Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 255
Скачиваний: 1
Корреляционная матрица конечной скорости частиц имеет вид:
|
|
|
|
|
ft, |
|
t, |
|
|
|
Е |
[V |
(>,) |
V ' |
(*,)] = |
ЕН да(Л/) |
(і) dz |
('\w(N) ( т ) ] ' dz I |
= |
||
= |
£ |
I |
^ |
С. + |
'ДО |
S' |
H w |
(f. + іЩ' |
а Д |
= |
|
|
1=0 |
|
|
|
/ = о |
|
|
і |
|
|
|
|
|
= |
S Q ( 4 |
+ '«)Af ! , |
(4-48) |
|||
|
|
|
|
і'=0 |
|
|
|
|
|
|
где последнее преобразование возможно в силу того, что
процесс |
{wlN) |
(t), £ 0 < ^ < / , } чисто |
случайный. |
|
|
||||||
Если |
матрица |
Q |
постоянна |
на |
каждом |
интервале |
|||||
разбиения, |
то |
из |
последнего |
уравнения |
следует, |
что |
|||||
в пределе при |
п—-м», |
—>-0 |
и NAt = ti—/o = const |
|
|||||||
|
£[v(/i)v, (^i)] = A/QA/2 = (ti—to) QAt—vO. |
|
|||||||||
Вместе с равенством E[v(td)] |
= 0 |
это |
означает, |
что |
|||||||
конечная |
скорость |
ѵ(0) является |
в |
пределе |
детермини |
||||||
рованной величиной, а именно нулем, т. е. результат
лишен физического смысла. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Если |
же |
в |
уравнении (4-48) Q(t0 + iAt) |
заменить на |
||||||
Q(to + iàt)/At, |
|
то |
корреляционная |
матрица |
\(ti) |
будет |
|||||
отлична от нуля, что согласуется с интуицией. |
{w(t), |
||||||||||
|
Теперь |
определим |
гауссовский |
белый |
шум |
||||||
to^'t^ti) |
как |
предел |
гауссовской |
белой |
последователь |
||||||
ности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М О , |
t0<t<t1} |
= |
\[m{ww(t), |
|
|
|
|||
|
Здесь предельный переход понимается в том смысле, |
||||||||||
как |
это |
описано |
выше, |
причем корреляционная матрица |
|||||||
Q(t0 |
+ i&t) =Q(i) |
в пределе |
заменяется |
на |
Q(t)/At, |
где |
|||||
t соответствует і-му моменту времени, a |
|
Q(t)=Q(i). |
|||||||||
|
Выборочную |
функцию |
гауссовского |
белого |
шума |
||||||
можно рассматривать как функцию времени, состоящую из суперпозиции произвольно большого числа независи мых импульсов очень малой длительности с нормально распределенными амплитудами. В действительности гауссовский белый шум представляет собой просто no
i l - 8 5 |
161 |
лезную идеализацию многих физических явлений, таких как случайные порывы ветра, электронные и атмосфер ные шумы, ошибки измерения датчиков и т. п.
Термин гауссовский белый шум используется потому, что этим процессом обычно моделируют излишние и не
|
желательные эффекты |
в системах. |
Q(t) |
В заключение обоснуем использо |
|
л-t |
вание дельта-функции |
Дирака в выра |
Іжении для корреляционной функции гауссовского белого шума.
Заметим, что lim (Q{t)fAt) не име-
ет смысла. Однако величина под зна ком предела определена на интервале шириной At. Рассматриваемая ситуа ция иллюстрируется рис. 4-10. В преде ле при At—Я) функция, равная If At
на интервале длиной At и нулю в остальных точках вещественной оси, обращается в дельта-функцию Дира ка. По этой причине выражение для матричной корре ляционной функции гауссовского белого шума можно представить в виде
J^E {[w (t) —w(t)][w (t) —w (т) ]'} = Q ( 0 ô (*-т.)
для всех t, v^to.
Динамика системы
Рассмотрим непрерывную линейную систему
|
|
|
x=F{t)x+G(t)w(t) |
(4-49) |
для t^U, |
где X — n-вектор состояния; |
w — /з-вектор воз |
||
мущения; |
F(t) |
и |
G(t) —непрерывные |
матрицы разме |
рами пХп |
и |
пХр. |
Начальное условие пока является |
|
произвольным, так же как и возмущение |
w(t). |
|
|||||
Для |
двух |
моментов времени |
t и t+At, при |
t^zt0 |
|||
и А / > 0 |
из уравнения |
(2-32) получим: |
|
|
|||
|
|
|
t + |
At |
|
|
|
*(* + Д0 = Ф(* + Д*, |
0 * ( 0 + |
{ |
Ф(Н-Д^. t ) G ( x ) X |
||||
|
|
|
|
і |
|
t)w(t) |
|
Х а > ( т ) Л = |
Ф(/-г-Д/, 9*(*) |
+ |
Г(*.+ Д*, |
(4-50) |
|||
162
в предположении, |
что w(%) = w(t) |
= const для z ' < t < / + Д ^ . |
|||||||
В уравнении |
(4-50) |
|
( t u |
|
|
|
|
||
|
Г (t - f Ы, |
t) = |
Ф (^ -J- At, |
|
|
||||
|
j |
т) G (x) cfx, |
|
||||||
a Ф — переходная |
матрица |
состояния системы |
размера |
||||||
пХп, |
удовлетворяющая |
соотношениям |
|
||||||
|
|
ф(і, |
z) = F(t)<$(t, |
х); |
|
||||
|
|
|
|
Ф(х, |
х) = |
/ |
|
|
|
для |
всех t, т ^ 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть w(t) = w{N) |
(t). |
Согласно уравнениям |
(2-34) и |
||||||
(2-35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T(t+At, |
t) = G(t)At |
+ |
0(AP); |
|
|||
|
Ф^+At, |
t)=I+F(t)At |
+ |
0(AP). |
|
||||
Уравнение |
(4-50) |
можно теперь записать в виде |
|||||||
|
X (t + |
At) = |
[I + |
F (l) At + |
O (At2)] X (t) + |
|
|||
'-T-G(t)w{N)(t)At-}-0(At2)
или, что то же самое,
X (t - f ДО - X {t) = |
F(t)x (t) At + G (t) wiN) |
(t)At |
- f О |
(At2). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4-51) |
Разделив |
обе |
части |
уравнения |
на |
At |
и переходя |
|||||
к пределу при At—^О, |
получаем: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x=F(t)x |
+ G(t)w(t) |
|
|
|
(4-52) |
||
для |
t^to, |
где |
{w(t), |
t^to} |
— теперь |
гауссовский |
белый |
||||
шум |
с |
известными |
математическим |
ожиданием |
w (t) |
||||||
и матричной корреляционной |
функцией |
|
|
|
|||||||
|
Е {[w (t) —w |
(t)] {w ( т ) - w |
(x) П = Q (0 ô (.*-т). |
|
|||||||
Описание динамики системы завершается предполо жением о том, что x(t0) —гауссовский случайный п-век- тор, независимый от {w(t), t^to}, с математическим ожиданием x(U) и неотрицательно определенной корре ляционной матрицей
Е {[X (to) - X |
(to) ] [х (to) - X (to) ]'} = Р (to) |
11* |
163 |
размера пХп. В силу предположения о независимости ясно, что
Е {[x (t0) —x (to)] [w (t) —w (t) ]'} = 0
для всех |
|
t^to. |
|
|
|
|
|
|
|
{x(t), |
t^t0}. |
|
|
||||
Исследуем |
характер |
процесса |
Этот про |
||||||||||||||
цесс, |
очевидно, |
является |
марковским, |
поскольку |
реше |
||||||||||||
ние уравнения |
(4-52) |
можно записать в виде |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
x{tm) |
= |
<b{tm, |
tm_i)x{tm_i)+ |
|
|
f |
<b[tm, |
x)G{z)wiz)dz, |
|||||||||
ГДе tm>tm-l^t0. |
|
t^t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть для любого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
х1,,){і) |
|
= |
Ф(і, |
І0)Х(І0)+^Ф(І, |
|
|
x ) G ( x ) » W ( x ) r f x - |
|||||||||
|
= |
Ф0, |
Qx(t0)+ |
|
S |
Ф(і, |
t0 |
+ |
iM)G{t0 |
+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- f |
Ш) wiN) |
(t0 |
+ iàt) At, |
|
|
(4-53) |
||||||
где {ш( / Ѵ ) |
(x), |
t0<:x<t} |
|
определяется |
так же, |
как |
и ра |
||||||||||
нее, |
а интервал |
[to, t] разделяется |
|
на N |
интервалов |
дли |
|||||||||||
ны Д/ = |
(t—t0)/N. |
известно |
соотношение |
|
|
||||||||||||
Для \x(t), |
t^to) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х(І) = Ф(І, І0)Х(І0) |
+ ^Ф(І, |
|
|
x)G(z)w(i)dt. |
|
|||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ïim{w(N}(z), |
t0<i<t} |
|
= |
{w(z), |
|
t0<x<t], |
|
|||||||||
|
JV-voo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то отсюда |
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lira |
{x{N) |
(t), |
t>0} |
= |
{x{t), |
|
t>ta}. |
|
|
|||||
|
|
|
iV->00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ясно, что в уравнении |
(4-53) слагаемое Ф(і, |
t0)x(t0) |
|||||||||||||||
является |
|
гауссовский |
случайным |
«-вектором |
для всех |
||||||||||||
t^t0, |
поскольку x(to) |
—гауссовский случайный п-вектор. |
|||||||||||||||
Более того, для всех N = 1,2... выражение |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Ф {t, t0 |
+ Ш) G (/0 |
+ |
(ДО w(N) |
(tu + iàt) M |
|
|||||||||
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
164
также представляет собой гауссовский случайный «-век
тор, |
поскольку он |
язляэтся |
суммой |
N линейных |
преоб |
||
разований N независимых гауссовских случайных «-век |
|||||||
торов w{N)(t0-{-iAt); |
і = 0, |
1,..., |
N—l. |
|
|||
Отсюда |
сразу |
следует, |
что |
для |
любого N = |
1, 2... |
|
... х |
т (t) будет гауссовским случайным «-вектором при лю |
||||||
бом |
t^to. |
Следовательно, {x(t), |
t^t0} |
является гауссов |
|||
ским марковским процессом. Уравнение для его мате матического ожидания можно получить формально из
уравнения |
(4-52), т. е.: |
|
|
x-=F(t)x+*G(t)w(t) |
(4-54) |
для t~^iü |
при начальном условии x(to). |
Можно получить |
это же выражение, усредняя обе части |
уравнения (4-51), |
|
разделив полученное выражение почленно на At и пере ходя к пределу при At—>-0.
Завершая |
определение |
процесса |
{x(t), |
t^ft0}, |
полу |
|
чаем соотношение для его корреляционной |
матрицы |
|||||
P(t)=E {[x(t) |
-X |
(t)][x (t) ~x (t)}'}. |
|
|||
Вначале |
рассмотрим |
предельное |
поведение |
уравне |
||
ния (4-37) |
|
|
|
|
|
|
Р ( £ + 1 ) = Ф ( / г + 1 , |
k)P(k)0'(k |
+ l, |
k) + |
|
||
|
+ T(k+l, |
k)Q(k)T'(k+l, |
k). |
|
|
|
Это уравнение описывает изменение во времени кор реляционной матрицы дискретного варианта случайного процесса, удовлетворяющего уравнению (4-52), при воз
мущении системы вида |
{w{N) |
(t), |
|
t^t0}. |
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть |
t соответствует |
моменту |
k, |
a |
i+At—моменту |
||||||||||
k+l, |
где |
At>0. |
Тогда, |
|
используя |
тот |
факт, |
что |
Q(k) |
|||||||
заменяется в пределе на Q(t)/At„ |
имеем: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Р (t + |
At) = |
Ф (t - f At, t) Р (О Ф' (/ -f- At, t) -f- |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
+ |
Г(і + Ы,і)Ш-Р |
|
{t + |
At,f). |
|
|
|
|||||
|
Подставляя |
сюда |
выражения для |
0(t |
+ At, |
t) |
и |
|||||||||
T(t+At, |
t) |
и раскрывая |
скобки, получаем: |
|
|
|
||||||||||
P(t |
+ &f) = |
[r + |
F(f)At |
+ 0(U*)]P(f)[r |
|
+ F(f)At |
+ |
|
||||||||
+ |
О (Af)}' |
+ |
[G (t) At + |
O (Af)} |
Ш_ |
[ G |
(/) At -\-0 |
(At2)]' |
= |
|||||||
|
|
|
= |
P(f)+F |
(t) P (t) At-\-P |
(t) F' {t) At -f- |
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
G(0Q(0 G' {t)At |
+ |
0{At2). |
|
|
|
||||||
165