Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

положим, что

эксперимент

повторяется большое число

раз

(ІѴ раз)

и х1 — значение,

принимаемое случайным

л-вектором X

в і-м испытании. Тогда,

усредняя значение

X по N испытаниям, для

некоторого

достаточно

малого

л-вектора Ах1

получаем:

S x j N (xj

<

X <

xi + Ах*)

i

где

N (x^Xg^xi+Ax*)—число

экспериментов,

при ко­

величина

N (х*^Х^.х*+'Ах*)/Ы

при увеличении N стре­

мится к

вероятности

Р(хі^:Х^.хі+Ахі),

равной

[х(х*)Ах{

с точностью до

членов

первого

порядка по

Ах1, то

H ^ 7 ( j c * )

àx\

i

странстве, то X будет центром

распределенной

массы.

Иными

словами, Е(Х)

является

первым

моментом

плот­

ности

распределения.

(X—х)',

Если принять g(X)

= (X—x)

то можно

полу­

чить выражение

00

оо

- x) (x -

Е [(X — х)(Х

— x)'] = j

... j (x

—00

—00

— x)'f(x)dxl...dxw

(3-14)

ра

пХп.

Это

математическое

ожидание называют

кор­

реляционной

матрицей X

и

обычно обозначают

Рхх,

Рхх

или Р (последнее обозначение используют, если яс­

но, к какому

случайному вектору относится матрица).

Если считать f(x) функцией плотности распределения

массы в n-мерном евклидовом

пространстве,

то матрица

Р

будет

вторым моментом

распределенной

массы

отно-

ситбльно

центра

тяжести. Поэтому ее часто

называют

вторым

центральным

моментом

или корреляционным

мо­

ментом

X.

Р определяется

Каждый

элемент

матрицы

выраже­

нием

со

со

Р ц =

I " ' j ^ Х і ~ ( X j ~ х ^ ï ^ d x l

' ' ' d x n

=

—со

—оо

со

= j J

{Xi ~

Xi) {Xj — Xä) fx ^ (Хіг

Xj)

dXidXj

—CO

для t, / = 1 , ..., п. Если і = / , то получим

выражение

00

Р і і ~ И ^ X i

~ " ^

—00

fx

(ХІ) > 0

Эта

величина

неотрицательна, так как

для всех ХІ. В то же время элемент рц, ІФ\

г

может

быть

Элемент рц называется

дисперсией

случайной

вели­

чины ХІ, а его квадратный

корень — стандартным

откло­

нением.

Элемент рц, іф\

называют

корреляцией

слу­

чайных

величин ХІ и Xj.

Если

дисперсия случайной величины является

мерой

компонент вектора

X. Однако недиагональные элементы

имеют иную

природу,

они являются

мерой

взаимосвязи

или корреляции

между

парами

случайных

величин ХІ

И

XJ; і, / = 1, ..., п, іф].

(Более подробно понятие

корре­

ляции рассматривается

в § 3-4.)

(3-14) матрица Р

Заметим,

что в силу определения

неотрицательно

определена. Это следует из того, что вы­

ражение под интегралом

(х—х)

(х—х)'

представляет

собой неотрицательно

определенную

матрицу, a

f(x)^

для всех x.

Р

Заметим

также, что

возможно

представление

в виде

00

00

Р=

Ç . . . J xx'f(x)dx,...dxn

— xx'.

(3-15)

PXY

= E[(X-x)(Y-m

=

ОО

00

= S • • • $

( х ~ х)

(У ~

ѴУ î ( х - У) d x i ••• dxndy, ... dym

(3-16)

— 00

— 0 0

взаимную

корреляционную

матрицу

X

и

Y.

определяет

В уравнении (3-16) х — «-вектор, у — m-вектор; f(x,

у)

—

совместная

плотность

распределения X

и У; х = Е(х);

и

у = Е(у).

Очевидно, матрица Рху имеет

размер

пХт

и

момента.

Обычно

же для

такого описания требуются

моменты

высшего

порядка, т. е. моменты Л* и Xj поряд­

ка r = k + l, определяемые

соотношением

СО

00

— 00

— 0 0

•<*і+*І>

f (x) = f (х,, х г ) =

< 4 х і * * *

ДЛЯ X,,

ХгЗгО;

Тогда

в остальных

точках.

J

х,х2<?

1

2

dXldx2.

Отсюда

Яо

-(л:2

+

х\х2е

X2)

1

2

dx,dx2 :

?

-х1 * Г 2 - • * ? .

1

Ѵт.

\ х2е

ах2

\ х\е

аХі

=

4- т^-

о