Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

В Приложении 3 показано, что в представлении вто­ ричного квантования оператор S2 имеет вид

чФч'

где S. — оператор проекции суммарного спина на ось z,

а $ 1 — оператор числа орбитальных состояний, в которых находится по одному электрону (т. е. числа неспаренных электронов на орбитах). Из выражения (2. 80) видно, между прочим, что в суммарный спин не дают вклада спа­ ренные электроны, т. е. пары электронов с противополож­ ными спинами в одном и том же орбитальном состоянии.

Действительно, в S, (и ІѴД такие электроны, очевидно, не вносят вклада; последний же член в (2. 80) «перевора­ чивает» спин лишь одного из электронов пары (q^q'), но если состояние с перевернутым спином уже занято, то такой процесс невозможен. Поэтому при определении коэффициентов и я ѵ можно не учитывать в соотношении (2. 79) спаренных электронов, находящихся на немагнит­ ном ионе, и рассматривать функцию вида

V8= “Ч+Ч- 1 о> + ™+а-Ч+ 10> (М* + М* = і ). (2.81)

При действии на такую функцию в выражении (2. 80) ІУХ=2, Se= 0; каждое из слагаемых последнего члена в (2. 80) уничтожает электрон со спином «вниз» в состоя­

Подставляя сюда ^fs в виде (2. 81) и используя (2. 73), (2. 77), (2. 76), получим и = —ѵ при S = 0 и и=ѵ при 5 = 1.

Поэтому из выражения (2. 79) получаем*

* Можно было бы «угадать» выражение (2. 84) для состояния с 5 = 1 , так как при этом оба электрона не могут быть в одном со­ стоянии. Поэтому (2. 84) обращается в нуль, если состояния о и Ъ совпадают (а—Ь). После этого (2. 83) для 5 = 0 следовало бы из того, что функция с 5 = 0 должна быть ортогональна к функции (2. 84)

с 5 = 1 .

75

Теперь рассмотрим возбужденные состояния |а2оД>. Два электрона, находящиеся на ионе а, могут иметь сум­ марный спин S w , равный 0 или 1. Оставшаяся пара элек­ тронов (один на ионе о и один на ионе Ь) также могут иметь

суммарный спин 5 (о4), равный 0 или 1. Энергии этих со­

стояний е (S(a), S iob)) отличаются между собой. Зависимость е от S itt) обусловлена внутриатомным обменом, так что

Is (1, S i0i))—e (о, #Scob’)I, как уже отмечалось, (см. текст после формулы (2. 23)), порядка атомных энергий. За­ висимость же энергии от спина S (ob>пары электронов, на­ ходящихся на разных атомах, обусловлена межатомным обменом. Поэтому разность энергий |е (<S(a>, 1)—е (S1"', О) I существенно меньше разностей энергий атомных уров­ ней. Однако, чтобы не потерять отмеченного выше эффекта взаимодействия спинов пары электронов иона а и пары электронов на ионах о и b следует учесть, что энергия

состояний зависит не только от спинов S ia) и S (obl, но и от того, как они «взаимно ориентированы», т. е. от суммар­

ного спина S всех четырех электронов, так что е= е (51а>, *S(o4), S). Поправка к энергии основного состояния (Е0)

во втором приближении теории возмущений по оператору

V имеет вид [1 ]

|<(аад)5 |Уа|(а02Ь) я> | 2

— матричный элемент оператора Ѵа между со­ стояниями 1Т')» и 1Т)-, а суммирование ведется по всем со­ стояниям {сРоЪ), для которых матричные элементы в (2. 85) отличны от нуля; Е (а?оЪ) — энергия соответствующего состояния.

Поскольку оператор Ѵа не зависит от спина, то пере­

в состояния I (a2ob)y с 8 '= ! , Sz—0 .

76

Существуют, по правилам сложения моментов, два со­

три — одно при S ia)= l, S iOb)=0, другое при S (a>= 0, S i0b>=

1 и третье при S m = S lob)= 1. Введем обозначение

и со спинами соответствующих пар электронов S {a>и S 'l,b) (S. = 0 во всех исследуемых состояниях и потому нигде не указывается). Далее, поскольку только при >S(aJ= 6 ' lt’4)= l существуют состояния с разными спинами, то нижний ин­ декс S будем указывать лишь для этих состояний. По этой

|<(а2ой){>11Ѵа \ (ао2й)і>|2

тÄ0 - e ( l,- i;i)

Теперь остается построить волновые функции состоя­ ний (2. 8 6 ). Сразу же по аналогии с выражениями (2. 83) (2. 84) можно выписать функции (все — при 5„=0'!)

1

(и Sz = 0 ) являются линейными комбинациям трех функ-

77

а коэффициенты и. (S) должны определяться из условия

S2 |(flsob)|.i> = S(S+l)|(aSob)JJ.i\(S=0, 1, 2 ). (2.91)

Подставляясюда (2. 90), (2. 89) и учитывая, что в S2 (2. 80) при действии иа функции | Ф,. > 5г =0, ІѴ1= 4, можно показать, что

числение матричных элементов, входящих в (2. 87), про­ изводится очень просто с помощью соотношений анти­

тор, эрмитово сопряженный от оператора А, так что

(sp + =fiy)>-

* От двух половин английского слова bracket (скобка)—по тер­ минологии Дирака ([10].

78

Так как основным является внутриатомный обмен, то можно положить

Выражение (2. 95) для Д /|“р отражает вклад в супер­ обмен лишь одного из переходов (0 -►а'). Вообще го­

79