Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

В данном случае доля телок в генеральной совокупности приня­ та равной 0,5, откуда выборочная ошибка доли (она же и ошиб­ ка разности) равняется

Для уровня значимости Р = 0,01 и числа степеней свободы, кото­ рое в таких случаях определяется по формуле k = n — 1= >30 по таблице Стьюдента (см. табл. V приложений) находим tst = 2,6. Так как во всех случаях /ф<7г, нулевая гипотеза сохраняется, вопрос о влиянии возраста производителей на пол потомства остается открытым.

Остановимся на одном из классических опытов Грегора Мен­ деля по скрещиванию двух константных сортов гороха, отличав­ шихся друг от друга по окраске семян: у одного были желтые, а у другого сорта зеленые семена. Во втором поколении от этого скрещивания, т. е. от посева гибридных семян, были получены следующие результаты (табл. 48).

Т а б л и ц а 48

Необходимо установить, соответствуют ли полученные в опыте результаты ожидаемому отношению желтых к зеленым как 3:1. Исходя из теоретической предпосылки, ожидаемое отношение

Средняя ошибка этой разности

160

вую гипотезу нельзя; в данном случае имеется хорошее совпа­ дение опытных данных с ожидаемыми в Р2 по второму закону Менделя.

Оценка разности между эмпирическими и ожидаемыми частотами альтернатив по критерию хи-квадрат

признаков, можно использовать .критерий Пирсона % 2 (хи-квад- рат). Покажем это на только что рассмотренном примере. Ожи­ даемые и полученные в опыте с горохом отношения желтых се­ мян к численности зеленых нам уже известны. Разность между

разность в квадрат, полученный результат отнесем к ожидаемым частотам каждой альтернативы, т. е. к численности желтых и зеленых семян и, сложив полученные отношения, найдем вели­ чину критерия хи-квадрат:

Остается сравнить полученную в опыте величину % 2 с ее кри­ тическим значением для взятого уровня значимости (Р) и числа степеней свободы, которое при табличной группировке частот определяется по следующей формуле:

k= (г -1 ) (с -1 ),

где г обозначает число граф (столбцов), а с — число строк таб­ лицы, в которой помещены сравниваемые величины; при этом итоговые столбцы и строки таблицы в расчет не принимаются. В данном случае сравниваются две группы признаков — желтые и зеленые семена. Следовательно, число степеней свободы к — = 2—1 = 1. Этому числу для уровня значимости Р = 0,05 соответ­

Применим тот же критерий к оценке результатов дигибридного скрещивания двух сортов гороха, с которыми эксперимен­ тировал Мендель, сравним результаты расщепления признаков во втором поколении с ожидаемым отношением 9 : 3 : 3 : 1 (табл. 49).

Т а б л и ц а 49

Приведенные в табл. 49 ожидаемые частоты вычислены умноже­ нием 9/іб желых гладких, 3/іб зеленых гладких, 3/і6 желтых мор­ щинистых и '/іб зеленых морщинистых на 556, т. е. на общее число наблюдений. Так как в данном случае число граф равно 4, а число строк — двум, число степеней свободы /г=(4—1)(2—

—1) =3. Этому числу для Р = 0,05 соответствует %2Sf = 7,8. Видим, что %2 0 <%2 st, следовательно, нулевая гипотеза сохраняется; рас­ хождения между ожидаемыми и полученными в опыте данными носят чисто случайный характер.

Критерий хи-квадрат можно использовать и для оценки раз­ личных состояний одного и того же качественного признака, группируемых в таблицы разной конструкции. Например, при изучении эффекта от добавочного опыления подсолнечника были получены следующие результаты (табл. 50).

При таком расположении выборочных данных критерий хи-квад­ рат определяется по формуле:

162

блюдений. В данном случае критерий хи-квадрат, рассчитывае­ мый по указанной формуле, оказывается равным:

А2 4 4 X5 3 X 155X 142

Для уровня значимости Р = 0,05 и числа степеней свободы k = = (2—1)(2—1) = 1 критическое значение критерия %2st = 3,8 (см. табл. VIII приложений). Полученная в опыте величина это­ го критерия почти в пять раз превосходит его стандартное (кри­ тическое) значение, что отвергает нулевую гипотезу. Следова­ тельно, нужно признать, что влияние добавочного опыления на урожай подсолнечника — явление не случайное, а вполне зако­ номерное.

Расчет критерия хи-квадрат по формуле 89, как это видно из приведенного примера, часто связан с перемножением много­ значных чисел, что создает известные неудобства. Чтобы избе­ жать последних, можно изменить группировку выборочного ма­ териала и определить критерий хи-квадрат по формуле 72. Про­ демонстрируем это на том же примере. Расчет критерия хи-квадрат показан в табл. 51. Ожидаемые частоты (р') рассчи­ тываются по итоговым числам четырехпольной таблицы. На­

Х І42) : 297=116,7. Ожидаемая частота 27,7 найдена таким же способом: (53X155) : 297 = 27,7 и т. д. Остальные действия вид­ ны из табл. 51. Результат получился, как и следовало ожидать, тот же, т. е. % 2 = 18,85= 18,9.

Р

Как уже сообщалось, распределение хи-квадрат является непрерывным. Поэтому при использовании этого критерия для

оценки различий, наблюдаемых между фактическими и вычи­ сленными или ожидаемыми частотами дискретных величин, воз­ никают погрешности. На больших числах наблюдений эти по­ грешности существенного значения не имеют. На малочислен­ ных же группах они сказываются на величине критерия хи-квадрат, которая получается несколько завышенной. Чтобы избежать возможных неточностей при вычислении критерия хиквадрат на материале, группируемом в четырехпольную табли­ цу, в формулу 89 вносится поправка Йейтса на непрерывность:

(а + Ь) (с + d) (а + с) (b + d)

Эта формула обеспечивает более точные результаты, особенно на малочисленных выборках.

Применим эту формулу к рассмотренному выше примеру по испытанию действия эндотоксина на выживаемость облученных животных. Соответствующие данные приведены в табл. 46. Мы повторим их здесь для того, чтобы вместе с экспериментальными данными привести и их теоретически вычисленные значения (они заключены в скобки) (табл. 52).

Если вычислить критерий хи-квадрат для этих данных без по­ правки Йейтса, получается следующая величина:

то, что при использовании этой формулы берутся только абсолютные раз­ ности.

164