Файл: Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 226
Скачиваний: 0
160
получим формулу для вычисления математического ожидания дли тельности паузы потока Y *(z):
Щ = ( Г + S) еТ - Г. |
|
<9- І9) |
||
Вычисление плотности вероятности Ф(Ѵ) |
. Точное вычисление |
|||
плотности вероятности ф(Ѵ) |
случайной величины |
V*(рис.9 .26) |
||
приведено в работе [20]. Здесь |
мы ограничимся приближенным вы |
|||
числением этой плотности распределения^. |
|
|
||
Для вычисления плотности вероятности |
ф (V) |
случайной вели |
||
чины V* необходимо прежде |
всего найти плотность |
распределения |
||
длительности паузы потока |
Y * ( z ) . |
|
|
|
Длительность паузы потока |
Y*(z) согласно рис.9.2а равна |
|
|
|
|
Q\ â)= |
Н\6)+ <?, |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н* = |
Ѳ* |
- |
6 |
, |
(9.20) |
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
Н* = Нф{6)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
безусловную плотность |
распределения случайной |
|||||||
величины |
|
через |
/?(//). |
|
|
|
|
|||
|
С учетом введенного обозначения и выражения (9.20) плотность |
|||||||||
Фу {Ѳу) распределения |
случайной величины |
Ѳ* = Ѳ* (<?) удовлет |
||||||||
воряет |
соотношению |
|
|
при |
es<f; |
|
||||
|
|
W * |
|
|
(9.21) |
|||||
|
|
|
|
|
|
при- |
||||
|
|
|
R(H) |
|
|
|
||||
|
Безусловная плотность |
вероятности случайной |
величи |
|||||||
ны |
Н* при условиях |
экспоненциального распределения величин Ѳ* |
||||||||
и Т* является |
монотонно убывающей и может быть с достаточно |
|||||||||
хорошим приближением аппроксимирована функцией |
|
|||||||||
|
|
|
|
R(H) * |
|
|
|
|
(9.22) |
|
|
|
|
|
|
H W |
|
|
|
|
|
где |
Н( д) - безусловное математическое |
ожидание случайной ве |
||||||||
личины |
Н* (р и с .Э .Іа ), определяемое |
|
соотношением |
|
||||||
|
|
|
H(â) |
= Ѳ{<?)- 6 |
= (7 |
|
+ Ъ)ет- Т - 6 . |
0 .2 3 ) |
||
|
|
Использование |
приближенного |
значения ф(Ѵ) вместо |
точно |
го может привести к ошибке при расчетах величины P{,t/â) , рав ной І0“4 и менее.
I6I
Подставив в (9.21) значение функции R(H) , определяемое выражением (9 .2 2 ), получим
|
О |
при |
V |
|
W - |
|
ву-â |
(9.24) |
|
/ |
7Щ |
при |
Ѳ & |
|
1 |
Ш ) |
|
|
У |
Кривая, изображающая плотность Фу{Ѳ^) распределения слу чайной величины Ѳ* = Ѳ*(<У) , представлена на рис.9 .3 .
Случайная величина V* (рис.9.26) составляет часть длитель ности паузы потока Y*(z). Поэтому при случайном и равновозмож-
Рис.9.3. Кривая, изображающая |
Рис.9 .4 . Кривая, изображающая |
||
плотность распределения слу- |
плотность распределения слу |
||
чайной |
величины |
Ѳ* |
чайной величины V* |
ном выборе |
точки 1= |
на временной оси г распределение величи |
|
ны V* определяется плотностью |
вероятности [59] |
|
?m=é |
i w |
" r |
|
(9-26) |
|||
где Ѳ( 6) |
вычисляется по формуле |
(9 .19). |
, определяемое выра- |
|||||
Подставив в (9.25) значение |
ф |
(Ѳ ) |
||||||
жением (9 .2 4 ), получим |
|
|
S |
|
|
|
||
|
|
Г |
_ ! _ |
|
|
при |
Ѵ < в ; |
|
|
((KV) |
I |
т |
|
W -â ) |
|
(9.26) |
|
|
|
. ш |
е |
W |
|
при |
V& 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кривая, изображающая плотность (j)(V) распределения случай |
||||||||
ной величины V* , представлена на рис.9 .4 .___ |
___ |
|||||||
Теперь, когда получены выражения для |
T{â) |
, Ѳ(<?) и (р(Ѵ) , |
||||||
займемся |
отысканием функции |
P{t / 6) . |
|
|
162
|
Вычисление |
вероятности Pit / 6 ) выполнения доставленной |
за |
|||||||||
дачи. Подставив в выражение |
(9 .6 ) значения |
ф(Ѵ) |
, 7 Ш |
= Т , |
||||||||
Ш) = НШ+6 |
и выполнив интегрирование, получим |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Т + і - 6 |
при |
6 « t |
* |
26 ■ |
|
|
||
|
|
|
|
Т+ H{â) + 6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t- ге |
|
|
|
|
(9.27) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
/ |
|
ІШ |
е~ Ш |
при |
t |
^ |
2 6 , |
|
|
|
|
|
- Т + H{6) + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Н{Ö) вычисляется по формуле |
(9 .2 3 ). |
|
|
|
|
|
|||||
|
Качественная зависимость P{t/â) от t |
представлена |
на |
|
||||||||
рис.9 .5 . |
|
|
|
t =0 = 0 , |
|
|
|
|
|
|
||
|
В частном |
случае, когда |
согласно |
(9.27) |
имеем |
|||||||
|
|
|
|
Р(0/0) = 7+ F |
|
|
|
|
|
|
||
что |
и |
следовало |
ожидать. В |
другом |
случае, |
когда і — |
»со |
|||||
гласно |
(9 .3 ) |
и |
(9.27) имеем |
Р(ао/ |
fi) = |
I . |
|
|
|
|
||
|
Произведем анализ полученных результатов. |
|
|
|
|
|||||||
|
В табл .9.1 |
были приведены показатели надежности и ремонто |
пригодности трех радиостанций, имеющих одинаковые коэффициенты
|
|
готовности. |
Спрашивается, |
||
|
|
будут ли |
эти радиостанции |
||
|
|
равнозначными и при срав |
|||
|
|
нении их по |
вероятности |
||
|
|
выполнения поставленной |
|||
|
|
задачи. |
|
|
|
|
|
На рис.9 .6 приведены |
|||
|
|
кривые |
зависимости веро |
||
|
|
ятности |
|
выполнения зада |
|
|
|
чи от времени t , рассчи |
|||
|
|
танные по формуле (9.27) |
|||
Рис.9 .5 . Качественная зависимость |
для 6 = 0,5 час и значе |
||||
ний Т |
и |
§ |
, указанных |
||
P(t/â) от t |
в табл .9 .1 . |
|
|||
|
|
|
|||
На рис.9 .7 |
то же семейство кривых построено при условии |
||||
6 = 0,1 час. На этих рисунках кривые |
I , 2 и 3 |
|
относятся соот |
||
ветственно к первой, второй и третьей радиостанциям. |
|||||
Из анализа |
выражения (9 .27) и приведенных графиков следует, |
||||
что при t = â во |
всех случаях наиболее эффективным является та |
||||
кое устройство, |
которое имеет наибольшую надежность. Особенно |
163
это преимущество проявляется при больших 6 . При таких услови ях повышение надежности устройства является более эффективной мерой достижения большей вероятности выполнения поставленной задачи, нежели повышение ремонтопригодности. С увеличением t и уменьшением 6 преимущества устройства с более высокой на
164
дежностью, но низкой ремонтопригодностью резко сокращаются. На пример, при 6 = 0,1 час (рис.9 .7) уже при t = 26 все три радио станции оказываются равнозначными не только по готовности, но и по вероятности выполнения задачи. При дальнейшем увеличении времени t (ри с.9 .7 ), наоборот, более эффективной становится ра диостанция, у которой ниже надежность, но выше ремонтопригод ность. В данном случае эффективность мер, направленных на по вышение ремонтопригодности средств автоматизированного управ ления и связи, резко возрастает.
В качестве примера в табл .9.2 приведены характеристики двух
одинаковых по назначению радиостанций. |
|
|
|
|
|
Т а б |
л и ц а 9. 2 |
Характеристики радиостанций |
Наименование |
радиостанций |
|
Первая ра |
Вторая ра |
||
|
|
диостанция |
диостанция |
Математическое ожидание времени на |
100 |
50 |
|
работки станции на один отказ,час |
|||
Математическое ожидание времени ре |
25 |
5 |
|
монта станции, час.............................. |
|||
Коэффициент |
готовности станции......... |
0,8 |
0,91 |
Вероятность |
выполнения задачи |
0,655 |
0,610 |
Я (20/20) |
............................................... |
||
Вероятность |
выполнения задачи |
0,783 |
0,838 |
Я (40/20) |
............................................... |
Из этой таблицы следует, что первая радиостанция имеет бо лее высокую надежность, но низкую ремонтопригодность по сравне нию со второй. При этом коэффициент готовности первой станции меньше коэффициента готовности второй. Следовательно, с точки зрения готовности станций вторая станция лучше первой. Однако с точки зрения вероятности выполнения задачи в случае t = 6 = = 20 час, наоборот, более эффективной является первая станция. Если t > 6 (в нашем примере t = 2 6 ) , опять вторая станция ста новится эффективнее первой за счет более высокой ремонтопригод ности.
Таким образом, из анализа выражения (9 .2 7 ), рассмотренных графиков и таблицы следует, что вероятность выполнения задачи является наиболее полной количественной характеристикой систем непрерывного применения. Эта характеристика позволяет не только оценить вероятность выполнения задачи, но и выбрать наиболее эф