Файл: Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf

При ki =kn

1 — V0{nrs)

+ Vl(nrs) =

0.

nr, ln —

Обозначив Ѳ =

—

,

получим

kunrs\n —

W0(nrj+

1

/ ^

= 0,

(IV.6.30)

ляются собственные числа tii, п2 ,

пк ...

(IV.6.16)

отно­

Таким

образом,

решение

уравнения

сительно

W(r,

t) следует

искать

в виде

ряда

W{r,t)

= Z AkU0(nkr)e

-сп2і

.

(IV.6.31)

k

Можно доказать,

что функции

Uo(nkr)

ортогональны

с весом г на интервале

[rs

R],

т. е., что

J rU0 (nh r) U0

(л, r) dr =

0

при k=f= i.

(IV.6.32)

Докажем это равенство:

j

rU0

(nfcr) Uu (n,r) dr=

J r

[7e

(«*r) -

6fc

F 0 (nfer)] X

Л

X [J0

{Ht r) — Ä/ F e

(n,r)] dr

=

R

— Л£ [ r/o (nf t r) F 0

(n,r) dr — kk

j

r / 0

(nkr)

dr

=

s

's

( К Л К ' )

- L i («ir )

-

V - i

К ' )

^oK ')] +

Пь — П,

-

*, [я, П

(я* О У . ,

(n, г) -

пк

У_, (я, г ) Y0

[nt

r )]

-

~К

[ni Yo

К ' )

Y - \ { n i r ) - n k Y - i

K O F

- i

("<r)l*

R

s

2

1

2

{л, rsU0 (nk

r,) t/! (л, rs) — nk

rs

Ut

(nk rs) UQ ( я , г , ) } =

"ь

— ni

l

{--я,

rs Ѳ,- UQ

(nk rs) U0

(я,- rs )

+

+

" a

б*

( " a rt)

U0

(я, rs)) =

0.

Так

как

U1

{nR) = 0,

Vx

(я, rs)

=

-

Ѳ, U0 (nt

rs),

то Ux (nkrs)

=

= —

QkU0(nkrs);

П(л*А)

'

k

Yi(nkR)

'

Выражения

для

^ ( я ^ )

и

U\(nkrs)

получены

из

уравнения

(IV.6.30).

Для определения коэффициентов Ак

воспользуемся

начальным

условием

(ІѴ.6.20). С учетом

этого

условия

при ^ = 0

ряд

(IV.6.32)

будет

иметь

следующий

вид:

оо

AkU0(nkr),

/ ( г ) =

S

ft=i

откуда

R

Ak

=

J rf (r)

U0

(nk

r)

dr

.

(IV.6.33)

J

<

M d

r

rs

Так как функция f (г)

оказывается разложенной в ряд

по системе

ортогональных

функций,

то

решение задачи

в зоне / / мы получим в

виде

u=yj0

(г — г0 ) +

W (r,t) =

YB і0

( г

— r0 ) +

R

»

J rf

(r)

UB (пяг) dr

R

I1=§rUÎ(nkr)dr

= {-£

[(Uoin^r-U.MU^r)]]^

2

2

=

- f " )] Vo(nkR] У-

7 -

[U0 {nkrs)Y-

£ [Ux (nk

rs)} \ (IV.6.35)

Воспользовавшись

вронскианом

функций

Jo(x) и

Yo{x), упростим

выражение

Ul(nkR):

J1(x)Y0(x)-J0(x)Y1(x)

=

- 2 -

,

на основании (ІѴ.6.24') получим

яд:

(/„ ( л ^ )

- — - Ц -

[Л (я*/?)

(л*/?) -

-Л(л*/?)^о(я*/?)]

= -

2

1

'

nnkR

F i (/г/г/?)

а

интеграл

,

Д 2

4

1

''s

Т Т 2 ,

ч

' і

= - Г " -

Г Т -

Г - 7 7 — 7 -

"TT"

U<> ("ft

О

"

2

n>n2R2

Y\[nhR)

2

2

—

'

—

(nkrs)

— Ui

(nkrs)

(IV.6.36)

Второй

интеграл

R

h = J

rf (r) U0 (nkr)

dr =

(um4

+ y B i0 r0) н —

YB »0 h,

15—1

225

где

h

=

f rU0

(nkr) dr

=

—Ut

(tikr)

=-B-Ux

(nkR)

.Il

i2

R

r*U0(nkr)dr.

==

j

Выражение для

i 2 интегрируем

по

частям:

u=r;

du =

dr;

du = rU0

(nkr) dr;

v=$rU0

(nkr) dr = —

Ux

(nkr);

R

к =

У*и0{пкг)аг

=

R

R

=

—

Vi(nkr)

-\rUx(nkr)dr

=

= _ І і . г / і ( я л ) + _ і г [ / в ( Я 4 Г )

"ft

я?

К

- V -

I i/o ІЧг) аг^-^-иг

(nkrs)

+

R

R

+

4 - fco (nhR)

-

-^-UQ

(nkrs) -~y-[u0

(nkr) dr,

nk

J

4

nk

J