Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

x(k+l)=a>(k+l,

k)x(k)+T(k+l,

k)w(k);

(4-46)

w(k+l)=e(k+l,

k)w(k)+A(k+l,

k)l(k)

(4-47)

для k = Q, 1,

где

X — п-вектор;

w— р-вектор;

| —

9-вектор.

Матрицы

Ф(/г+1,

k), T(k+l,

k),

®{k+\,

k)

и A(k+\,

k) имеют размеры

nXn,

nXp,

pXp

и

pXq,

соответственно. Пусть

x — вектор

состояния,

a w—

воз­

мущение

системы.

w(0)

Предположим,

что

х(0)

и

имеют

совместное

гауссовское распределение с параметрами

Е[х(0)]

= х(0);

E[w(0)]

= w(0);

Е {[x(0)-x

(0)][х(0)-x

(0)]'} = Рхх(0)

;

E{[w(0)-w(0)]{w(0)-w(0)]'}

=

Pww(0);

Е {[x(0)-x(0)]{w(0)-~w(0)]'}

= Pxw(0).

Кроме

того, предположим,

что

(|(&), /г = 0,

1

. . . }

висимой от

х(0)

и

w(0),

с известными

математическим

ожиданием и корреляционной

матрицей.

Очевидно, {w(k),

& = 0,

1 . . . } является

гауссовской

марковской

последовательностью. Следовательно,

урав­

нение (4-46), имеющее

ту

же форму,

что

и

уравнение

(4-28), описывает

систему

с

возмущением

в

виде

гаус­

стемы

является

частным

случаем

коррелированного

случайного

процесса.

{x(k),

Проще

всего

убедиться

в

том,

что

процесс

k = 0,

1 . . . } представляет собой

гауссовскую

марковскую

последовательность

второго

порядка,

рассматривая

структурную

схему

системы

(4-46), (4-47), изображен­

ную

на рис. 4-8.

Система

со входом | ( £ ) и выходом

x(k+\),

очевидно,

второго

порядка.

Поэтому,

так

как

х(0)

и

w(0)

имеют совместное

гауссовское

распределе­

ние, а

{£(&),

k = 0,

1 . . . } — гауссовская

белая

последо­

вательность, независимая от начальных

условий, случай­

ный процесс [x(k), k = 0, 1 . . . } имеет те

же свойства, что

и

Процесс, описываемый

уравнением

(4-42), а именно,

он

является

гауссовской

марковской

последователь­

ностью второго порядка.

û(k+1,k)

іи(к+і)

+4>

ш(к)

Ѳ(к+1,к)

53

\т(м,к)\

+

xfk+1)

х(к)

БЗ

Ф(к+ик)

Рис. 4-8. Структурная схема системы (4-46), (4-47).

Наконец,

легко показать, что процесс {x*(k),

& = 0,

1 . . . } , где X*

— (и+р)-мерный вектор

вида

E[w{t)] = w{t)

и матричной корреляционной функцией вида

Е {[w (Z.)-w У) ] [w (т) -W

(%)}'} = Q (t) ô

(t-x),

где to — известное начальное

время; t, x'^to,

Q{t)—не­

ключения

становится произвольно большой.

Пусть

{w(k), k = 0, 1 . . . } — гауссовская белая после­

ляционной

функцией

E[w(j)w'(k)]=Q(k)-6jk;

j , & = 0,

1,

где

расстояние

между последовательными

момен­

тами отсчетов во множестве индексов

времени

At>0.

Пусть

/ обозначает непрерывное время,

to

соответствует

k — 0,

а А соответствует k = N. Тогда

t{ = to+'NAt или, что

то же самое, NAt = t\—to-

значения. N{w(N~>(t),

Пусть

для некоторого заданного

to^.t^ti}

обозначает

кусочно-постоянную

гауссовскую

цесса

{w(k),

k = 0,

1 . . . } считается

нулевым просто из

соображений

удобства.

Полагая /4 постоянным с ростом N, так что

NAt = ti—/o = const,

исследуем поведение процесса {wiN)

(t), t0<t<t1}.

В пре­

деле

при N-—ѵоо

интервал At—>-0,

т. е. частота

пере­

причем

каждая

составляющая

процесса

действует

на

одну и

только

одну

частицу. Полагая,

что

каждая

ча-

Г ~ і

° — . • •

Г ~ |

а

,/

!

j

,f

• •

j

!

L

_

к

[2

\3

1

j

N

,

to

j

1

1

j

1

1 — J

} — 1

1

1

t,

t

-ЧЛі

И

i

î

c—1

Рис. 4-9. Компонента выборочной функции

кусочно-постоянной

гауссовской белой по­

следовательности.

стица

имеет

нулевую

начальную

скорость

и возмож­

ность

только

прямолинейного

движения,

имеем:

ѵ = да(Д°

(О

отношения

следует,

что вектор

ѵ(4)

также гауссовский.

Ясно, что

£{ѵ(*і)] =

0,

поскольку

по предположению E[w{N)

(t0 -\- iAt)} = 0

для

всех і = 0,

1 , N

— 1,