ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 4
Обозначим выражение в круглых скобках, представляющее собой новую матрицу, символом А. В соответствии с правилом умножения и сложения матриц можно записать элементы мат рицы А так:
ац(р) = milP* + К„р + C[h |
|
I, j = |
1, 2,. . ., |
2п + 1. |
|
||||||
Матричному |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствует система |
линейных |
алгебраических |
неоднородных |
||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Пу£ап{рШр) |
= |
2 i V 7 < + |
Q'h |
/ = |
1. 2,. . ., 2n + |
1. |
(75) |
||||
ы 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь правилом Крамера, |
можно |
из |
уравнения |
(75) |
|||||||
определить неизвестные Z,i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОЦ{Р) |
|
а п ( Р ) |
•••А\ |
,2п+1 |
(Р) |
|
|
|||
D(P) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 2 п + 1 , А Р ) а 2 п + 1 . 2 ( Р ) - - - а 2 п + 1 . 2 п + М |
|
|
||||||||
определитель матрицы |
А, |
а оператор Mji(p) |
представляет |
собой |
|||||||
минор определителя D(p), |
получающийся |
при |
вычеркивании |
||||||||
/-го столбца и /-й строки. Из определения |
D(p) |
и Mji(p) |
следует, |
||||||||
что они являются полиномами относительно оператора р, причем степень полинома D(p) всегда выше, чем степень Mji(p).
Отношение
D(p) <!КН'
называют передаточной функцией линейной динамической си стемы для 1-й координаты по /-му воздействию. При р = /со имеем частотную характеристику системы.
Уравнение
D(p) = 0 |
(76) |
называют характеристическим уравнением. Его корни опре деляют характеристики свободных колебаний системы. Число корней ри уравнения (76) равно степени полинома D(p). Сте-
154
пень полинома равна удвоенному числу степеней свободы системы. В общем случае корни уравнения (76) имеют вид
|
|
|
Pk = ak + Р«- |
|
|
|
|
|
Если |
характеристическое |
уравнение |
(76) |
имеет |
только |
|||
четные степени р, то его корни оказываются |
чисто |
мнимыми. |
||||||
При этом |
модули мнимых чисел определяют частоты |
собствен |
||||||
ных колебаний |
системы. |
|
|
|
|
|
||
Вещественная часть корня |
определяет |
затухание |
в |
системе. |
||||
Переходя к определению частного решения |
£в г(0 |
неоднород |
||||||
ного уравнения |
(74), |
необходимо задать |
вид |
функции возму |
||||
щающих |
сил. |
Будем |
полагать, что для |
функций |
возмущений |
|||
существует преобразование |
Лапласа. |
|
|
|
|||||||
Преобразованием Лапласа для функции f(t) |
называют |
||||||||||
функцию F(p) |
комплексного аргумента р |
|
|
|
|||||||
|
|
Ltf{t)] |
|
= |
F{p)=\f(t)e-i*dt. |
|
|
(77) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Зная преобразование |
Лапласа |
F(p), |
можно найти |
ориги |
|||||||
нал — функцию f(t) |
с помощью формулы обращения |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С+ 1аа |
|
|
|
|
|
|
|
№ |
= -±г |
Г |
F(p)e!*dp. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2т |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с— ioo |
|
|
|
|
При р = /со, с = |
0 преобразование Лапласа совпадает |
с пре |
|||||||||
образованием |
Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда t,Bi(t) |
находится по формуле обращения |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
С + 1 0 О |
|
|
|
|
|
|
|
£ в / ( 0 = т т |
\ |
Ф»(р)ЬШе^р, |
|
(78) |
|||||
|
|
|
|
|
|
е.—ioo |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
((?;,) = L (Qci) |
+ |
J |
[(Щ1Р + *п)Ш |
+ ' Ы / ( 0 ) ] ; |
|
|||||
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь L(QCj) |
= |
| QCj(t)e-ptdt |
|
—преобразование Лапласа |
функ- |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— начальные (при t |
= 0) зна |
||
ции возмущающих сил; ?г(0); £i(0) |
|||||||||||
чения переменных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для построения функций t,(t) или z(t) |
необходимо |
вычислить |
|||||||||
интеграл по уравнению |
(78). Интеграл может быть представлен |
||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C+ioo
2ш J D(p)
где D(p)—определитель |
характеристического уравнения; |
М{р) — полином относительно р. |
|
Тогда имеем |
|
|
J = 2 n f ^ ' |
|
|
(79> |
|
|
п |
|
|
|
|
где ph — корни характеристического уравнения (76). |
процесс, |
||||
Описав |
с помощью формулы (79) |
переходный |
|||
можно определить и критерии |
оценки |
подвески |
при |
действии |
|
единичного |
и гармонического |
воздействия. В |
первом случае |
||
необходимо вычислить выражение |
|
|
|
||
оо
J = ^z2{t)dt,
о
во втором — амплитуду переменной (она равна модулю частот ной характеристики, умноженному на амплитуду воздействия). Интеграл / целесообразно вычислять численным интегрирова нием по значениям функции переходного процесса.
Для построения графика переходного процесса прежде всего следует определить преобразование Лапласа для функции воздействия.
Найдем преобразование Лапласа для воздействия в виде синусоидальной неровности. В соответствии с формулой (77) имеем
т
F(p)= |
[ q0 sin vie-P'dt |
= |
— |
[ l _ e - P * ] . |
|
|
,1 |
|
p2 |
+ v2 |
|
|
о |
|
|
|
|
При расчете на случайное воздействие вычисляют дисперсии |
|||||
выходных величин (перемещений, ускорений). |
|
||||
Дисперсия выходной координаты |
равна |
|
|||
|
с о |
оо |
|
|
|
£?(*) = — |
fsv (e))d«D = - |
i - |
[\<S>fl(i<u)\zSQ .(co)dco, |
(80) |
|
|
о |
0 |
|
|
|
где Sy (o>) И SQC J |
— спектральные |
плотности выходной и |
вход |
||
ной координат.
Эта формула является основной в спектральной теории линейных динамических систем.
Для спектральной плотности выходной координаты при при
ложении двух коррелированных воздействий имеем |
|
%(со) = SQci (со)| Ф/ 7 («о)|* + SQck(<a)\Фк1(ш)\2 |
+ |
+ 5 с с / ^ б Н Ф / Д - 1 ш ) Ф , / ( М + 5 с с * , 5 с с / ( ( о ) Ф / 7 ( ш ) Ф « ( - / ( о ) . (81)
Формула (81) легко обобщается на случай любого числа коррелированных воздействий.
156
Интеграл |
(80) может |
быть |
вычислен |
в замкнутом виде. |
|||||
Однако |
это |
громоздко |
и |
целесообразно |
лишь |
в простейших |
|||
случаях. |
При |
расчете |
подрессоренных |
систем |
рекомендуется |
||||
использовать |
численный |
метод |
определения |
среднего |
квадрата |
||||
переменных. Этот метод состоит в том, что множители |Ф,г(/со) | 2 |
|||||||||
и SQij(w) |
в выражении |
(80) вычисляют |
отдельно, затем |
соответ |
|||||
ствующие значения перемножают и полученную функциональную
зависимость численно |
интегрируют |
или планиметрируют |
пло |
||||
щадь под кривой произведения. |
|
|
|
|
|
||
Такой |
способ целесообразен |
по |
следующим |
причинам: |
|||
во-первых, |
он освобождает от |
громоздких |
преобразований, |
||||
связанных |
с вычислением интеграла |
(80); во-вторых, характер |
|||||
протекания |
модуля |
передаточной |
функции |
и |
спектральной |
||
плотности |
воздействия |
в зависимости |
от со представляет |
само |
|||
стоятельный интерес, так как показывает области усиления колебаний при гармоническом воздействии, вызванных резо нансными свойствами системы, области наиболее интенсивного сосредоточения спектра воздействия со стороны случайного микропрофиля, а также их взаимное расположение. Такой качественный анализ позволяет сразу, без вычислений, указать опасные режимы движения машины, поскольку в зависимости от скорости движения форма спектральных характеристик меняет ся и при совпадении максимумов спектральной плотности и модуля передаточной функции следует ожидать наибольшие колебания остова трактора.
Для машин массового производства характерно рассеивание параметров системы подрессоривания (жесткостей упругих связей, коэффициентов демпфирования и т. д.). Кроме того, как было показано в гл. IV, один из видов воздействия на подвеску машины представляет собой сложное статистическое воздейст вие: случайные неровности внутри одного поля и случайная со вокупность полей, где приходится работать данному трактору. Мы показали, что такое воздействие может быть охарактеризо
вано спектральной |
плотностью |
|
|
|
||
|
|
S(co) = pS0(co), |
|
|
(82) |
|
где р — случайная |
величина, |
функция распределения |
которой |
|||
приведена в гл. IV. |
|
|
|
|
||
Итак, при определении среднего квадрата выходной |
коорди |
|||||
наты следует |
рассматривать |
случайными |
передаточную |
функ |
||
цию системы |
и спектральную |
плотность |
воздействия. |
В |
связи |
|
с различным происхождением этих двух |
случайных |
характе |
||||
ристик их можно считать некоррелированными. |
|
|
||||
Подставляя уравнение (82) в уравнение (80) и |
осредняя, |
|||||
получим |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М (С?) = М(р)~ |
^ | Фц(т)\2S0Qc |
/(со)с?со. |
|
(83) |
||
|
|
г! |
|
|
|
|
157
В этом выражении | ФЦ(too) |2 — среднее значение |
квадрата |
модуля передаточной функции. |
|
Если передаточная функция имеет п случайных параметров, |
|
относительные отклонения которых от номинальных |
значений |
обозначим аи то среднее значение квадрата модуля передаточ
ной функции в общем |
случае |
|
|
|
|
СО |
оо |
СО |
|
|
|
| Ф ( ш ) | 2 = j |
j . . . |
\ \Ф(ш, |
a,, |
a2...)\2W{au |
а2 > . ... а„) X |
— о о — оо |
— о о |
|
|
|
|
|
|
х dau da2, |
• • •, dan, |
|
|
где W(ai)—дифференциальная |
плотность |
распределения си |
|||
стемы случайных величин си.
Формула (83), определяющая математическое ожидание дисперсии, полностью не определяет эффект рассеивания воз действия. Поэтому необходимо построить более полную характе
ристику дисперсии |
—плотность распределения вероятностей. |
|
Подставляя |
уравнение |
(82) в уравнение (80), можно предста |
вить среднее |
значение |
квадрата в виде произведения случайной |
величины р на неслучайную функцию (£?)о:
£?(/) = Р (£?)„• '
Рассматривая Z,\ (t) как функцию случайной величины р, по лучим
W(lJ) = |
w{^—\-±—. |
\ |
(С?)о / (ь2 )„ |
Расчеты автора по этому поводу, учитывающие только рассеивание жесткости упругих элементов подвески гусеничного трактора, показали, что среднеквадратичные значения ускоре ний могут изменяться в 1,5—2 раза.
Рассмотрим методы анализа нелинейных систем подрессоривания.
Дифференциальные уравнения колебаний подрессоренных систем тракторов даже в самом простейшем случае достаточно сложны и поэтому получить решения в замкнутом виде, как правило, не удается. Это вызывает необходимость использова ния численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Можно предложить способы анализа нелинейных подвесок тракторов для двух видов воздействий: единичного и случайного. Гармоническое воздействие рассматривается как частный случай случайного. Для определения движения нели нейной подрессоренной системы при единичном возмущении, поскольку используются численные методы, целесообразно применить точный метод интегрирования — метод «сшивания» решений. Обычно нелинейности в подвесках тракторов можно
158