Файл: Фудим Е.В. Пневматическая вычислительная техника. Теория устройств и элементов.pdf

§ 2] Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е ОСНОВЫ ТЕОРИИ Ц Е П Е Й 47

отдельности.

Таким образом, сложная многовходовая цепь сводится к ряду более простых одновходовых цепей и для определе­ ния выхода сложной многовходовой линейной цепи дос­ таточно знать передаточные функции одновходовых цепей.

Важное применение принципа суперпозиции — на­ хождение выхода цепи при сложном воздействии за счет

и для нахождения оригинала Pi достаточно найти ориги­

расчета двух типов — анализа и синтеза. К первому типу относятся задачи определения токов, напряжений (по­ тенциалов) и мощностей по заданной конфигурации цепи и ее элементам.

При синтезе решается обратная задача — отыски­ ваются конфигурация цепи и параметры ее элементов, ко­ торые обеспечивают требуемые (заданные) токи или на­ пряжения.

Анализ цепи производят по схеме замещения или структурной схеме * ) .

В схеме замещения, представленной элементами цепи, каждая линия характеризуется двумя параметрами —

*) Более компактпо, по условнее представление цепей в виде графов, когда изображение элементов опускается и между узлами проводятся Л И Н И И , над которыми проставляется передаточная функция. Схеме замещения соответствует ненаправленный граф, структурной схеме — направленный граф [2, 29, 30, 103].

48 ОСНОВЫ Т Е О Р И И П Н Е В М А Т И Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й [ГЛ. I

линий, а затем составленную систему решить относитель­ но интересующих параметров.

Если цепь задана структурной схемой, то она пред­ ставлена лишь из звеньев с детектирующими свойства­ ми * ) , параметр выходной линии каждого из которых не зависит от подсоединенных к нему звеньев. В такой схе­ ме параметр у каждой линии один, и он полностью определяется выходом одного элемента. Следовательно, виды зависимости между параметрами уже заданы и струк­ турная схема представляет собой составленную и задан­ ную в графическом виде систему уравнений. Поэтому ана­ лиз цепи, представленной в виде структурной схемы, требует только решения системы уравнений, изображен­ ной графически этой схемой.

Очевидно, что для перехода от схемы замещения к структурной схеме надо составить систему уравнений и изобразить ее графически; при определенном навыке структурная схема может быть составлена непосредст­ венно по схеме замещения.

Таким образом, анализ цепей сводится^к составлению системы уравнений и ее решению.

При значительном количестве уравнений обычные аналитические методы решения громоздки. Упрощение расчета может достигаться:

1)составлением системы уравнений по обобщенным параметрам, которых меньше, чем параметров у элемен­ тов |цепи, и поэтому меньше количество неизвестных и уравнений в системе;

2)эквивалентным **) преобразованием участков схе­ мы замещения, приводящим к уменьшению количества неизвестных;

*) Под звеном с детектирующими свойствами понимают звено, имеющее раз и навсегда заданные входную и выходную линии, т. е. направление передачи сигнала, которое обязательно указывается на схеме; некоторый параметр выходной линии, называемый выхо­ дом, однозначно определяется параметром входной линии (входом) и не зависит от других параметров выходной линии, включая нагруз­ ку.'Последнее справедливо по отношению к реальным звеньям лишь для ограниченного диапазона изменения параметров.

**) Эквивалентной называют такую замену, когда токи (напря­ жения) в неподвергавшихся замене участках цепи остаются без из­ менения.

3)эквивалентным преобразованием участков струк­ турной схемы (графа), приводящим к уменьшению коли­ чества неизвестных;

4)решением системы уравнений по ее графу;

5)переходом к другим цепям, по которым искомые параметры рассчитываются проще.

Названные приемы могут применяться в разных со­ четаниях, чем обусловливается ряд возможных способов расчета цепей.

Чтобы описать эти способы расчета, перечислим после­ довательность применяемых при каждом способе приемов, а затем остановимся на самих приемах * ) .

Сп о с о б 1. Составляется система уравнений и решается аналитически.

Сп о с о б 2. Составляется система уравнений, изо­

бражается в виде структурной схемы * * ) , участки кото­ рой многократно преобразуются до получения простей­ шей цепи.

С п о с о б 3. Составляется система уравнений, изо­ бражается в виде графа * * ) , по которому в соответствии с формулой Мэзона находится решение.

I С п о с о б 4. Схема замещения многократно пре­

образуется по участкам до получения простейшей цепи, решение которой тривиально. Затем, путем обратных преобразований, определяются параметры более сложных цепей.

С п о с о б ы 1а, 2а, За. Соответственно способы 1, 2, 3 с предварительным преобразованием схемы замещения.

^ ' С п о с о б 5. Любой иэ вышеупомянутых способов с предварительным переходом к легче рассчитываемой цепи.

С п о с о б 6 для схем, содержащих ряд цепей с пас­ сивными элементами, соединяемых между собой через узлы (элементы) с детектирующими свойствами. Любым из вышеуказанных способов рассчитываются цепи с пас­ сивными элементами, каждая в отдельности относительно

*) Формула Мэзона для направленных графов и формула для ненаправленных графов здесь не будут рассматриваться — см., на­ пример, [29].

**) Заметим, что при некотором навыке структурная схема или направленный граф могут быть легко вычерчены непосредственно по схеме замещения без записи системы уравнений.

50 ОСНОВЫ Т Е О Р И И П Н Е В М А Т И Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й [ГЛ. I

выходов тех элементов с детектирующими свойствами, ко­ торые связывают эти цепи между собой; строится струк­ турная схема и рассчитывается по способу 2.

А. М е т о д ы с о с т а в л е н и я у р а в н е н и й . Применяются три метода составления системы уравне­ ний цепи —метод токов (или напряжений) элементов, метод узловых потенциалов и метод контурных токов.

При двух последних методах цепи рассматриваются относительно более крупных, чем элементы, участков — узлов или контуров.

Метод токов элементов представляет собой метод составления системы уравнений для ветвей цепи па основании законов Кирхгофа. Пусть цепь содержит п узлов и т ветвей.

Первый закон Кирхгофа позволяет получить п — 1 взаимно независимое уравнение. Общее количество неиз­ вестных в цепи равно количеству ветвей т.

Недостающее число т — (п — 1) взаимно независимых уравнений составляется для контуров на основании вто­ рого закона Кирхгофа. Чтобы выбрать набор контуров, которые дадут взаимно независимые уравнепия, достаточ­ но удалением ряда ветвей образовать некоторую цепь, которая содержит все узлы и ни одного контура, п затем по одной вводить удаленные ветви.

Перед составлением уравнений необходимо нанести произвольно направления токов во всех ветвях. Если п результате ток получится отрицательпым, то направле­

ветви) или 0, Aj —суммарное напряжение источников напряжений в jf-м контуре.

52 О С Н О В Ы Т Е О Р И И П Н Е В М А Т И Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й [ Г Л . I

где a( J - — суммарная проводимость ветвей, соединяющих Z-й и /-й узлы и только эти узлы; Рь Pj — напряжения

771=1

их решения методом итераций при наличии в цепи нели-

имеет входящую только в него ветвь. Необходимые урав­ нения получаются в результате подстановки выражений для токов, получаемых из узловых уравнений, в контурные уравнения и исключения токов ветвей, входящих более

*) Как полутать набор таких контуров, описано в методе токов

£лемент,02.