Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

Действительно, пусть, например, «перенесенный» на ион а электрон взаимодействует со спином этого иона фер­ ромагнитно, а «оставшийся» электрон пары также ферро­ магнитно взаимодействует с ионом Ъ. Тогда спин иона а стремится повернуться параллельно спину перенесенного

мощью подобных рассуждений нетрудно прийти к более общему выводу о том, что знак эффективного обмена (между ионами а и Ь), возникающего из-за «переноса» электрона на ион а, противоположен (совпадает) знаку обмена оставшегося на ионе о электрона с ионом Ь, если «перенесенный» электрон ферромагнитным (антиферромагнитным) образом взаимодействует с ионом а.

Описанный механизм обмена через промежуточный немагнитный ион получил наименование суперобмена (или косвенного обмена). Величину соответствующего эф­ фективного обменного интеграла Jffi можно оценить как произведение обменного интеграла J оЬдля взаимодействия неспаренного оставшегося электрона иона о с ионом Ъ на вероятность Wт переноса другого электрона пары с иона о на ион а. Последняя же равна |Fa0|2/(AЕ)2, где АЕ — разность энергий состояний, в одном из которых оба элект­ рона пары находятся на ионе о, а в другом — один из электронов пары перешел на магнитный ион а. Основную роль будет играть переход или переходы (если есть вырож­

где, по сформулированному выше правилу, верхний знак соответствует тому случаю, когда АЕ минимально при па­ раллельной ориентации спинов иона а и перенесенного электрона, а нижний — если АЕ минимально при анти­ параллельной ориентации этих спинов. Однако оценка (2. 72) (и, в частности, определяемое ею правило знака су­ перобмена) на самом деле не учитывает еще одного обмен­ ного эффекта [38], возникающего при переносе электрона с иона о на ион а — взаимодействия оставшейся пары электронов (на ионе о и Ь) с парой, оказавшейся в ре­

71

зультате переноса на ионе а (когда каждая из этих пар имеет суммарный спин, равный единице).

Приведенные выше рассуждения можно проиллюстировать с помощью следующего расчета. Рассмотрим си­ стему, изображенную на рис. 2 . 2 , и будем считать, что имеется лишь два электрона с противоположными спинами во внешней оболочке немагнитного иона о и по одному не­ спаренному электрону во внешних оболочках ионов а и б. Ограничимся рассмотрением лишь процессов, про­ исходящих в системе этих четырех электронов.

Теперь, когда природа обмена ясна, формальные вы­ кладки гораздо удобнее проводить в представлении вто­ ричного квантования [1]. В этой схеме переменными яв­ ляются числа частиц rij в j-ом квантовом состоянии. Если

в понятие квантового состояния / включить и спиновое состояние, то, согласно принципу Паули, iij может при­

нимать значения 0 или 1 (не более одного электрона в кван­ товом состоянии при заданной проекции спина). Волновая функция состояния, в котором имеются электроны в со­ стояниях j\, 7 2,. . ., ік (остальные состояния пусты), обо­ значается как 11 у,, 1 у,,. . ., 1 щ_>.

Состояние, в котором вообще нет частиц (вакуум), обо­ значается символом |(У>.

Вводятся операторы рождения (S+) и уничтожения (&j) частиц в состояниях /, причем at — оператор, эрмитовски сопряженный оператору â. (т. е. матричные эле­

имеет смысл оператора числа частиц в состоянии /.

* На самом деле матрицы операторов âj п St можно выбрать

вещественными, так что â+ представляется матрицей, транспониро­ ванной 5 (см. (2. 76)).

72

Собственные значения оператора iij равны 0 или 1, причем

том того, что в одном состоянии не может быть больше одного электрона).

В дальнейшем будет удобно в индексе j квантового со­ стояния выделять отдельно орбитальное и спиновое кван­ товое число, так что, например, &д+ и & будут операто­

рами уничтожения электрона в орбитальном состоянии q

ниан, в собственных состояниях которого рассматриваемые четыре электрона находятся в локализованных состоя­

ниях ионов о, а и Ъ. V — оператор возмущения, приводя­ щий к переходам электрона между состояниями, локали­ зованными у различных ионов.

Будем рассматривать лишь два типа собственных со­

стояний Ж0.

1. Основное состояние типа \ao2by, в котором два элект­ рона находятся на немагнитном ионе о в одном и том же орбитальном о-состоянии, но с «противоположными» спи­ нами, так что суммарный спин этой пары равен нулю; один электрон находится на магнитном ионе а в некотором a-состоянии, и один электрон — на магнитном ионе Ъ,

внекотором 0 -состоянии.

2.Возбужденные состояния типа \а?оЬу, в которых два электрона находятся на магнитном ионе а (в состоя­

73

ниях а и а'), один электрон на ионе о в о-состоянии и один — на ионе Ъ в 6 -состоянии.

Без учета возмущения V состояния |ао26 )> с различными значениями суммарного спина 5 ионов а и Ъимеют одина­ ковую энергию. Вычисление эффективного обменного ин­ теграла суперобмена сводится (ср. с. (2. 54)) к опреде­ лению энергетического расщепления уровней с S = 0 (Е(0))

и 5 = 1 (Е (1)) вследствие возмущения V.

Оператор взаимодействия V представлен в виде

В формуле (2. 78) Va (Т+) — оператор, вызывающий переходы электрона с иона о на ион а (Ь) в различные со­ стояния а' (Ь') этого иона. Va'0 (F^o) — матричный элемент такого перехода.* Так как сейчас мы интересуемся вкла­

дом от переходов о ->• а, то оператор Ѵь в расчете фигури­ ровать не будет.

Состояние с 5 = 1 трижды вырождено по значению про­ екции спина (5_=0, +1). Удобно сравнивать энергию двух состояний при одном и том же 5 .= О, но при различных 5

иа, ф4, ие ортогональны, так что, строго говоря, вести разложение по этим функциям или, что то же самое, вволить фермиевские опера­ торы âj, $.+■ по отношению к таким состояниям нельзя. Однако

можно считать, что функции ср0, %, ?/, не чисто ионные, а некоторые локализованные функции, составляющие уже ортопормпрованиую систему (например, в твердом теле это были бы функции Ванье [в]).

74