Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 240

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для n-мерного случая имеем:

 

 

 

0.

если

xt

<

at

хотя

бы для

одного

/;

F (*)

=

п

— « і

где ç t =

x t ,

если

at <,xt<bt и Ç 1 = 6 1 ,

 

 

 

 

 

і=1

 

если

xt

>

ftt;

 

 

 

 

 

 

 

если

xt

<

a t

хотя

бы для

одного

i;

f(*)

= п

— at •

если a t ^ x t ^ b t ;

для всех

г;

 

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

если

xt

>

&І для всех Л

 

 

 

 

 

 

 

 

Из двух последних выражений легко получить маргинальные функции распределения и плотности распределения вероятностей ком­ понент вектора X.

Пусть X— случайный я-вектор, х — произвольный /г-вектор, Y — случайный m-вектор, а у— произвольный m-вектор. Согласно уравнению (3-2), выражение

F(x,

 

у)=Р(Х^хи

.... Хп^хп,

Y i < j f i ; . . .

 

 

 

 

 

Ym^ym)=P(X^x,

 

Y^y)

 

 

определяет

совместную функцию

распределения

веро­

ятностей X

и Y.

 

 

 

 

 

 

 

Совместная

плотность

распределения

вероятностей

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если она

существует.

 

 

 

 

 

( 3 ' 5 )

 

 

 

 

 

 

Легко

установить следующие

свойства

совместного

распределения

вероятностей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

г о

 

 

 

 

 

 

 

—oo

—oo —oo —со

 

 

 

 

 

 

 

J . . . ] f(5,CVÄt ...dWC1 ...rfC«

=

l ;

 

 

—00

—00

 

 

 

 

 

 

 

 

P(X<x;

a<Y<b)=

j

. . . j

j . . .

 

 

 

 

 

 

 

—00

—oo o,

 

 

 

 

. . .

J

f (6.QÄ,

... a\dZ,...

rfC,,

 

(3-6)

88

где g— вектор;

 

£ — m-вектор;

а

и

Ъ — произвольные

т-векторы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маргинальные функцию распределения и плотность

распределения

также

легко получить:

 

 

Р{Х'<х)

=

Р(Х<х,

Y<oo)

=

F{x,

 

oo)àFx(x).

Предполагая,

что функция

F

дифференцируема по

всем ХІ, і = 1 , ...,

п, имеем:

 

 

 

 

 

f / у ч _

à»F(x.co)

д»

 

Г

X,

хп

00

 

 

С

С

Іх\л>—

дх,

... дхп

— дхх ...

дхп

)

••• J

J

 

 

 

 

 

 

—ОО

—00 —00

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

. .. j" / ( e , Q Ä 1 . . . r f 6 „ Ä 1 . . . Ä „ =

—ОО

 

 

ОО

00

 

 

 

 

 

 

 

 

=

j

. .

.

j "

Я(-ж. OrfC, ...

rfCm.

(3-

 

 

—00

—со

 

 

 

 

 

 

 

Точно таким

же

образом.

 

 

 

 

 

fr{y)=

 

J ...

J

f(Ü,

y)Л, . . . Ä n .

 

(3-8)

 

 

 

 

—00

—00

 

 

 

 

 

Условное

распределение

вероятностей

и

 

 

условная

плотность

 

распределения

 

 

 

В последующих главах данной книги большое зна- *

 

чение имеет понятие условной вероятности, отражающее

 

то обстоятельство,

что в

общем

случае

распределение

 

вероятностей события может зависеть от

того,

произо­

 

шло или не произошло некоторое

другое

событие.

 

Для определения этого понятия рассмотрим два со­ бытия А и В из выборочного пространства Й. Вероят­

ность того,

что произойдут

оба

события А и В,

равна

Р(А Ç) В),

а

вероятность

того,

что

произойдет

одно

событие В,

равна Р(В).

Обозначим

условную вероят­

ность А при условии, что В

произошло, через Р(А\В) и

определим

ее

соотношением

 

 

 

 

 

 

Р(А\В)=

 

Р < р £ } В )

 

(3-9)

в предположении, что

Р(В)ФО.

 

 

 

С точки зрения относительной частоты события это определение можно получить следующим естественным образом.

 

Пусть

эксперимент

повторяется

N

раз.

Обозначим

N (В) — число

событий

В, а

N (A f)B)

— событий

А Г) В (в

предположении,

что это

множество не пустсе) из N

экс­

периментов. Из

общих соображений можно предполо кить,

что

для

большого N

вероятность

Р (А

\ В)

ведет

себя

как

отношение

N {A Ç) B)jN

(В).

Замечая,

что

 

 

 

 

 

 

 

N (Af]B)

 

N (А

П

B)/N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (В)

~

N{B)/N

'

 

 

 

 

получим определение (3-9).

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь

пусть

f(x,

у)

обозначает

совместную

плот­

ность

распределения

 

случайных векторов X и У,

а fy(y)—маргинальную

 

плотность

распределения

[см.

уравнение

(3-8)], причем обе эти

функции

непрерывны.

Кроме того, пусть А означает событие Х^х,

а

В—собы­

тие у<С Y^:y

+ ày,

где X — м-вектор, а уиДг/—

ш-векторы

(Дг/і>0,

і = 1, ...,

m).

Согласно

уравнению

(3-9)

 

Р(Х<х\

 

у < Г < г / +

Дг/) =

 

p {

y < Y

< y

+ АУ)

•

 

С помощью

уравнений (3-4) и (3-6) получим:

 

 

 

 

 

 

Р(Х<х\

 

у<У<у

 

+

ау)

=

 

 

 

 

j

. . .

j

 

j . . .

j

 

 

 

f(l.K)dl1...dln<Kl...dïm

 

Используя теорему о среднем и полагая Ауі—»-0,

..., m, получаем:

P ( X < x I y = Y)=-°°

~°° f y ( y )

если fY{y)^=0.

,(3-10)

•

90

Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x

I Y = y)àP(X<x

 

I Y = y)

 

 

 

называется

условной

 

функцией

распределения

 

вероятно­

стей X при условии

У. Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, .

,

N

dnF(x\\Y=y)

 

 

 

 

называется

условной

 

плотностью

распределения

вероят­

ностей X при условии

У. Из определения и из уравнения

(3-10)

ясно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-11)

где для простоты в функции fY

(у)

опущен

индекс

У.

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ Ы - Ф

.f(x.y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(*)

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где f(x)=fx(x).

 

Этот

результат,

называемый

формулой

Байеса,

будет

неоднократно

использоваться

в

дальней-

шем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что если

функ­

 

 

 

 

 

 

 

 

ция f(x, у)

известна, то

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

и f(y)

можно вычислить, ис­

 

 

 

 

 

 

 

 

пользуя

уравнения

(3-7) и

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-8). Тогда f(x\y)

 

и

f(y\x)

 

 

 

 

 

 

 

 

можно

получить

сразу

из

 

 

 

 

 

 

 

 

формулы

Байеса. Проиллю­

 

 

 

 

 

 

 

 

стрируем

это на следующем

 

 

 

 

 

 

 

 

примере.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

3-2.

Предположим,

 

Рис. 3-4. К примеру 3-2.

 

что X и у — скаляры с цилиндри­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ческой совместной

функцией

плот­

 

 

 

 

 

 

 

 

ности

распределения

вероятностей,

 

изображенной на

рис. 3-4,

т. е.

 

 

 

f (X, У) :

 

для

X2

+

у2 <

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

в остальных

точках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵй

91

Смотрите также файлы