

d = I .

I , удовлетворяющих

соотношению

 

 

 

 

 

 

1 +

схх + ...

+ спхп

=

(1 + xf+t

(mod *»+>),

 

 

многочлен Тп(си

 

 

 

сп)

принимает значение 1.

 

 

 

Л е м м а

1.7.1. Пусть

Q(x) =

 

х _х .

Тогда для

любого k

коэффициент

при

xh

в

степенном

 

ряде

 

(Q(x))h+1

равен

1,

и сте­

пенной ряд

Q(x)

является

единственным

степенным

рядом

с ра­

циональными

коэффициентами,

обладающим

этим

свойством.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Достаточно

применить

интегральную

формулу

Коши

(ср. с доказательством

леммы

1.5.1).

 

 

 

Аналогично

доказывается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

1.7.2.

При

значениях

переменных

cit

определяемых

соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

••• +

cft** =

(l -\-xf{\-х)

 

 

( m o d x ^ 1 ) ,

 

все многочлены

Th,

k ^

1, обращаются

в

нуль.

 

 

 

 

Имеет место также следующее утверждение, аналогичное лем­

ме 1.5.2

(см. А т ь я

и Х и р ц е б р у х [4]).

 

 

 

Л е м м а

1.7.3. Многочлен Tk

единственным образом

представ­

ляется

в

виде дроби,

числителем

которой

служит многочлен

с вза­

имно

простыми

целыми коэффициентами,

а знаменателем

—

поло­

жительное

целое

число

 

 

 

 

где произведение распространено на все простые числа q, удовле­ творяющие соотношению 2sSiq^k-\-\. Кроме того, \х.(Т2и+\) —

= 2ц(Г2 ^) = 22 A +V(^fe) (см. лемму 1.5.2).

1.8. Пусть теперь кольцом коэффициентов В является кольцо Q[y] многочленов от одной переменной у с рациональными коэф­

фициентами.

Рассмотрим, мультипликативную

последовательность

Tj(y;

си

...,

 

Cj),

соответствующую

степенному

ряду

 

 

 

 

 

 

 

V

VIA х)

|

_

 

е _ * ( г

Ж

)

ух

—

е%

( у + 1 )

_

j

ї -

 

 

 

Следующее

 

обобщение

леммы

1.7.1

показывает,

что

при

с, —

In Л- \\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= і

.

I

имеет

место

равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тп(у;

с,,

 

с „ ) = 1

- у

+

у 2

- ...

 

 

+(-\)пуп.

 

 

Л е м м а

 

1.8.1. Для

 

любого

п

коэффициент

при

хп

в

степенном

ряде

(Q (у; х))и+>

равен

 

п

 

 

 

 

ряд Q(y;x)

является

єдин­

 

2 ( — и

 

 

ственным

степенным

 

 

ій

с

коэффициентами

 

в

кольце

Q[y], об­

рядом

 

ладающим

 

этим

свойством.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многочлен Тп(у\с\,...

 

,сп)

 

можно

единственным образом

запи­

сать

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тп{У'

cv

 

 

с ») = 2 ) 7 ' я ( с і '

•••>

 

СП)УР-

 

 

 

Покажем, что многочлены Трп(с{,

 

сп )

удовлетворяют

соотно­

шению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K{cv

•••>

оп)={-\ТГ-р{сх,

 

 

 

 

сп).

 

 

(13)

Действительно,

Q{^\

yx^j — Q(y;

— х)

и

потому

 

 

 

 

 

 

 

 

ynTn(j;

 

Си

 

сп)

=

(-1)пТп(у;

си

 

 

сп).

 

 

Далее,

 

рассмотрим

 

формальное

разложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + с ^ + . . .

 

+сахя

=

й(1+у1х),

 

 

 

 

(14)

где х — независимая переменная. Имеет место формула

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

. (15)

 

 

 

S e x p ( - V / i -

-

~

Т /

р )J'=lП 1 -

е х р ( - v , )

 

 

 

 

где суммирование

распространено

на

все уп J комбинаций

р по­

парно различных

корней yh

а символ

кп

обозначает сумму

всех

однородных

(по yi) членов

степени

п

в выражении в [

]. Ввиду

тождества

(14) эта сумма

является многочленом

веса л

от пере­

менных

с{.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

доказательства формулы

(15) обозначим

временно

ее пра­

вую часть через Тп- Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

р = 0

 

П

< • + » e x p ( - v t ) ) t - e x p ' t - v , ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

(1 + # ехр(— (1 +

у) V/))

0 + # ) Y *

 

 

 

 

 

1 + 0

 

 

 

1 - е х р ( - ( 1 + y ) Y j )

 

"1 п

= И - П > ( ^ )

 

 

• £=1

 

-1

 

р= 0

 

 

 

и

все доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим в

заключение,

что Q(0; х)

 

Q(-l;x):

 

 

 

X

 

 

 

 

1 - е - *

=

1 +Х И Q ( l , *) =

Следовательно

(см. 1.5

и лемму 1.3.1),

th jc

 

 

сп)==тп(сі>

•••> с п )

(многочлен

Тодда),

 

 

р =0

 

 

 

 

 

 

 

 

S n ^ ( c „

. . . . cn) = Ln(clt

. . . . с„),

(16)

т.

е.

р=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 0,

если

п нечетно,

 

 

 

 

 

 

 

р=0

• • •' с п ) — { Lk(pu

...,

p k

) , если

n=2k.

1.9. Многочлены Тодда по существу совпадают с многочленами Бернулли высшего порядка в смысле Нёрлунда (см. Н ё р л у н д [1], стр. 143). Действительно, согласно Нёрлун-ду, многочлены Бер­ нулли определяются тождеством

Й ^ р т = £ ^ fil"(v. v.).

t=l

x ' '

/=«0

Смотрите также файлы