Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

выборочная ошибка вычисляется по следующим формулам:

Здесь от и п—от — абсолютные численности альтернатив, поэто­ му и ошибка, вычисляемая по этой формуле, называется ошиб­

Когда же альтернативы выражаются в процентах, их выбо­ рочная ошибка рассчитывается по формуле процентной частоты:

альбиносов — находим выборочную ошибку процентной частоты:

У:76X24

ОТт 84 : У21,7 = 4,7%.

151

где р — показатель относительной доли, определяемой по фор­ муле Ван дер Вардена (в процентах):

Например, в лесном массиве при учете певчих птиц из общего числа 23 зарегистрированных видов не оказалось ни одной пе-

0

ночки-веснички. Выборочная доля весничек р = — == 0. Вводя 23

поправку на случайность этого показателя, т. е. рассчитывая до­ лю пеночек-весничек по формуле 80, находим

откуда средняя ошибка этой доли будет равна:

Если из генеральной совокупности производится бесповтор­ ный случайный отбор и выборка составляет довольно значитель­ ную часть генеральной совокупности (не <25% ), выборочная ошибка альтернатив определяется по следующей формуле:

1 Когда необходимо увеличить точность, вместо 1—— следует брать мно-

N — n

житель —---- -; но при большом N разница между этими множителями оказы­

вается практически несущественной.

152

век, из которых 200 оказались больными. Доля больных Р =

ность этого показателя не вызывает сомнений.

Доверительный интервал доли

По величине выборочной ошибки доли устанавливаются границы интервала, в котором с определенной вероятностью на­ ходится генеральный параметр доли, именно:

р ± trap,

ная доля по данным выборочного наблюдения. Здесь t имеет то же значение, что и в формуле предельной ошибки средней ариф­ метической рядовой изменчивости, т. е. критерий, по которому с определенной вероятностью устанавливается доверительная граница для генерального параметра. Значения тр, т. е. выбо­ рочной ошибки доли, показаны выше.

Например, доверительные границы генеральной доли боль­ ных д л я / = 2,0 будут следующие:

нижняя граница = 13,0—2X0,8= 11,4% верхняя граница = 13,0+2X0,8=14,6%.

А для той же величины t = 2,0 максимальная ошибка доли пе- ночек-весничек равняется ДР = 2x3,84 = 7,68%. Отсюда верхняя граница доверительного интервала генеральной доли пеночек этого вида равняется 4,0 + 7,68=41,68%.

Метод 9 (фи)

Описанный способ обеспечивает точное установление дове­ рительных границ генеральной доли в тех случаях, когда выбо­ рочная доля равна 50% наблюдений или близка к этой величи­ не. Если же доля одной из альтернатив невелика (р<20) и тем более близка к нулю или к единице, этот способ расчета дове­ рительных границ будет неточным, так как сильное отклонение доли от Р = 0,5 резко сказывается на величине ее выборочной ошибки. Чтобы избежать возможной неточности в таких случаях, следует воспользоваться вспомогательной величиной ф (фи), предложенной Р. А. Фишером: -

153

Эта величина имеет близкое к нормальному распределение. Ее ошибка репрезентативности довольно просто связана с объемом

выборки (п):

Для практического использования этого критерия составлена специальная таблица значений ф для разных значений доли,

т

выраженных в процентах, т. е. в виде р = — X ЮО. Эта таблица

приводится в приложениях под № XIII.

Возьмем следующий пример. Из общего числа 80 детей, об­ следованных в детских учреждениях, 5 оказались косноязычны­ ми. Найдем доверительные границы для генеральной доли кос-

Но так как доля косноязычных детей весьма невелика — все­ го лишь 6,3%, нет уверенности в том, что установленные таким способом доверительные границы точные. Установим их по ме­ тоду «фи». Для первого порога доверительной вероятности Р = = 0,95 и соответственно /=1,96 предельная ошибка доли, опре­ деляемая по формуле 83, равняется

По табл. XIII приложений находим, что величине доли р = 6,3% отвечает значение ф= 0,507. Отсюда доверительные границы для Ф будут следующие:

154

точные границы доверительного интервала доли. Сравнивая первый результат (1,0 % —11,6 %) со вторым (2 ,1 % —12,6 %), видим, что они не совпадают друг с другом.

Оценка разности между долями

Чтобы по разности между выборочными долями оценить ее достоверность в генеральной совокупности, необходимо эту раз­ ность отнести к ее ошибке и полученное значение сравнить с его критическим значением по критерию ССтьюдента или по крите­ рию ф Фишера.

Оценка по критерию Т-Стьюдента

Если же доли выражены в процентах от общего числа наблюде­ ний (л), формула 84 приобретает следующее выражение:

Приведенные формулы служат надежными оценками разности долей в генеральной совокупности, когда численности выбороч­ ных групп оказываются равновеликими или не очень сильно от­ личаются одна от другой. Если же сравниваемые группы весьма различны по своим объемам, ошибки разности, вычисляемые по этим формулам, могут оказаться неточными. В таких случаях более точные результаты получаются при использовании сле­ дующей формулы:

доли р и q\ причем р определяется как средняя взвешенная из

р1 и р2 долей, т. е.

р і Щ +P z flz

Р = -------:------ . Яі -f- Пг

а q = 1—р или 9 = 1 0 0 —р, если доли выражены в процентах. Так как средняя взвешенная из отношений частот сравни­

ваемых выборок равна

155