Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 253

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Не исключается возможность, что процессы

{w(k),

k^I)

и {v(k+\),

kŒl}

взаимно

коррелированы,

т. е.:

E{[w(j+l)—w{j+l)][u(k+l)—v{k+l)]'}

 

 

=

 

S{k+l)öjk,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4-41)

для

/, k = 0,

1, . . . ,

где S(k+

1) — взаимная корреляцион­

ная

матрица

размера

рХт.

В

большей

части

дальней­

шей работы рассматривается только случай

S ( é + 1 ) = 0

для

всех k.

Однако

иногда

в

рассуждениях,

а

также

в предлагаемых

задачах

затрагивается

и более

общий

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ(к+1)

 

 

 

 

 

х(к+1):

 

Н(к+!)

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4-6. Модель

дискретной линейной

измерительной

системы.

случай. В любом случае модель измерений имеет струк­ турную схему, приведенную на рис. 4-6.

Причины

выбора линейной структуры

уравнения

модели измерения (4-38)

совпадают с причинами вы­

бора

линейного уравнения

модели

динэхмики системы

(4-28).

 

 

 

 

По

тем же

причинам, по каким

процесс

возмущения

считается гауссовский и белым, ошибка измерения так­ же считается гауссовской белой последовательностью. В модели измерения предполагается, что ошибки изме рения, проделанного в какой-либо момент времени, не зависят от ошибок измерения, проделанного в любой другой момент времени. После решения в этом предпо­ ложении задачи фильтрации в гл. 5 будет показано, как изложенную теорию можно распространить на случай коррелированных ошибок измерения.

Предположение о независимости *(0) и

{v(k+l),

,/ге/} можно обосновать тем, что из физических

сообра­

жений факторы, вызывающие ошибки измерения и колебания начального состояния, обычно считают не­ зависимыми. Вообще говоря, измерительная система яв­ ляется внешней для динамической системы, так что не­ точности оборудования, вызывающие ошибки измерения, функционально независимы от начального состояния.

Из общих соображений также естественно ожидать, что факторы, вызывающие возмущения системы, во

152

многих

случаях

 

не связаны

с

факторами, влияющими

на ошибки измерения.

 

 

 

 

 

 

 

В качестве

примера

случая, когда предположение

о независимости

процесса

{v(k+\),

k^I)

от

х(0)

и

{w{k),

kŒl} является

разумным,

рассмотрим

еще

раз

сверхзвуковой

пассажирский

самолет.

Предположим,

что он

совершает

рейс

между

Лос-Анджелесом

и Нью-

Йорком и над Сент-Луисом проводится сеанс допплеровской навигации. Поскольку действие электронной допплеровской системы не зависит от координат само­ лета при взлете, можно считать, что начальное состоя­ ние и ошибки допплеровских измерений, проделанных за время сеанса, являются независимыми. Кроме того, поскольку электронная допплеровская система является внешней для инерциальной навигационной системы, разумно считать, что ошибки измерения и случайные возмущения в навигационной системе независимы.

В то же время можно привести примеры, в которых возмущения в системе и ошибки измерения коррелированы. Например, в наземной РЛС слежения датчик положения может быть связан с осью привода антенны радиолокатора через соответствующую зубчатую пере­ дачу. Тогда случайные порывы ветра, воздействующие на антенну, не только являются возмущениями системы,, но и присутствуют в выходном сигнале датчика в виде шума измерения.

Как следует из уравнения (4-38), в начальный мо­ мент времени измерения не проводятся, т. е. z(0) отсут­

ствует. Это не является

существенным

ограничением.

Удобно

предположить, что случайный

вектор х(0) и

случайные

процессы

{w(k), k^I]

и

{v(k+\),

в уравнениях модели (4-28) и (4-38) имеют нулевые математические ожидания. При этом общность не те­

ряется, поскольку

математические ожидания

x{k+\)

и z(k + l)

можно

легко

вычислить,

используя

соотно­

шения

 

 

 

 

 

 

х ( А + 1 ) = ф ( / г + 1 ,

k)x(k)+T(k+l,

k)w(k);

 

 

I{k

+

 

\)=H{k+\)x{k+\)+v{k+\)

 

для k = 0,

1,

где *(0), {w(k), kŒl}

и {o(k+l),

А е / )

имеют ненулевые математические ожидания. Такое до­ пущение будет использовано при рассмотрении задачи оценки в гл. 5 и 6 и задачи управления в гл. 9.

Основная идея здесь заключается в том, что ненуле­ вые математические ожидания входят в описание систе­ мы как детерминированные составляющие, которые мож­ но легко вычислить в любое время. Следовательно, их можно считать второстепенными (но не обязательно пренебрегать ими) при анализе.

Гауссовская

марковская

последовательность

второго порядка

 

Рассмотрим

случайный

процесс {x(k), 6 = 0, 1 . . . } ,

описываемый линейным векторным разностным уравне­ нием второго порядка

х(£ + 2) =

Ф( £ + 2, k+l)x(k.+

l)

+

 

+ Ѳ(& + 2, k)x(k}+T{k

+ 2,

k)w{k)

(4-42)

для k = 0, 1, . , в

предположении,

что

х(0) и

х(\)

имеют совместное гауссовское распределение с извест­

ными параметрами:

'

 

 

£{х(0)] = х(0);

£ { * ( 1 ) ] = * ( 1 ) ;

Е {[х (0) - x

(0)] [x (0) —x (0) П = Яоо;

Е{[х(1)^х-(\)}[х(\)-х(\)]'}

= Рій

Е {[х(0)-х(0)][х(\)-х(\))>}

= Р0і.

Далее, предполагается,

что {w(k),

k = 0, Г . . . } —

гауссовская белая последовательность с известными ма­

тематическим "'ожиданием

и

корреляционной матрицей,

независимая от'х(0)

и

х(\).

 

w—77-вектор;

В уравнении

'

(4-42)

х — п-вектор;'

Ф(& + 2, ß+T ) й

Ѳ(& + 2,

k) — матрицы

размера

п х « ;

T(k + 2, k) — матрица размера

пхр.

 

 

В силу гауссовости х(0), х(1) и {w(k),

k = 0, 1 . . . } и

линейности уравнения

(4-42)

[x(k), k = 0,

1 . . . ] ,

очевид­

но, является гауссовский процессом. Более того, по­ скольку уравнение (4-42) второго порядка, условная функция распределения вероятностей состояния систе­ мы x в любой момент времени при условии, что известны состояния системы в любые прошедшие моменты вре­ мени, зависит только от состояния системы в два пре­ дыдущих момента времени, т. е. процесс является мар­ ковским второго порядка, 154

Структурная схема системы

показана на

рис. 4-7,

где указаны два блока задержки,

поскольку

уравнение

(4-42) имеет второй порядок.

 

 

Вместо того чтобы исследовать гауссовскую марков­ скую последовательность второго порядка, удобнее пре­ образовать ее в гауссовскую марковскую последова-

г(к+г,к)

Ѳ(к+2,к)

 

ф.х<7г+2)

 

Ф(к+г,к+1)

 

вз

х(к+1)

ВЗ

х(к)

 

Рис. 4-7. Структурная схема модели системы с гауссов­ ский марковским процессом состояния второго порядка.

тельность, чтобы можно было использовать результаты, полученные ранее. Вначале введем новый п-вектор с по­ мощью соотношения

x{k+l)=y(k). (4-43)

Используя это обозначение, перепишем уравнение (4-42) в виде

y(k+l)=<b(k

+ 2, k+l)y(k)+e\k

 

 

+ 2,

k)x(k) +

 

+ T(k + 2,

k)w(k).

 

 

(4-44)

Далее, вводя 2я-мерный- вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

fi 1 .»';

 

запишем уравнения (4-43) и (4-44)

в

виде одного соот­

ношения

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

о

 

 

 

/

 

 

Ѳ(6 +

2, k)

 

. Ф(к+

 

2,

k+

1)

+

О

k)

w{k),

 

 

Г ( 6 +

2,

 

 

где / — единичная

матрица

размера

пу^п.

 

155

Обозначая

Ф*(/г + 1, * ) =

 

О

 

/

 

Ѳ(6 +

2,

k)

Ф(к + 2,

k+ 1)

 

Г * ( * + 1 , k) =

О

 

 

 

Г(/г +

2, £)

 

можно записать объединенное уравнение в виде

x*(k

+ \) = Ф * ( & + 1 ,

A ! ) J C *(Ä)+r*(Ä+l,

А)о>(£)

для /г = 0,

1 .. .

 

 

 

 

(4-45)

 

 

 

 

 

По определению

вектор

 

 

 

 

 

 

х(0) 1

х(0)

 

 

 

 

У(0)

1

х(!)

 

очевидно, является гауссовским случайным 2/г-мерным

вектором с математическим

ожиданием

 

 

 

 

X*

(0) =

*(0)

 

 

 

 

 

г(і)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и корреляционной матрицей

 

 

 

 

 

 

 

Р(0) =

Р

Р

 

 

 

 

 

' 0 0

' 0 1

 

 

 

 

 

 

Р'

р

 

 

 

 

 

 

^ 01

* п

 

 

Поскольку

{w(k),

k = 0,

1

. . . } — гауссовская белая

последовательность, независимая

от х*(0),

а

уравнение

(4-45)

имеет

тот же

вид,

что и

уравнение

(4-28), то

[x*(k),

k = 0, 1 . . . } — гауссовская

марковская

последова­

тельность.

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичная процедура была использована во второй

части примера 4-8.

{x(k),

k = 0, 1 . . . } здесь был пре­

Случайный

процесс

образован в

гауссовскую

марковскую

последователь­

ность ценой введения нового вектора состояния, имеюще­ го в 2 раза больше компонент, чем исходный вектор состояния. Второй возможный подход заключается в использовании функций распределения второго поряд­ ка. Как уже указывалось, первый подход был избран для того, чтобы воспользоваться полученными ранее результатами.

Теперь рассмотрим несколько иную ситуацию, в ко­ торой также возникает гауссовская марковская после-

156

Смотрите также файлы