ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 4
ционная функция является общей характеристикой рассматри ваемых случайных процессов. Гармонические процессы могут также характеризоваться ею.
При исследовании плавности хода тракторов воздействие мо жет характеризоваться двумя составляющими и более (неровно сти дороги и силы рабочих сопротивлений орудий и сельскохо зяйственных машин, неровности под левым и правым колесами, неровности под передним и задним колесами и т. д.). Тогда вво дят наряду с автокорреляционной функцией также и взаимные
корреляционные функции. Для |
воздействий |
qx(l*) и qy{l*) |
вза |
|||
имные корреляционные функции имеют вид |
|
|
||||
Rxy(l*) |
= \\m |
-±- |
\ qx(l)qy(l |
+ |
l*)dl; |
|
|
|
- L , |
|
} |
(53) |
|
|
|
|
|
|
||
Ryx(l*) |
= \im |
- J - |
Г qy(l)qx(l |
+ |
l*)dl. |
|
|
|
|
|
|
) |
|
Взаимные корреляционные функции характеризуют связь ме жду двумя составляющими воздействия. Если максимальные значения взаимных корреляционных функций малы по сравне нию с дисперсиями каждого процесса, то, следовательно, две составляющие можно считать некоррелированными. Степень свя зи случайных составляющих может быть охарактеризована ко эффициентом корреляции
VRA0)Ry(0) '
Для определения авто- и взаимно корреляционной функции по известной реализации случайного процесса интегралы (52) и
(53) заменяются конечными |
суммами |
|
|
|
|
JV-ц |
|
Rx(\i)zzz |
— |
7 |
ЗД+ц! |
|
N-\x |
j£j |
|
N-ti
W-H
[* |
£ |
где u = — ; p. = 0, 1, 2, ...; N — число интервалов; v |
= — ; v = 1, |
Д |
Д |
2, ... ; здесь Д — длина разбиения пройденного пути |
(шаг). |
130
Интервал L 0 = N& определяется из соотношения L 0 = Ю / т а х ,
где / т а х — максимальная волна функции неровности, т. е. мак симальный отрезок оси / между двумя соседними нулями функ ции.
Шаг Д может быть либо определен по формуле Д = |
где |
/ mm — минимальная длина волны неровности, либо непосредст венно по записи случайного процесса, так чтобы функция мало изменялась на интервале разбиения.
При обработке функций неровностей указанным методом важ но правильно подготовить экспериментальный материал к рас чету. Необходимо на графике функции неровности выделить пе риодические и низкочастотные составляющие, которые искажа ют и затрудняют анализ корреляционной функции. Некоторые приемы выделения помех рассмотрены в работе [31]. Получен ные путем расчета по экспериментальным данным корреляцион ные функции уже не являются случайными и их целесообразно аппроксимировать подходящими аналитическими выражениями.
Обычно для |
|
аппроксимации |
корреляционных |
функций |
не |
|||||
ровностей и сил рабочих |
сопротивлений |
их |
сперва нормируют, |
|||||||
т. е. делят на |
максимальное значение |
ординаты |
Rx(0), |
Ry{0), |
||||||
Rxy(0), |
а затем |
подбирают |
функциональную зависимость вида |
|||||||
Р(/*) = ^ |
|
п |
|
|
|
т |
|
|
|
|
= |
У ^ А |
^ |
cos ру* + |
^ |
Л |
sin р,| /• |, |
||||
|
|
|
i = l |
|
|
i=n+l |
|
|
|
|
где Ai, |
a,i, Pi — неопределенные |
коэффициенты. |
|
|
||||||
Неопределенные коэффициенты могут быть определены лю бым из методов, применяемым в теории аппроксимации. Широ ко используется метод наименьших квадратов. Его применение для часто встречающегося аппроксимирующего выражения
р(/*) = Де - 0 '"* 1 cos ру* + А2е~а^ |
cos р2 /* |
(54) |
показано в работе [31]. |
|
|
Часто в первом приближении можно положить |
|
|
Л1 = р0 (при /* = 0); А2 = 0; а 2 = |
0; р2 = |
0. |
Если обозначить /* средний период прохождения через нули (по переменной /*) корреляционной фукции р(/*), то коэффици енты ai и Pi можно определить по следующим зависимостям:
a1 0 = - L _ l n |
Е2 |
| / , | |
Pi(при / = / , ) |
Рю - |
— • |
9* |
131 |
Несмотря на большую универсальность и общность корреля ционных функций как характеристик случайных процессов, в практических исследованиях также широкое применение нахо дят спектральные характеристики. Выше было показано, что в зависимости от структуры случайного процесса, от того, какие частоты и в каких соотношениях преобладают в его составе, корреляционная функция имеет тот или иной вид. Это характе ризуется спектральным составом случайной функции.
Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот, то спектром колебательного процесса называется функция, описы вающая распределение амплитуд по различным частотам.
Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.
Аналогичное спектральное описание можно дать и стационар ному случайному процессу. Вся разница в том, что для случай ного процесса амплитуды колебаний будут случайными величи нами. Поскольку случайные величины характеризуются диспер сиями, то спектр стационарной случайной функции будет опи сывать распределение дисперсий по различным частотам f.
Спектр случайной функции характеризуется спектральной плотностью 5(со), которая может быть выражена через корреля ционную функцию
|
|
|
оо |
|
|
|
|
5((») = 2 j#(/*)cosco/*d/*, |
|
(55) |
|||
где со = 2nf Ус- |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно получить и обратную |
зависимость |
корреляционной |
||||
функции от спектральной |
плотности |
|
|
|||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
#(/*) = - L |
('S(co)cosco/*dco. |
|
(56) |
||
|
|
л |
J |
|
|
|
При /* = |
0 имеем |
|
о |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
#(0) = />= — Г S(<o)rf(B. |
|
|
|||
|
|
|
|
о |
|
|
Формулы |
|
|
л J |
|
обратным |
|
(55) и (56) называют |
также прямым и |
|||||
преобразованием Фурье. |
|
|
|
|
|
|
Пользуясь преобразованием Фурье, можно |
найти |
спектраль |
||||
ную плотность для нормированной |
функции, заданной |
формулой |
||||
(54). Не приводя преобразований, запишем результат |
|
|||||
|
5(со) = 2/?(0) |
\ |
а , ( ( о 2 + а? + р?) |
|
|
|
|
|
|
( а > 2 - а 2 - в 2 ) 2 + 4 |
|
|
|
|
+ А |
а 2 |
( с о 2 + а2 + Р2) |
|
(57) |
|
|
|
|
|
|
||
( а , 2 - а 2 - В 2 ) 2 + 4а2 2 со2
132
В дальнейшем понадобится также выражение для спектраль ной плотности ускорения, т. е. второй производной функции не ровности. Спектральная плотность второй производной от функ ции равна спектральной плотности самой функции, умноженной на со4:
5 у с к И = co4S(co). При этом необходимо обеспечить условие
оо |
|
J SycK(co)d(u < оо. |
(58) |
о |
|
Приведем формулы прямого и обратного преобразования Фурье для взаимных корреляционных функций и спектральных плотностей:
|
Sxy(v>)= |
j |
Rxu{l*)er№dl*\ |
|
|
|||
|
|
— о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
Rxy(l*) = |
^ - |
J4 ,((D) e / M '*do . |
|
|||||
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
Такой результат получен потому, что взаимная |
корреляцион |
|||||||
ная функция — нечетная |
функция, |
а |
взаимная |
спектральная |
||||
плотность — комплексная |
функция. |
|
|
|
|
|
||
Если случайный |
процесс |
образуется |
суммированием двух |
|||||
(в общем случае и большим |
числом) |
стационарных и стацио |
||||||
нарно связанных случайных процессов х и у |
|
|
||||||
|
z(l*) |
= |
x(l*) + |
y(l% |
|
|
|
|
то корреляционная функция процесса z(t) |
равна |
|
||||||
= |
Rx{i*) |
+ ВД*) + RxyV*) + |
Ryxin |
|||||
а спектральная плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sz(co) = Sx(tit) + Sy(a>) + Sxy{(o) |
+ |
Syx((o). |
|
|||||
Для некоррелированных процессов
*,(/*) =/?*(/*) + З Д * ) ;
Sz(et) = Sx(m) + Sy(ta).
Применяется и другой способ аналитической аппроксимации неровностей пути, состоящий в определении плотности распреде ления длин, высот неровностей и расстояния между их верши нами.
Расчеты показывают, что в некоторых случаях с достаточ ной степенью точности эти величины распределены по нормаль ному закону и связаны линейными корреляционными уравне ниями.
133
Установим количественную связь между двумя способами
аппроксимации. |
|
|
|
|
Для этого |
используем метод |
неканонических |
разложений |
|
стационарных |
случайных функций [38], в соответствии с которым |
|||
случайную функцию q ( t ) можно представить |
в виде гармоники |
|||
к \ sin озМ- %2 cos со^, где случайные |
величины |
к \ , К2, |
со независи |
|
мы и удовлетворяют условиям |
|
|
|
|
|
|
> |
|
(59) |
|
М[Я?] = М[Я|] = Я,(0), J |
|
|
|
где символ М обозначает математическое ожидание случайной величины.
Законы распределения вероятностей случайных величин Xi и
Х2 произвольны. |
Плотность |
распределения случайной величины |
|||
со определяется |
формулой |
|
|
|
|
|
1 |
S(a>) |
i |
ии |
(60) |
|
|
||||
/(СО): |
|
2я J P(T)COS atxdx. |
|||
|
2л |
RAO) |
|
||
Зная распределение частот гармоники, можно найти распре деление длин волн неровностей, если воспользоваться зависи мостью при v = 1 м/с
со = 2 л Л(о,
где / — длина волны неровности.
Пользуясь формулой для плотности распределения функции от случайной величины, запишем
« 0 =
Тогда
dh f(h(l)).
dl
|
|
|
|
2л |
|
f(0 = ^ |
f |
( |
^ |
|
|
Плотность распределения |
высот |
неровностей |
Н определяет |
||
ся через функцию распределения длин / |
|
||||
/(Я) |
= I |
dg(H) |
ПёШ)], |
|
|
|
|
dH |
|
|
|
где g(H) — функция, обратная |
по отношению к |
корреляцион |
|||
ной зависимости между высотами и длинами |
|
||||
|
Н = а + Ы, |
|
|||
8(H)- |
Н — а I . |
|
|||
134