Файл: Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник..pdf

Во

время дежурства нерезервированная

система, работаю­

щая в

стационарном режиме, используется

для непосредственно­

При

этом

время Т* нахождения

системы

в

работоспособном

(исправном) состоянии

и

время

Ѳ* ее

ремонта

распределены

по

экспоненциальным законам с параметрами Т

и

Ѳ соответ­

ственно.

Время работоспособного состояния системы, необходимое для

выполнения поставленной задачи, равно 6 . Время

t ,

отведенное

на выполнение поставленной

задачи, удовлетворяет

неравенству

i s

6 .

Задача считается выполненной, если за период времени і бу­

дет

иметь место бесперебойная работа системы, по крайней мере,

в течение времени 6 . Это равносильно тому, что в интервале

[^ ,

Щ+ і ]

должен быть хотя бы один импульс длительностью не

менее <? .

Спрашивается,

какова вероятность

P it/6)

того, что

в интервале [ Ц , ^ + t ]

поставленная

задача будет

выполнена.

Для решения сформулированной задачи

воспользуемся

следую­

X*(z) укоротим

справа на величину необходимого времени выпол-

- -----------------н*

Х(2)/

—

7. ----- -- • 8 , ----- ТГ

— г« . н ,

а)

Z

W

Y(z)/

Ж ^ 6

н

г

0

f “

u w

Т*< <?U= / , 2 , 3 , . . . ) ,

(9 .1 )

U* « t - S ,

(9.2)

P( t / 6) = -----T W

- ,

(9 .3 )

П6) + Ѳ(<?)

где Т{6) и 0(6) - математические

ожидания длительностей им­

пульса и паузы потока Y*(z).

Во втором случае устройство выполнит поставленную задачу с

вероятностью

t-â

Pz( t/6 ) = _ 0 ( 6 ) ___

JtyWdV,

(9 .4)

Pit/6) =

P'it/â) +

P2(t/6).

(9 .5)

Подставив в выражение

(9.5)

значения P^t/â)

и

Pz(t/6) ,

получим

1

t-â

/

ne) +

P i t / 6 )

.

о - в )

Tiâ)

+ 0(6) -

n

Таков путь решения сформулированной задачи. Теперь необхо­

димо произвести вычисления компонентов формулы (9. 6).

Вычисление Т(6) .

Плотность

вероятности

ьу[Т/ Т* ^ 6) дли­

тельности импульса потока

Х*( в)

, вычисленная при условии

Т* »

6 ,

(9.7)

пропорциональна плотности вероятности

ш(Т)

длительности им­

пульса этого же потока,

т .е .

Т< 6

1*{Т/Т*> в)

О

при

;

о . 8)

С

wiT)

при

Т г. 6.

Постоянный коэффициент С ,

входящий в данное

выражение,

находится следующим образом.

6) dT = 1 .

0 . 9 )

6

ш(Т/Т*& 6) .опре­

Подставляя в выражение (9.9) значение

деляемое соотношением (9. 8), получаем

С Г

ш{Т) dT = / ,

откуда

С =

сю

(9 .10)

J v{T)d]

w iJ/T** 6)

=

*•

~

при

6.

( 9 . II)

4

\w{T)dT

Математическое

^ 's

____

длительности импульса потока

ожидание

Г( 6)

Y(z)

(рис.9.16)

должно удовлетворять

соотношению

П6)

= j

b}{T/Tj* 6 ) d T - 6 .

Подставляя

в данное

6

значение

ш{Т/Ть > 6),

получаем

выражение

со

W

= - p ^ - J l r - < 5 )

ш(Т) dT ,

(9.12)

00

â

где

Р (<У)

= j

w W ) d T .

І

задачи время 7-

.

в

исправ­

По условию

нахождения устройства

ном состоянии распределено по экспоненциальному закону.

При

этом условии правая часть выражения (9.12) равна математиче­

скому ожиданию

Т

длительности импульса потока Х *(г)

, т . е .

Т Ш

= Т -

(9.13)

F(â) =

-= . ! ___

-

(9.14)

П6) + W )

При 6 = 0 средняя частота импульсов будет

/

т *ттт

(9.15)

Вероятность

выполнения неравенства

•

Т* =*

8

определяется

выражением

Р(8) = Jооw(.T)dT .

При условии

экспоненциального распределения величины Т*

правая часть последнего

выражения приводится к виду

_£

(9.16)

Р(8)

=е

т .

Наряду с этим величина

Р(6) равняется

отношению средних частот

следования импульсов потоков

Y*(z) и

Х*(z ) ,

т .е .

Р ( 6 )

F{8)

F(0)

откуда

F{8) = F(0) P(â).

(9.17)

Подставив в

(9.17) значения F{0) и

Р(6)

,

определяемые

соответственно

выражениями (9.15)

и (9 .1 6 ), получим

/

6

FW) =

(9.18)

Т+Ъ

Решив уравнение (9.14) относительно

Ѳ(8)

, получим