Файл: Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf

В зоне I (г0 < г

<Гс)

Ѵв l

dr2

r dr

= 0.

(IV .6.1)

r

" * M ) U . = 0;

(ІѴ.6.2)

и* (г, O U

= » , -

( І Ѵ - 6 - 2 ' )

В зоне

I I ( r , < r <

R)

S

hi

(¥a

- j . _ L ÈL

"his.

— ,

(ІѴ.6.3)

Ув

\дг*

r

du

г

1+6ср dt

v

где

kir—коэффициент

фильтрации

грунта в

горизон­

тальном направлении в зоне //;

и— избыточное поровое давление в зоне //;

а—

коэффициент сжимаемости.

Уравнение

(ІѴ.6.3)

представим

в

следующем виде:

£ =

C (

^

+

J -

*

ï-is),

(ІѴ.6.4)

где

dt

\âr2

r

dr

r

k„{

1

du

= 0:

—

^ — I,

Ув

dr

(IV.6.5)

dr

= Y* hl ]

U s =

" r = v

(IV.6.6)

S

5

M Ï - ^ k - M F - ' - ' . k -

( , V - 6 J )

Условие (IV.6.6) соответствует

условию (IV .6.2').

Начальное условие в зоне //:

« М ) | , = 0

= « Н А Ч .

( І Ѵ . 6 . 8 )

Решение уравнения (ІѴ.6.1)

при граничных

условиях

(ІѴ.6.2) имеет вид

дг2

г дг

г

Подстановкой в уравнение

Z-—

—

— —

дг ' дг2

дг

понижаем его порядок и получаем

решение в виде

ди*

.

. Сі

ИЛИ

дг

г

" * = \ (ѵ- «о + 7") Л- +

С 2 =

YB t0

г +

C T In г + С , .

( І Ѵ . 6 . 9 )

Подставив граничные условия (ІѴ.6.2) в

(ІѴ.6.9),

найдем

О = Увіо^о + Ci In r0

+ C2,

а с учетом

"s =

Ѵв г'о rs

+

C1 In rs + C,.

Решая систему

последних

двух

уравнений,

получим

и3 = Тв »о (г, ~ го)

+

Q (In rs — In r„),

где

d

= M

s ~ Y b ' °

^JZ£g)f

(IV.6.10)

I n - ^

а затем найдем

C2 = - y B i 0 r 0

- U 5

Y g

' o

( r s

~ r o ) lnrQ .

(1V.6.11)

ft

In

—

и* =

YB іо г

- щ

~

У

в

'"°( r s ~ Г о )

In Г -

Y B to Го

-

Г0

Щ —

YB »O (/"s — r„)

,

,

ш г 0

Го

In

—

К* = YB to (Г -

r0 ) + ( « S - YB h S)

^ .

( I V . 6 . 1 2 )

r 0

где s = rs—

r0,

a « s

ищется из уравнения

(IV.6.4)

описанным

ниже спо­

собом.

В

области / /

(см.

рис.

IV.7)

решение

уравнения

(ІѴ.6.4)

ищется

в виде

суммы двух

функций

и

(rt) =

W

(rt)

+

YB іо

(г

-

Г о ) ,

(IV . 6 . 13 )

причем

(IV.6.13)

должно

удовлетворять -.уравнению

(ІѴ.6.4), т.

е.

е

( ^ +

± . £ +

Л . т

. , _ ^ ) _ £ .

„ Ѵ . , , 4 ,

и граничному условию

ЛИ7

I

-^-[W(rt)

+

i i 0

( r - r 0 ) }

y i

r = R = ^ -

+

YB І0

=

YB Іо,

(IV.6.15)

а функция

W(rt)

должна

удовлетворять уравнению

dW

= c

( dW

, 1 dW \

/ I W c 1 С ч

dt

\

dr*

r

dr

I

(IV.6.16)

x

и граничному условию

= 0.

(ІѴ.6.17)

Кроме

того, на

границе

r = rs

должны

выполняться сле­

дующие условия:

и' \ r = r s

= Г

(rt)\r=rs

+ YB

*о (/", -

r0)

(IV.6.18)

du'

=

k.

\dJL

+ yJo — Y» h-

àr

Y=rs Ѵ в ' о ]

"и

[ d r

(IV.6.19)

Начальное условие (IV.6.8)

для функции

W(rt) сле­

дует записать в виде

W

(rt) Uo = "нач -

YB і0 [г -r0)=f

(r).

(IV.6.20)

W (rt) = е~спН

[AJQ (nr) + BY0 (пг)],

(ІѴ.6.21)

где J0(nr)—функция

Бесселя

нулевого

порядка;

Ya(nr)—

функция

Неймана

нулевого

порядка.

dW(rt)

= е -спН

[— nAJt (nr) — nBYx (пг)]. (ІѴ.6.22)

дг

0

= AJ1(nR)

+

BY1(nr),

В

Yt(nR)

Подставим значение В в (IV.6.2I) и найдем

W

(rt) = Ае~тЧ

\j0

(nr) -

£

Ä

Y0

(nr)],

(IV.6.23)

Y l

(ПК)

J

ИЛИ

W(rt)

=

Ae-cnHU0(nr),

(IV.6.24)

где

U о (nr) =

J о (nr) —

Уi

Y0

(nr).

(IV.6.24')

(nR)

Таким образом,

" (rt) = 7в t0

(r — r0)

+ W (r,t)

= 7 B

t0

(r — r„) +

- f

Aé~cnHU0

(nr).

(IV.6.25)

Подставив

r = rs

в

(ІѴ.6.25), а полученное этой под­

становкой выражение в (ІѴ.6.12), найдем

w* И

-

Ув

h (r -

г0 ) +

Ae-cnHU0

(nrs) —

•

(ІѴ.6.26)

] п - ^

Используем условие (ІѴ.6.7), для чего из (ІѴ.6.26)

найдем

dU*

=yBio

+

Ae-^U0(nrs)-±

(ІѴ.6.27)

дг

г In

а из выражения (ІѴ.6.25)

du

(IV.6.28)

or

где

Uj, (nr) =

J1

(nr) — A £ * >

Yx (nr).

(IV.6.29)

Так как по условию

(IV.6.7)

du

. 1

,

Г

du

dr

r = r s

J

" [

dr

r=rs

Ï B

°y

то с учетом

выражений

(ІѴ.6.27) и (ІѴ.6.28)

получим

у в / о + Ае~спНий(пгѣ)

l—

Уь

h

=

hi

[Тв to —

Ane

cnH

Ui (nrs)

— ув

to],

Ak,

e~cnHU0

(nrs)

=

-

Akn

e'^'nU,

(nrs),

rs In-