Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 242

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

определяется как

Ex[g(X)

 

I У = У}=

00

со

g(x)f(x\y)dx1...dxn.

 

 

 

 

f

••• J

 

 

(3-17)

 

 

 

 

 

— 0 0 — 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Индекс X при Е означает,

что операция

усреднения,

т. е. интегрирования,

проводится

 

 

 

 

 

относительно X. Этот индекс здесь

 

 

 

 

 

можно

опустить, не опасаясь не­

 

 

 

 

 

доразумений.

Однако

в

некото­

 

 

 

 

 

рых случаях

подобный индекс яв­

 

 

 

 

 

ляется существенным для обозна­

 

 

 

 

 

чения требуемых операций.

 

 

 

 

 

 

 

 

Условное

математическое

ожи­

 

 

Условная ди­

дание

X при условии

Y — y

 

 

Рис. 3-6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сперсия.

 

 

 

 

 

Е(Х

I у)=

J

... j

xf(x

I y)dxt

...dxn

 

(3-18)

а соответствующая

условная

 

корреляционная

 

матрица

 

 

Рх\у

= Ех №-Е(Х\у)][Х-Е(Х\

 

 

у)}'} =

 

 

 

00

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J .. . j

[х~Е(Х

I у)][х-Е(Х

| y)]'f(x

| y)dx,

...dxn.

— 0 0

— 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-19)

 

Пример 3-4. Определим Е(Х\у)

и Р(Х\у)

 

 

 

 

для условной

плотно­

сти

распределения из примера

3-2. Согласно

(3-18) в этом случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 K l

 

dx =

Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этого

результата

можно

было

ожидать

на

основании

рис. 3-5

к примеру 3-2, откуда

видно,

что все плотности

распределения

вида

f(x\y)

являются равномерными

и симметричными относительно

нуля

функциями X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

(3-19) здесь примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х\у-

 

ѴіС— и*

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 K l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

— 'ls£z/s ;і.

Условная

дисперсия

изображена

на рис. 3-6 в

виде

функции у 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7—85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97

Поскольку случайные величины Л" и У связаны, понятно, что зна­

ние значения

У позволяет судить

о соответствующем значении X.

В частности, можно считать Е(Х\у)

оценкой X в предположении, что

известно значение

У. Более

того,

поскольку

fx/у

является мерой

отклонения X от его условного математического ожидания, можно

использовать

условную

дисперсию Pxjy

и л и

квадратный

корень из

нее, условное

стандартное отклонение, как меру качества оценки. На­

пример, при

Y=y=\

оценка

вида

X = £ ( J | 1 ) = 0

является оценкой

с нулевой дисперсией, а при

У=у = 1/2,

Ä"'=0 — оценкой

с диспер­

сией 1/4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства

условного

математического

ожидания

Пусть

X,

Y и

Z — случайные

векторы, для

которых

существуют все необходимые плотности распределения. Тогда

1. Ex[g(X)\X~x]

 

= g(x).

 

 

 

 

2. Ex(AX\Y=y)=AEx(X\Y=y),

рХп.

 

где

* —«-вектор,

а А — матрица

размера

 

 

 

 

3.

EXY(X+Y\Z=z)=Ex(X\Z=z)+Ey(Y\Z

 

= z),

где

X и

У — «-векторы,

a Z — т-вектор.

 

 

4. EY[Ex(X\Y

= y)]=Ex{X),

 

где X — «-вектор, а

У—

т-вектор.

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство этих свойств сравнительно просто и

поэтому

оставлено

читателю

в

качестве

упражнения.

Можно

также

показать,

что

условное математическое

ожидание Е(Х\у)

определяется

однозначно (Л. 3-5].

 

Все эти свойства условного математического ожида­ ния будут неоднократно использоваться в дальнейшем.

Характеристическая

функция

 

 

 

 

Характеристическая

функция

ц>х (s)

 

случайного

«-вектора X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

00

 

 

 

 

<?х (s) =

Е(e,x's

) =

J

.. • Ç elx'sf (JC)dx,

... dxn,

(3-20)

 

 

 

— 0 0 — 0 0

 

 

 

 

где /==}/"— 1, a

5 — /2-вектор. Заметим,

что

9 ^ ( 5 ) — с к а ­

лярная функция

s.

 

 

 

 

 

 

Согласно

теории

преобразования

Фурье

преобразо­

вание, обратное (3-20), имеет вид:

 

 

 

 

 

 

00

 

001

 

 

 

 

/ W

= ^

^..$e->s'x?x(s)dSl..:dsn.

 

 

 

(3-21)

—00 —OP

98

Аналогично

совместная характеристическая

функций

случайных векторов X и У, имеющих соответственно

раз­

мерности

пит,

 

определяется

 

как

 

 

 

 

 

00

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

j

. . . j eilix's+v'r)f(x,y)dx1...dxndy1...dyni,

 

(3-22)

 

 

— 0 0 — 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

где

s — я-вектор,

а г — m-вектор. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со 4

'

[со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 0 0

 

— 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... dsndr1 ...

dr„

 

(3-23)

Очевидно,

уравнения

(3-22) и (3-23) можно

приве­

сти

к

тому же

виду, что и уравнения (3-20)

и

(3-21),

если

ввести

(п+т)-мерные

векторы

 

 

 

 

 

 

Z

=

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец,

условная

характеристическая

функция

X

при

условии

У = г/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

j

. . . J *>'7(х

I

y)dxl...dxn.

 

 

 

 

 

 

 

—oo

—oo

 

 

 

 

 

 

 

Обратное

преобразование

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 0 0

 

— 0 0

 

 

 

 

 

Характеристическая функция полезна в задачах опре­ деления закона распределения функции от случайного вектора по его вероятностному описанию. В § 3-5 будет показано, что характеристическая функция является чрезвычайно мощным средством для этой цели.

Пока проиллюстрируем использование характеристи­ ческой функции следующим простым примером.

7*

99

Пример 3-5. Пусть X, х и s — скаляры, причем X — гауссовская случайная величина с плотностью распределения

а у 2п

где о">0 (гауссовское распределение вероятностей специально иссле­ дуется в § 3-5). Пусть X является входным сигналом квадратичного детектора, выходной сигнал которого имеет вид

У=аХ 2 , а > 0 .

Требуется определить плотность распределения f y (у) выходного

сигнала.

Из уравнения (3-20) и из соотношения У = аХг имеем:

Чу (s) = Е (e1Ys) = Е {е>аХЧ) = f е'ахЧ — ~ е 2 Ф dx =

— 00

00 JC*_

О

Однако # = ах 2 и dy = 2axdx = 2 Кса/ rfx. Следовательно,

 

¥у (s) =

 

«'»• —

1

 

1 2<ів»

ûf(/

 

 

 

 

і Т ^ " е

 

*У

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

2аа»

 

 

 

 

 

 

 

J

 

s к 2гса(/

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

Замечая, что из соотношения

Y =

аХ2

при а > 0 следует, что

Y Зг 0,

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

2аи>

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

h (У) = {

I / O — •

Е С Л И

# > °;

 

 

 

 

 

0 в остальных

точках.

 

 

3-4. НЕЗАВИСИМОСТЬ И КОРРЕЛЯЦИЯ

 

 

 

Независимые

 

события,

случайные

величины

 

 

и случайные

 

векторы

 

 

 

 

 

Два события A,

B ΠQ

называют взаимно

независи­

мыми,

если

Р(АГ\В)

=

Р(А)Р(В).

 

 

 

 

 

 

100

Смотрите также файлы